Sommario. Obiettivo. Quando studiarla? La concentrazione. X: carattere quantitativo tra le unità statistiche. Quando studiarla?

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1 Corso d Statstca a.a. 9- uando studarla? Obettvo Dagramma d Lorenz Rapporto d concentrazone rea d concentrazone Esemp Sommaro La concentrazone uando studarla? Obettvo X: carattere quanttatvo tra le untà statstche Trasferble Interessa msurare se e quanto l carattere rsulta equamente suddvso tra le untà del collettvo o nvece rsulta concentrato n poche untà statstche. Es: l reddto è un carattere trasferble (tra gl ndvdu, come lo sono l patrmono, l numero d azon d una certa azenda (tra gl azonst e fnanzament rcevut dalle regon talane (tra le regon stesse. on sono nvece trasferbl caratter come l età o l ntenstà delle precptazon da una zona all altra. Charamente ogn stuazone reale sarà ntermeda tra due stuazon estreme che chameremo d equrpartzone e d concentrazone massma. 3 4

2 Cas estrem Equdstrbuzone: tutte le untà statstche possedono la stessa quanttà del carattere X: Untà statstche:,,, n uanttà posseduta: µ, µ,, µ Massma concentrazone: Tutto l carattere è posseduto da una sola untà statstca: Tre mod per valutare la concentrazone Curva d concentrazone (o d Lorenz-Gn Rapporto d concentrazone rea d concentrazone Untà statstche:,,, n-, n uanttà posseduta:,,,, x µ 5 6 Curva d concentrazone. Ordnamo le quanttà del carattere (ntenstà possedute dalle untà statstche n senso non decrescente: x x... x Curva d concentrazone (, Rappresentamo le coppe n un grafco cartesano e congungamole. La spezzata così ottenuta è la curva d concentrazone.. Defnamo: (frequenze cumulate delle untà pù povere X X (quanttà relatve d carattere delle untà pù povere X µ a.a. 9- statstca-francesco mola 7 Curva d Lorenz,9,8,7,6,5,4,3,,,,4,6,8 8

3 Curva d concentrazone Il rapporto d concentrazone La spezzata parte da (, (, e termna n (, (, Essendo la spezzata è sempre al d sotto della bsettrce. La bsettrce è tale per cu per ogn e rappresenta qund l caso d equrpartzone: quanto pù la curva s dscosta dalla bsettrce tanto maggore è la concentrazone del carattere. Intutvamente la dstanza vertcale tra la bsettrce e la spezzata d concentrazone, par a -, aumenta all aumentare della concentrazone del carattere Il generco punto (, della spezzata s può nterpretare nel seguente modo: l ( % pù povero d carattere possede l ( % del carattere totale. d esempo se l grafco precedente fosse rferto al reddto avremmo che l 6% pù povero della popolazone possede crca l 3% del reddto totale. q,9,8,7,6,5,4,3,, Curva d Lorenz,,4,6,8 Curva d Lorenz,8,6,4,,,4,6,8 Equrpartzone (7 Massma concentrazone (7 9 a.a. 8-9 statstca-francesco mola Il rapporto d concentrazone bbamo vsto che, n generale, vale -,,, Mentre: In caso d equdstrbuzone: -,,, In caso d massma concentrazone: - -,,,- Un modo naturale per msurare la concentrazone è qund quello d costrure un ndce basato sulla somma d tal dfferenze... Il rapporto d concentrazone la somma delle dfferenze (-, dvsa per l valore massmo che tal dfferenze possono assumere è nota come rapporto d concentrazone d Gn: ( R ( R S ha n partcolare vale nel caso d equrpartzone ed nel caso d massma concentrazone. Osservazone: esste un legame ntutvo tra concentrazone e la dspersone d un carattere. Infatt pù un carattere è concentrato maggore è la sua dspersone. l contraro nel caso d equrpartzone l carattere presenta una sola modaltà: dspersone nulla. In effett s può mostrare che vale la seguente relazone: R R µ µ und R può essere vsto anche come un ndce d varabltà relatva, n quanto corrsponde alla dfferenza semplce meda dvsa per l suo massmo (µ.

4 Data la successone d modaltà d X: Esempo Pe calcolare R anztutto s ordnano le x n senso non decrescente ( ad esempo X 6 perché l untà pù povera possede 6 e po s trovano corrspondent valor d e (ad esempo /7.49 e 6/34,494 ovvero: l untà pù povera rappresenta l 4% del totale e possede crca l 5% del carattere totale. S not che: Esempo (contnua ( R ( e qund s può calcolare l valore d R a partre dalle sole ntenstà cumulate x ( - 6,49,494,935,857,4,75, ,486,85,434 R, ,574,84, ,743,4753,39 6 8,857,7, Totale 34 3,698 x 6,494,4 3 3,85 4 3,84 5 6, ,7 7 9, 34,83 R q,9,8,7,6,5,4,3,, rea d concentrazone Dagramma d Lorenz Retta d equdstrbuzone rea d concentrazone Spezzata d concentrazone,,4,6,8 p L area tra la curva d concentrazone e la retta d equdstrbuzone prende l nome d area d concentrazone rea d concentrazone Una msura dell area d concentrazone può essere ottenuta sottraendo all area del trangolo la somma delle aree degl n trapez delmtat da punt (, per,,,n. q,9,8,7,6,5,4,3,, Dagramma d Lorenz,,4,6,8 p rea del trapezo: ½ x Somma delle bas x altezza q q + p p + ( ( + LTEZZ B. MGG+ B. MIORE el caso d equrpartzone l area è d concentrazone è par a zero; al crescere della concentrazone l area cresce senza ma superare l valore ½. 5 6

