Studente estratto Esami sostenuti voto Frequenza Pos.ne lavor.va sesso rendimento si No M B si No M O no No F S

Transcript

1 Esercz del corso d Statstca A.A 00-0 a cura d : Gulana Satta Eserczo E stato estratto un campone d 5 student tra frequentant l secondo semestre e s sono osservate le seguent caratterstche: esam sostenut V voto conseguto F frequenza corso Poszone lavoratva: student lavorator- non lavorator Sesso Rendmento Ottenendo la seguente tabella Studente estratto Esam sostenut voto Frequenza Pos.ne lavor.va sesso rendmento 5 5 s o M B 5 7 s o M O 9 no o F S 7 s o F O 7 s o F O 8 s o F O 05 9 no s M S 85 0 s no F S. student 5 8 Da rsultat ottenut possamo ottenere le seguent tabelle:

2 umero degl student secondo l numero d esam sostenut:sostenut secondo l voto: Esam sostenut n. Student totale 5 umero degl esam sostenut secondo l voto: voto n. esam totale 8 Student frequentant secondo l sesso: Sesso\ Freq. Frequentant on frequentant totale Masch Femmne totale 5 Esam sostenut secondo l sesso e l rendmento all esame Sesso\rendmento esame Suff. Buono Ottmo totale Masch Femmne / 5

3 totale 4 8 Sesso\ Pos.ne lav.va Lavoratore on lavoratore totale Masch Femmne / totale 4 5 Sesso :carattere qualtatvo nomnale ( uguale, dverso) Rendmento esame: carattere qualtatvo ordnale ( uguale,dverso,precede) Frequenza corso ;carattere qualtatvo nomnale (uguale,dverso) Voto :carattere quanttatvo contnuo dscretzzato ( msurazone) Esam sostenut :carattere quanttatvo dscreto ( conteggo)

4 Eserczo Alla fne del secondo semestre 400 student sono stat classfcat secondo l numero degl esam sostenut e rsultat sono espost nella tabella che segue: x n totale 400 S chede d calcolare: l ntenstà della dstrbuzone; le frequenze cumulate e retro cumulate. le frequenze relatve e percentual. Prospetto d calcolo x n x n B f x f F f, 00 x f, 00 F, , ,075 7,5 0 7, ,75 0,75 0,45,75,75 4, ,95 0,59 0,7075 9, , ,55 0,465 0,865 5,5 46,5 86, ,07 0,8 0, , ,075 0,875 0,97,75 8,

5 ,0 0, totale , Dalla tabella s rcava che: Σ Σ Σ Σ Σ Σ n 400 numero totale delle osservazon x n 86 ntenstà totale f somma delle frequenze relatve x f,04 ntenstà relatve f 00 somma delle frequenze percentual,00 x f 04 ntenstà percentual,00 5

6 Eserczo 50 appartament sono stat classfcat secondo l numero delle stanze e rsultat ottenut sono espost nella tabella che segue: x n totale 50 S chede d calcolare: ) la meda artmetca e d dmostrare le propretà studate; ) tutte le mede analtche esamnate; ) la medana e dmostrare la sua propretà; 4) la devanza, la varanza e lo s.q.m. con le formule studate. Rsoluzone Il prospetto d calcolo per la meda artmetca è l seguente: x n x n totale

7 M x n 5 50 Σ,7 Propretà traslatva S aggunga a cascuna modaltà la costante e s calcol la meda artmetca. Schema d calcolo x n x n totale M x n Σ 5,7 Se s aggunge una costante a termn la meda artmetca della dstrbuzone è par alla meda della dstrbuzone orgnara aumentata della costante. S moltplch ogn termne della dstrbuzone per la costante e s calcol la meda artmetca x n x n totale

8 M x n Σ 8, Se s moltplca ogn termne della dstrbuzone per una costante la meda rsulta par alla meda della dstrbuzone orgnara moltplcata per la costante stessa. Medana Per l calcolo della medana occorre calcolare le frequenze cumulate e la tabella d rfermento è la seguente: x n totale 50 Il numero de termn è par 50 e qund la medana sarà data dalla semsomma de termn che occupano post: e ella colonna delle frequenze cumulate vedamo che quest post s trovano all nterno del valore 4 che comprende le poszon da 9 a 4 occupate dalla modaltà e qund la medana è data da: M e x + x Propretà degl scart dalla meda artmetca 8

9 Prospetto d calcolo ( scart dalla meda artmetca) M,7 x n (x -M ) (x -M )n (x -M ) (x -M ) n 6 -,7-0,,89 7,4-0,7-8,4 0,49 5,88 4 0, 7, 0,09,6 4 7, 9,,69,8 5,, 5,9 5,9 totale ,5 Prospetto d calcolo ( scart da un valore generco M) M 4 x n (x -4) (x -4)n (x -4) (x -4) n Da calcol effettuat rsulta che: Σ ( x M ) n 0 9

10 Σ ( x M ) n 65 Σ Σ ( x M) n ( x M ) n 4,5 7 Scostament n modulo e quadratc dalla medana e dalla meda artmetca Prospetto d calcolo x n x - x - n (x -) (x -) n x -M x -M n 6 4 4,7 0, 0,7 8, , 7, , 9, 5 4 4,, totale , resta dmostrato che: Σ x M e n Σ x M < 7, Σ Σ ( x M) n ( x M e) n 4,5 < 47 n 0

11 Tabella per l calcolo delle mede analtche x n log x n logx /x /x n x x n x x n ,00,66 0, ,477,4509 0, ,6006 4,44 0,5, , , , 0, totale 50 9,97666, Meda geometrca M 0 exp( Σ n log x ) exp 9,97666 exp 50 Meda armonca M n x 50,95 Σ Meda quadratca,8 ( 0,99), 5 Σ x n 407 M 8,4,85 50 Meda artmetca al quadrato o quadrato d meda quadratca M Σ x n ,4

12 Meda cubca M Σ x n 50,98 Rcordando la relazone generale: M M 0 M M M... M r dove l segno d uguale vale solo n presenza d modaltà ugual tra loro, abbamo dmostrato che: M M 0 M M M,8<,5<,7<,85<,98 Tabella per l calcolo della devanza d una dstrbuzone con le formule studate x n (x -M ) (x -M ) (x -M ) n x x n 6 -,7,89 7,4 6-0,7 0,49 5, , 0,09, ,,69,8 6 5, 5,9 5,9 5 5 totale 50 4,5 407

13 formula dev Σ ( x M ) n 4, 5 σ Σ ( x M ) 50 n 4,5 0,85 50 ( x M ) Σ n 4,5 σ 0,85 0, formula dev σ Σ x n M Σ x n M ,5 4, ,4 7,9 0,85 50 Σ x n 407 σ M.7 8,4 7,9 0, 85 0,9 50 Dfferenze semplc mede con e senza rpetzone Prospetto d calcolo x \xh * - 6*4-4 6*7-5 6* - *4-4 *7-5 * 4-4 4*7-5 4* * 5 totale

14 x \xh 4 5 totale *77 *4488 *46 4*64 50 *8888 *8468 *6 49 *6868 * * totale 5 R Σ Σ h > Σ Σ h > ( x x ) h ( ) ( x x ) h n n h n n h , Formula abbrevata Prospetto d calcolo x n x n B (A -B ) x n (A -B ) totale Σ x n ( A B ) ( ) h

15 R Σ x n ( A B ) h , Dfferenze quadratche mede con e senza rpetzone Prospetto d calcolo x \xh (-) 6* (-) 6*4 (-4) 6*7 (-5) 6* (-) *4 (-4) *7 (-5) * 4 (-4) 4*7 (-5) 4* 4 7 (4-5) 7* 5 totale x \xh 4 5 totale *77 4* *478 6*696 *8888 4*846 9*08 7 *6868 4* * totale 5 ΣΣ h> ( x x ) h ( ) n n h ,75, R Σ Σ h> ( x x ) h n n h ,7, Esste la relazone R σ.7 *0,85 c.v.d. 5

16 ovvero R σ, 0,9*,44 Dstrbuzone standardzzata M,7 σ 0,9 ( x M ) z σ n Prospetto d calcolo x n x n (x -M ) z (x -M )σ z n z z n 6 6 -,7 -,849 -,065,4 0,4 4-0,7-0,7596-9,08 0, , , 0,596 7, ,0588, ,, ,8706,9885, ,,4947,4947 6,59 6, , M z Σzn Σz σ z

17 Indc d forma Indc d asmmetra e curtos Prospetto d calcolo x n x n (x -M ) (x -M ) (x -M ) n (x -M ) 4 (x -M ) 4 n 6 6 -,7-4,9-9,478 8,5 50,6 4-0,7-0,4-4,6 0,40, , 0,07 0,648 0,008 0, ,,97 5,79,856 9, ,,67,67 7,984 7,984 totale ,4 0,65 µ Σ ( x M ) n 5,4 0,08 50 γ µ 0,08 0,9954 0,08 0,7866 σ 0,4 µ 4 Σ ( x M ) 4 n 0,65,0 50 β µ,0 0,9954,0 0, σ,8 La curva presenta asmmetra negatva ed è pocurtca o ponormale 7

18 Dstrbuzone mass mante della varabltà Il carattere è dscreto e due lmt saranno: l L 5 mentre le corrspondent frequenze saranno date da: ' n n '' ( L M ) ( 5,7) L l 50 5 ( M l) (,7 ) L l 50 5, 50 8,75 4,7 50 4,5 La dstrbuzone massmante assumerà la forma: x n 8,75 5,5 totale 50 calcolamo la meda e lo scostamento quadratco medo sulla dstrbuzone mass mante Prospetto d calcolo: x n x n x x n 8,75 8,75 8,75 5,5 06,5 5 5,5 totale M,7 costanza della meda artmetca 50 Σx n maxσ M 560,7 50, 7,9,9,9777 8

19 * σ 0,9 σ 0,46 max σ,98 Il sgma su dat osservat rappresenta l 46% del sgma della dstrbuzone massmante. Coeffcente d varazone C V σ 0, % M,7 percentuale d varabltà per ogn untà d valore medo Eserczo 0 mprese sono state classfcate per class d nvestmento ( mglaa d euro )e rsultat sono ndcat nella tabella che segue: Class d nvestmento n. mprese totale 0 S chede d calcolare: la meda artmetca ; la medana; la varanza e lo scostamento quadratco medo; dfferenze semplc e quadratche con e senza rpetzone utlzzando le formule abbrevate. 9