5 rea d concentrazone Un ndce d concentrazone s può ottenere dvdendo l area d concentrazone per l valore assunto da tale area nel caso d concentrazone massma: I max Poché s dmostra che: R 4µ ( max max ( + bbamo I R. Ovvero rtrovamo l rapporto d concentrazone d Gn che s può qund calcolare anche dvdendo l area d concentrazone per l suo valore massmo. 7 rea d concentrazone Un altro ndce d concentrazone s può ottenere osservando che l area d concentrazone massma è approssmatvamente uguale ad ½ per grande. Possamo qund rapportare l area d concentrazone a questo valore: n ( ( + Rɶ ( ( n + ~ In generale R < R con due ndc che tendono a concdere per grande. 8 Dat raggruppat nora abbamo consderato dat non raggruppat, supponamo ora d avere una dstrbuzone d frequenza, per cu abbamo k valor dstnt x,..., x k ordnat n modo non decrescente con n,..., nk numerostà. Defnamo: n n p n x k n x n x µ + p p px + px p x µ S tratta charamente delle verson ponderate d e vste n precedenza con la dfferenza che ora l ndce va rferto alle class. Le ultme uguaglanze danno la formula per frequenze relatve. statstca-francesco mola 9 Dat raggruppat Curva d concentrazone: unendo le coppe (, s ottene la stessa curva d concentrazone che s otterrebbe lavorando con dat untar. L unca dfferenza è che ora per ottenere la spezzata s devono congungere k punt e non pù punt. Inoltre usando la formulazone con le frequenze relatve è possble costrure la curva anche nel caso n cu s conoscono solo le frequenze relatve p. rea d concentrazone: la curva d concentrazone è la stessa qund l valore d Ře d R concdono.

6 Dat raggruppat Rapporto d concentrazone d Gn: Calcolando l rapporto d concentrazone con le coppe (, s ottene l ndce: R k ( k Che è, n generale, dverso da R. uesto perché è dversa la stuazone d massma concentrazone ne due cas: usando le frequenze relatve la massma concentrazone s ha quando tutto l carattere è contenuto nella k-esma classe, e qund da n k untà statstche (e non da una sola. Ovvamente se s conoscono solo le frequenze relatve R è l unco ndce calcolable. Dat raggruppat n ntervall S pens ad un carattere contnuo come l reddto: se è grande è poco pratco costrure la curva d concentrazone (o l rapporto o l area a partre da reddt ndvdual: s procede pertanto ad accorpare gl ndvdu n class d reddto. questo punto però sorge l problema d valutare la concentrazone per una varable contnua (per ntervall. Il modo pù semplce d procedere consste nel dscretzzare la varable contnua concentrando tutta la massa su punt med degl ntervall per po procedere come ne cas precedent. el caso n cu s dsponga dell ammontare totale d carattere n un ntervallo s può sfruttare questa nformazone per dscretzzare gl ntervall n modo coerente con tale ammontare totale. Es: nell ntervallo [5,5 d numerostà s sa che l carattere totale è par a 6. E preferble dscretzzare l ntervallo su X 6. S not che devono essere note le numerostà degl ntervall per poter procedere n questo modo. Esempo:Concentrazone per dstrbuzon d frequenze k Rɶ ( ( + Reddto [x, x + umero d dpendent Reddto Dscr. X D X D ( - - ( Total 7 7 D X R ~ Esempo: Concentrazone per dstrbuzon d frequenze k S utlzza la formula: Rɶ ( ( + In questo caso s sfrutta un nformazone agguntva: la conoscenza dell ammontare complessvo del carattere per ogn classe ( X ; atturato zende mmontare fatturato X ' + - X + ( ( Totale R ~

7 Confronto Tra Dstrbuzon S rportano d seguto le dstrbuzon de fnanzament concess da un sttuto bancaro per l acqusto della prma casa a govan coppe resdent n Campana ed n Sardegna: Sardegna nanzament (mglaa d Euro n Totale Campana nanzament (mglaa d Euro n Totale a In quale regone rsulta pù elevata la concentrazone de fnanzament concess? b Confrontare grafcamente dvers lvell d concentrazone de fnanzament nelle due regon Concentrazone de fnanzament n Sardegna Sardegna nanzament (mglaa d Euro n p x x n X q p + - p q + + q (p + - p (q + + q Totale R ~ k ( p p ( q+ + q Concentrazone de fnanzament n Campana Campana nanzament (mglaa d Euro n p x x n X q p + - p q + +q (p + - p (q + +q Totale R ~ k ( p p ( q+ + q R ~ sar.468 R~. 4 La concentrazone è pù cam elevata n Sardegna q p Equdstrbuzone Sardegna Campana La curva d Lorenz conferma questo rsultato 8