20 Rsoluzone Prospetto d calcolo per la meda artmetca Class d nvestmento n. mprese x x n , totale M Σ ' xn , Prospetto d calcolo per la medana Class d nvestmento n. mprese totale 0 La poszone occupata dalla classe medana è data da : 0 60 compresa nella frequenza cumulata 65 e qund la classe medana è la classe : 0-0.Ora all nterno d questa classe calcolamo la medana con la formula dell nterpolazone: 0

21 M e lm.nf. + n a ,89 8,89 45 Quartl quartle: poszone Classe d appartenenza: Q lm.nf. + a ,, n 45 Q M e quartle: poszone Classe d appartenenza: Q lm.nf. + a n 5 D.I. 50, 7,78 Tabella per l calcolo dello scostamento quadratco medo x n x x n 0,5 0 0, totale

22 dev ' Σ x n M ,8 6847,,5 σ Σ ' x n M ,8 459,4 570,59 0 Σ ' x n 4580 σ M 8. 09,8 459,4 570,59,89 0 Dfferenze semplc mede con e senza rpetzone Prospetto d calcolo ( formula abbrevata ) x n x n B (A -B ) x n (A -B ) 0, totale R Σ x n ' ( A B ) ( ) Σ x n ' h ( A B ) , , R σ R σ

23 R 570,59 4,8 R 4,8,78 Eserczo Un collettvo è stato esamnato secondo class d età e l consumo o meno d un certo prodotto.i rsultat sono espost nella tabella che segue: x consum non cons totale Partendo dalle due dstrbuzon ( consumator e non consumator) s chede d calcolare la meda e la varanza dell nseme de dat. Rsoluzone Calcolamo per le due dstrbuzon la meda e la devanza: Consumator Tabella per l calcolo della meda artmetca e della devanza x consum x n x x n 7, ,5 5, totale ,5

24 x c dev ' xn Σ n c c 85 5 ' x n nc c Σ x, , on consumator Tabella per l calcolo della meda e della devanza 996,5 750, 44940,8 x nc non cons x nc n nc x nc x nc n nc 7, , totale x nc dev ' xncnnc Σ nc n nc ' xncnnc nnc nc Σ x La meda totale è data da: M x n + x n 5, ' ' c c nc nc nc + nnc 4,6 Ora calcolamo la mede delle devanze e la varanza delle mede Meda delle devanze Le devanze sono gà state calcolate e la loro meda è data da: , Σ σ σ w n 44940,8 + 99, 779, 44, 9 9 4

25 Tabella per l calcolo della varanza delle mede: x ( j n j x -M j ) ( x -M j ) ( x j -M ) n j, ,5859,5585 6,867 5, , ,675 6,4866 totale 797, Σ σ B x j M n j 797, 0,65 9 σ σ w + σ B 44, + 0,65 44,95 Per verfcare rsultat ottenut consderamo ora l nseme de dat e calcolamo la meda e la devanza costruendo la tabella che segue: x n x n x x n 7, ,5 496, totale M Σ ' xn ,6 dev ' Σ x n M σ 44,94 c.v.d. 9 5

26 Eserczo ella sessone autunnale 50 student che hanno sostenuto l esame d statstca hanno ottenuto seguent vot: S chede d costrure la dstrbuzone e d rappresentarla grafcamente e d calcolare: ) la meda artmetca e d dmostrare le propretà della meda; ) la medana; ) la devanza, la varanza e lo scostamento quadratco medo; 4) gl ndc d forma. S chede noltre d standardzzare la dstrbuzone e dmostrare le propretà rferte alla sua meda e varanza. Rsoluzone Costruamo la dstrbuzone rordnando vot n senso crescente e attrbuendo le corrspondent frequenze: 6

27 Metodo del cancelletto: ogn trattno raffgura una untà d appartenenza alla modaltà consderata. La 5 untà d ogn gruppo è rappresentata da un segmento trasversale x n 8 //// //// /// 9 // 0 // / //// // /// 4 //// 5 //// / 6 / 7 //// 8 //// La tabella ottenuta è la seguente. La terza colonna rappresenta le ntenstà della dstrbuzone e lm suo totale è elemento ndspensable per conoscere la meda della dstrbuzone : 7

28 x n x n totale 5 M x n 5 50 Σ,7 Pertanto possamo defnre la meda come quel valore d sntes rsultante dalla rpartzone dell ntenstà totale tra le untà del collettvo. Dremo qund che, nella sessone autunnale, l voto medo conseguto all esame d Statstca è stato d,7 Medana La dstrbuzone presenta un numero d osservazon par e qund la medana s otterrà come semsomma de termn che occupano post: ed

29 Per rcercare queste poszon nella tabella ottenuta s aggungerà la colonna delle frequenze cumulate : x n In corrspondenza della poszone 5 leggamo la modaltà mentre la poszone 6 è compresa nella frequenza cumulata 8 rferta alla modaltà. La medana sarà qund data da: M e x + x ,5 Propretà della meda artmetca Le propretà che verranno prese n esame sono quelle rferte agl scostament semplc e quadratc e verrà dmostrato che la sommatora: ) degl scostament semplc dalla meda artmetca è uguale a zero; ) degl scostament quadratc dalla meda artmetca è un mnmo rspetto ad un qualsas altro valore che dalla meda stessa dffersca. S prenderà, a fn del calcolo,come esempo, la medana precedentemente calcolata. 9

30 Prospetto d calcolo M,7 M e,5 Scostament semplc e quadratc dalla meda artmetca x n x n (x -M ) (x -M )n (x -M ) (x -M ) n 8 4-4,7-6,,09 87, ,7-7,4,69 7, ,7-5,4 7,9 4,58 8 -,7 -,7,89, ,7-4,9 0,49, , 0,9 0,09 0, , 5,,69 6, ,,8 5,9, ,, 0,89 0, ,,5 8,49 9, ,, 8,09, , 4,6 5,9 06,58 totale ,5 0

31 seguto tabella Scostament quadratc rspetto alla medana (x -M e ) (x -M e ) (x -M e ) n -4,5 0,5 6,5 -,5,5 4,5 -,5 6,5,5 -,5,5,5-0,5 0,5,75 0,5 0,5 0,75,5,5 9,5 6,5 7,5,5,5,5 4,5 0,5 0,5 5,5 0,5 7,5 56,5,5 totale 698,5 In calcol su espost hanno evdenzato seguent rsultat: Σ ( x M ) n 0 Σ Σ ( x M) n ( x M e ) n 696,5 698,5

32 Devanza, varanza e scostamento quadratco medo Schema d calcolo x n (x -M ) (x -M ) (x -M ) n x x n 8-4,7,09 87, ,7,69 7, ,7 7,9 4, ,7,89, ,7 0,49, , 0,09 0, ,,69 6, , 5,9, , 0,89 0, , 8,49 9, , 8,09, , 5,9 06, totale ,5 646 formula Devanza dev Σ ( x M ) n 696, 5 σ Σ ( x M ) n 696,5,9 50 ( x M ) Σ n 696,5 σ,9,7 50

33 formula dev Σ x n M , ,5 696,5 σ Σ x n M 646,7 59, 55,9,9 50 Σ x n 646 σ M,7 59, 55,9,9,7 50 Indc d forma M,7 σ,7.. Lo schema d calcolo è l seguente: x n (x -M ) (x -M ) n (x -M ) 4 (x -M ) 4 n 8-0,8-49,7 487,968 64, ,65-0,06 87,46 74,8 0-9,68-9,66 5,44 06,88-4,9-4,9 8,5 8,5 7-0,4 -,40 0,40,6807 0,07 0,08 0,008 0,04 4 4,97 8,788,856, ,67 7,00 7,984 67, ,97 5,97 8,59 8, ,507 97,55 4, , , , ,048 56,9 0 89,07 778,04 89, ,648 totale 50 9, 7677,9

34 Indce d asmmetra Momento terzo µ Σ ( x M) n 9, 50 7,84 µ 7,84 γ σ 5,99 0,5 La dstrbuzone presenta una leggera asmmetra postva. Indce d curtos Σ 4 ( x ) M n 4 µ 7677,9 50 5,56 µ 4 5,56 β 4 σ 94,0449,8 La dstrbuzone è percurtca. Dstrbuzone standardzzata Standardzzare la dstrbuzone sgnfca elmnare per cascuna modaltà osservata l nfluenza della meda artmetca e del sgma n modo da ottenere de valor pur o admensonal che qund non rsentono pù dell untà d msura orgnara e qund sono perfettamente confrontabl con altr valor che hanno subto lo stesso trattamento. La dstrbuzone standardzzata presenta la caratterstca d avere meda zero e varanza e lo dmostreremo costruendo la tabella che segue rcordando che : M,7 σ,7.. 4

35 z x,7,7 x n (x -M ) z z n z z n 8-4,7 -,598-6,706, ,65 9 -,7-0,995 -,987 0,9877, ,7-0,74 -,4468 0,5, ,7-0, , , , ,7-0,8755 -,87 0,0576 0,46 0, 0,0808 0,49 0, , , 0,48,946 0, 0, , 0,664, ,79756,7856 6, 0, , , , ,,507 5,76056,75 6, ,,4009 5,68057,065 8, ,,95590,9806, ,65 totale M z Σ zn 0 Σ z n σ z

36 Eserczo I component d un collettvo sono stat classfcat secondo la statura e rsultat ottenut sono espost nella tabella che segue: x n totale 0 S chede d rappresentare grafcamente la dstrbuzone e d calcolare: )la meda artmetca; )la medana e quartl; )la devanza,la varanza e lo scostamento quadratco medo; 4)gl ndc d forma. Rsoluzone Il carattere esamnato è rappresentato per class d ntenstà e l grafco da utlzzare e l stogramma. Le class non hanno tutte la stessa ampezza e qund occorre per prma cosa calcolare le denstà d frequenza e qund costrure la tabella che segue: x n a d , , , , ,7 totale 0 Preso un sstema d ass cartesan orentato sull asse delle ascsse s ndcheranno le class d ntenstà e sull asse delle ordnate le denstà d frequenza date dal rapporto tra la frequenza d cascuna classe e l ampezza della classe stessa. S costruranno n tal modo 5 rettangol che avranno per base l ampezza 6

37 della classe d volta n volta consderata e per altezza la corrspondente denstà d frequenza. La somma delle aree de rettangol costrut equvale al numero de cas osservat, n questo caso, 0. Meda artmetca Il carattere è per class d ntenstà e qund per procedere al calcolo della meda è necessaro per prma cosa calcolare l valore centrale della classe. Il prospetto d calcolo è l seguente: x n x n 57,5 47,5 6, ,5 7 7,5 7,5 7 07, totale ,5 M Σ ' xn 5086,5 0 Medana e quartl 69,58 Per l calcolo degl ndc d poszone abbamo bsogno delle frequenze cumulate e la tabella d rfermento sarà: x n totale 0 Il carattere è per class e qund s farà rfermento alla formula dell nterpolazone dopo aver stablto che la classe medana,letta n corrspondenza della frequenza cumulata 6 che contene la poszone:/ 0/5, è la classe

38 M e lm.nf + n a , ,86 69,86 7 quartle La poszone è data da : /4 0/47,5 compresa nella frequenza cumulata 9 e qund la classe d rfermento è Il prmo quartle sarà: 4 7,5 Q lm.nf + a , ,75 68,75 n 6 quartle Medana quartle poszone : 0, classe d appartenenza: ,5 6 Q lm.nf + a , ,64 74,64 n 7 Devanza, varanza e scostamento quadratco medo Prospetto d calcolo x n (x -M ) (x -M )n (x -M ) (x -M ) n x x n 57,5 -,08-6,5 46, , ,5 7448,75 6,5 6-7,08-4,5 50,76 0, ,5 5847,5 67,5 7 -,08-4,58 4,4078 0, ,5 969,8 7,5 7, ,4667 8, , ,5 089, ,4667 7, , , totale , ,8 formula Devanza dev ' ( x M ) n 588, 54 Σ 8

39 Varanza Σ σ ' ( x M ) n 588,54 5,95 0 Scostamento quadratco medo ' ( x M ) Σ n 588,54 σ 5,95 7,8 0 formula dev Σ x' n M Σ x' n σ M 8644,8 0 69, ,8 69, , , 588,54 88, ,764 5,95 Σ x' n 8644,8 σ M 69,58 88, ,764 5, Indc d forma Prospetto d calcolo x n (x -M ) (x -M ) (x -M ) n (x -M ) 4 (x -M ) 4 n 57,5 -,08-764,5-59,75 8,0 6954,08 6,5 6-7,08-55,96 -,8 57,9 504,5 67,5 7 -,08-9,045-6,957 8,880,866 7,5 7, ,89 7,684 7,68 506, ,4667 0,8 79,965 77,76 846, totale 0 597, 6, Momento terzo ' ( x M ) 597, 0 Σ µ n 9,907 9

40 Indce d asmmetra µ 9,907 γ σ 5,5 0,05 La dstrbuzone presenta una leggera asmmetra postva. Momento quarto Σ 4 ( x ) M n 4 µ Indce d curtos µ 4 540,77 β 4 σ 80,85 6, 0,9 La dstrbuzone è percurtca. 540,77 40

41 Eserctazone del gorno 4 aprle 0 Una ndagne condotta sulle azende botech n Europa ha fornto seguent rsultat: Regon. azende orvega 0 Irlanda 5 Itala 50 Belgo 70 Fnlanda 7 Paes Bass 80 Danmarca 8 Svzzera 8 Sveza 77 Franca 46 Regno Unto 4 Germana 50 totale 655 S chede d calcolare l rapporto d concentrazone con le formule studate. Eserczo 598 azende agrcole sono state classfcate secondo la superfce totale n ettar e rsultat sono espost nella tabella che segue: class d superfce azende x totale Sapendo che l ntenstà totale è par a 9 s chede d trovare l valore ncognto dell ultma frequenza. S chede noltre d calcolare: ) La meda artmetca e la medana della dstrbuzone e d commentare rsultat ottenut; ) La varanza e lo scostamento quadratco medo; ) L ndce relatvo d varabltà; 4) Il rapporto d concentrazone con le formule studate. 5) Partendo da dat osservat costrure le tabelle nelle qual s avrà R0 e R. 4

42 Eserczo In una tabella a dopp entrata nella quale 58 student sono stat classfcat secondo l voto conseguto agl esam d matematca e statstca per la dstrbuzone y ( vot n matematca) s sono regstrat seguent rsultat: Grupp numer.tà meda devanza Gruppo 0, Gruppo,5 7 Gruppo 4,6 70,5 Gruppo , Gruppo 4 7 8, Consderato che s sono anche rlevate le seguent quanttà: Σ x n. 08 ΣΣ j x y j n j 0660 devx 9\ S chede d calcolare: ) Il rapporto d correlazone d y a x; ) I parametr delle rette d regressone; ) Il coeffcente d correlazone; 4) L ndce d determnazone; 5) La devanza dell errore e la devanza d regressone. 4

43 Eserctazone del gorno 4 aprle 0 Rsoluzone esercz Una ndagne condotta sulle azende botech n Europa ha fornto seguent rsultat: Regon. azende orvega 0 Irlanda 5 Itala 50 Belgo 70 Fnlanda 7 Paes Bass 80 Danmarca 8 Svzzera 8 Sveza 77 Franca 46 Regno Unto 4 Germana 50 totale 655 S chede d calcolare l rapporto d concentrazone con le formule studate. Rsoluzone La dstrbuzone è gà ordnata e qund prma d procedere al calcolo occorre ordnare la stessa n senso crescente: Regon. azende s p q p -q orvega 0 0 0,08 0,0085 0, Irlanda , ,0 0,4408 Itala ,5 0, , Belgo , 0,0574 0,7595 Fnlanda , ,4945 0, Paes Bass ,5 0,9758 0,04698 Danmarca ,58 0,4774 0, Svzzera , ,8 0, Sveza ,75 0, ,955 Franca ,8 0, , Regno Unto , ,7885 0,84709 Germana totale 655 5,5,95474,

44 R Σ ( p q ) Σ p,547 5,5 0,46 Formula abbrevata Prospetto d calcolo Regon. azende A B I A -B x (A -B ) orvega Irlanda Itala Belgo Fnlanda Paes Bass Danmarca Svzzera Sveza Franca Regno unto Germana totale La formula da utlzzare è R M 7,7 7,9 7,7 0,46 c.v.d. 75,84 Calcolamo la dfferenza semplce meda e la meda della dstrbuzone Σ x ( A B ) ( ) ,7 M 655 7,9 44

45 Eserczo 598 azende agrcole sono state classfcate secondo la superfce totale n ettar e rsultat sono espost nella tabella che segue: class d superfce azende x totale Sapendo che l ntenstà totale è par a 9 s chede d trovare l valore ncognto dell ultma frequenza. S chede noltre d calcolare: 6) La meda artmetca e la medana della dstrbuzone e d commentare rsultat ottenut; 7) La varanza e lo scostamento quadratco medo; 8) L ndce relatvo d varabltà; 9) Il rapporto d concentrazone con le formule studate. Partendo da dat osservat costrure le tabelle nelle qual s avrà R0 e R Rsoluzone Per trovare la frequenza ncognta possamo stablre la seguente uguaglanza: 9+00x 9 dalla quale s ottene: 00x x x

46 Tabella per l calcolo della meda della medana e dello s.q.m. Class d superfce azende X n 0, , , ,5 05 7, , totale x x n 0,5 79,5 70,5 506,5 56,5 556, ,5 M ' Σxn ,7 M e lm.nf. + n a ,, 45 La meda artmetca è maggore della medana e qund la curva presenterà asmmetra postva. dev ' Σx n M 6459, ,7 6459,5 509, ,68 σ 49084,68 08, σ 08,56 7,57 IL carattere è llmtatamente trasferble e la dstrbuzone mass mante sulla quale s calcolerà l sgma mass mante è la seguente: x n x x n totale dev Σx n M , ,6 9955,6 46

47 σ 9955, ,46 σ 7,46 48,8 σ 7,57 I* 0, 05 max σ 48,8 Il sgma calcolato su dat osservat rappresenta solo l 5% d quello che s sarebbe regstrato n caso d varabltà massma. Prospetto d calcolo per l rapporto d concentrazone classd superfce azende X n s p q p + -p q +q + prodott 0, , ,046 0, ,04 0,004, ,999 0, ,9544 0, ,00988, ,5 05,5 0, , , , ,05 7, , , , ,5084 0,47 0, ,909 0, ,67 0, , ,974 0, ,04885,4649 0, ,08786, , totale ,9987 R ' ( p p )( q + q ) 0,9987 0, 68 Σ Formula abbrevata Prospetto d calcolo Class d superfce azende x n B ( B I ) x n ( B I ) 0, , , , ,5 7, , , totale R ' M R,856 8,7,856 0,68 7,44 47

48 R Σ x n ' ( A B ) ,856 48

49 Eserczo In una tabella a dopp entrata nella quale 58 student sono stat classfcat secondo l voto conseguto agl esam d matematca e statstca per la dstrbuzone y ( vot n matematca) s sono regstrat seguent rsultat: numer.tà meda devanza Gruppo 0, Gruppo,5 7 Gruppo 4,6 70,5 Gruppo , Gruppo 4 7 8, Consderato che s sono anche rlevate le seguent quanttà: Σ x n. 08 ΣΣ j x y j n j 0660 devx 9\ S chede d calcolare: 6) Il rapporto d correlazone d y a x; 7) I parametr delle rette d regressone; 8) Il coeffcente d correlazone; 9) L ndce d determnazone; 0) La devanza dell errore e la devanza d regressone. Rsoluzone Per calcolare l rapporto d correlazone oltre dat conoscut abbamo necesstà d calcolare la meda artmetca dell ntera dstrbuzone della y e la devanza totale della stessa dstrbuzone. Calcolo della meda artmetca Applcando la propretà assocatva della meda artmetca s avrà l seguente prospetto d calcolo: 49

50 y n. y n. 0, 46,,5 47,5 4,6 9, totale 58 5,6 M y 5,6 58,0 Predsponamo la tabella per l calcolo della devanza d lnea: y n. - y M y y M y y M y n. 0, -,7759 7, ,4,5-0,5759 0,7847,0689 4,6,5744,47485,4 6 9,9744 8, , ,9744 5, , ,0759 La devanza dell errore è data dalla somma delle devanza che gà s conoscono: devanze 7 70,5 68, 8, 57 s avrà qund: dev y dev( E) + dev( L) , ,08 Ora possamo calcolare l rapporto d correlazone: η devl 4,08 devy 85,08 y / x 0,9 Esste una relazone n meda tra le due dstrbuzon anche se non elevata. 50

51 Relazone lneare Per l calcolo de parametr della retta d regressone dobbamo calcolare la meda della dstrbuzone x e la codevanza: M x 08 58,6 cod xy , ,4 5,6 5,6 β 9 0,56 ' β 5,6 85,08 0,6 α,6 0,56 0,4 Equazone della prma retta d regressone y 0,4 + 0, 56x ' α,6 0,6 8,8 Equazone della seconda retta d regressone x 8,8 + 0, 6y ρ 0,56 0,6 0,6 0,6 0,664 ρ 0,6 0,58 Scomposzone della devanza n regressone deve 0,664 85,08 565, dev r 0,6 85,08 85,96 5

52 Esercz n classe del 5 maggo 0 Eserczo S lancno monete e s costrusca lo spazo camponaro. S chede d costrure la tabella a dopp entrata delle varabl x uscta numero d teste e y varazon nella sequenza de lanc. Calcolare: la meda e la varanza della dstrbuzone x; la meda e la varanza della dstrbuzone y; la covaranza. Eserczo Il voto conseguto da 00 student all esame d economa presenta seguent parametr: meda 6 s.q.m. S trov l numero degl student che hanno preso un voto tra m e 0, tenendo present le seguent potes: a)non s conosce la forma della dstrbuzone; b) dat s dstrbuscono n modo normale. Eserczo Una macchna produce pastrelle quadrate con superfce meda d 5 cm s.q.m- par a /0 della superfce meda. on è nota la forma della dstrbuzone, s chede d trovare la p. mnma d ottenere pastrelle son superfce compresa tra 98 5 cm Eserczo In un urna 5 pallne sono contrassegnate dal numero, pallne sono contrassegnate dal numero e pallna dal numero. S chede d costrure lo spazo camponaro relatvo a tutt possbl campon d ampezza nel caso d: Camponamento con rentroduzone: Camponamento senza rentroduzone Eserczo La funzone d denstà della v.c. x è: f ( x) x per 0<x< f ( x) 0 altrove. 5

53 Dmostrare che samo d fronte a una dstrbuzone d frequenze relatve e calcolare la varanza Rsoluzone esercz del 5 maggo 0 Eserczo S lancno monete e s costrusca lo spazo camponaro. S chede d costrure la tabella a dopp entrata delle varabl x uscta numero d teste e y varazon nella sequenza de lanc. Calcolare: la meda e la varanza della dstrbuzone x; la meda e la varanza della dstrbuzone y; la covaranza. Rsoluzone Lo spazo camponaro è: TTT TTC TCT TCC CTT CTC CCT CCC E la tabella da costrure relatva al numero delle teste uscte e delle varazon nella sequenza è la seguente: X\Y 0 totale 0 /8 / / /8 / /8 /8 /8 / /8 /8 /8 /8 / / /8 totale /8 4/8 /8 Dstrbuzone della v.c. X Tabella per l calcolo della meda e della varanza x p(x ) x p(x ) x totale 0 / /8 /8 /8 /8 6/8 4 /8 /8 /8 9 9/8 totale /8 /8 4/8 µ x,5 8 5

54 σ x 4,5 8,5 0,75 Dstrbuzone della v.c. Y y j p(y j ) Y j p(y j ) Y j Y j p(y j ) 0 / /8 4/8 4/8 /8 4/8 4 8/8 totale 8/8 /8 µ y 8 8 σ y 4,5 8,5 0,75 Tabella de prodott x y j p(x y j ) X\Y 0 totale 0 / / / / / /8 /8 4/8 / 4/8 4/8 8/8 / / / totale 0 /8 6/8 /8 cov xt,5,5,5 0 8 Tra le due dstrbuzon esste ndpendenza d tpo lneare,ma scuramente esste una dpendenza da defnre dal momento che la tabella osservata presenta al suo nterno dverse caselle vuote. Eserczo Il voto conseguto da 00 student all esame d economa presenta seguent parametr: meda 6 s.q.m. S trov l numero degl student che hanno preso un voto tra m e 0, tenendo present le seguent potes: a)non s conosce la forma della dstrbuzone; b) dat s dstrbuscono n modo normale. 54

55 a) Se non abbamo nformazon sulla forma della dstrbuzone dobbamo far rfermento alla dsuguaglanza d Tchebycheff e sulla base de dat a dsposzone s avrà: [ X M Kσ ] P < Dobbamo qund trovare l valore d con la formula: ,, E sosttuendo questo valore nella formula precedente s avrà: P P [ X M Kσ ] <, [ X M Kσ ] < < 0, 57,7689 e la percentuale nterna a due valor d sarà par a: -0,570,4 percentuale presente nelle code della dstrbuzone b) Se la curva è d tpo normale valor d dventano valor d z e leggendo le tavole s avrà: P, z +, 0,408 0, ( ) 864 Eserczo Una macchna produce pastrelle quadrate con superfce meda d 5 cm s.q.m- par a /0 della superfce meda. on è nota la forma della dstrbuzone, s chede d trovare la p. mnma d ottenere pastrelle son superfce compresa tra 98 e 5 cm Rsoluzone Anche n questo caso non s conosce la forma della dstrbuzone e s deve far rfermento alla dsuguaglanza d Tchebycheff. Trovamo l valore d : , ,5,, 55

56 P P [ X M Kσ ] <, [ X M Kσ ] < < 0, 69,44 nterna a due valor è del %. Eserczo percentuale de cas esterna all ntervallo e d conseguenza la percentuale In un urna 5 pallne sono contrassegnate dal numero, pallne sono contrassegnate dal numero e pallna dal numero. S chede d costrure lo spazo camponaro relatvo a tutt possbl campon d ampezza nel caso d: Rsoluzone Camponamento con rentroduzone: Camponamento senza rentroduzone La composzone dell urna è la seguente: x p(x ) 5/9 /9 /9 totale Camponamento con rentroduzone X \X totale 5/8 5/8 5/8 45/8 5/8 9/8 /8 7/8 5/8 /8 /8 9/8 totale 45/8 7/8 9/8 8/8 Le estrazon sono ndpendent e ogn probabltà congunta è data dal prodotto de margnal d rga e d colonna. Camponamento senza rentroduzone X \X totale 0/7 5/7 5/7 40/7 5/7 6/7 /7 4/7 5/7 /7 / 8/7 totale 40/9 4/9 8/9 7/7 Il camponamento è senza rentroduzone e l elemento estratto non vene renserto nell urna. Le estrazon sono pertanto dpendent e possbl campon sono (-) 9*87 56

57 57 Eserczo La funzone d denstà della v.c. x è: x x f ) ( per 0<x< 0 ) ( x f altrove. Dmostrare che samo d fronte a una dstrbuzone d frequenze relatve e calcolare la varanza Rsoluzone 0 0 x xdx La dstrbuzone è d frequenze relatve dal momento che l ntegrale della funzone d denstà è par all untà. Calcolamo la meda x dx x xdx x µ Varanza x dx x xdx x µ µ µ σ

58 Esercz del 6 maggo 0 Eserczo Il 60% degl elettor d una grande cttà è favorevole a una certa legge. Un campone d 00 votant ha presentato una percentuale d vot favorevol del 5%. Al lvello d sgnfcatvtà del 5% la supposzone nzale può essere accettata? Calcolare l p-value. Calcolare la potenza del test ne seguent cas d meda alternatva: 0,54; 0,50. Eserczo La devanza spegata dalla regressone della Y è par a 6,0. Se la d.s. de resdu d nterpolazone è 0,7, per campon d ampezza n 0 s può accettare l potes d assenza d relazone al lvello del 5%.? Eserczo Dat seguent stmator della meda della popolazone: T T X X + + X X 4 + X + X S chede d calcolare l errore quadratco medo. Eserczo Il numero d ncdent automoblstc rlevat n un certo ncroco partcolarmente percoloso n un lasso d tempo ha fornto seguent dat:. ncdent n. settmane e+ 0 Al lvello s sgnfcatvtà del 0% s può rtenere che la dstrbuzone segua una legge d Posson? 58

59 Eserczo Un urna contene pallne numerate da a. S estraggono due pallne senza rensermento.sa X la v.c. assocata al pù grande de numer estratt e Y la v.c. somma de due numer estratt. S chede d costrure la tabella a doppa entrata rferta alle due dstrbuzon e d calcolare la meda e la varanza della dstrbuzone condzonata della Y dato X e l coeffcente d correlazone. Eserczo Il numero delle mperfezon n un rotolo d carta segue una dstrbuzone d Posson con un valore atteso d una mperfezone ogn 5 metr d carta.calcolare: ) la p. che n un metro d carta d sano almeno due mperfezon: ) la p. che n metr d carta c sa almeno una mperfezone; ) la p. che n 50 metr c sano 9 mperfezon. Eserczo S vuole verfcare se le mede d due popolazon ndpendent, normal e omoschedastche sono o meno sgnfcatvamente dverse. S estraggono due campon rspettvamente d ampezza 5 e 7 e s ottengono seguent rsultat: Σ x 4 Σ x 88 Dev 654 Dev 6899 Qual test s possono utlzzare e qual tavole occorre consultare? 59

60 Eserczo Il 60% degl elettor d una grande cttà è favorevole a una certa legge. Un campone d 00 votant ha presentato una percentuale d vot favorevol del 5%. Al lvello d sgnfcatvtà del 5% la supposzone nzale può essere accettata? Calcolare l p-value. Calcolare la potenza del test ne seguent cas d meda alternatva: 0,54; 0,50. Rsoluzone L potes da testare è: H0 : π 0,6 contro l potes alternatva: H : π < 0,6 Dal momento che la proporzone camponara è rsultata nferore a 0,6. La varable camponara è data da: z c 0,5 0,6 0,6 0,4 00 0,08 0,08,6 0,004 0,05 Il valore d z α al lvello del 5% è -,645 e qund l potes va accettata. In corrspondenza del valore d z c trovato calcolamo l p-value che è dato da: 0,5-0,445 0,0548 Mentre l valore crtco è dato da:,645 0,05+ 0,6 0,5 Questo valore sarà l rfermento per l calcolo della potenza del test e per le proporzon ndcate s avrà: caso π 0,54 che cade nella zona d accettazone del test e l valore d z camponaro assumerà la forma: z c 0,5 0,54 0,54 0, ,0 0,0 0,4 0,0048 0,05 E la potenza del test sarà par a : 60

61 β 0,5 0,554 0,4 caso π 0,50 che cade nella zona d rfuto del test e l valore d z camponaro assumerà la forma: z c 0,5 0,50 0,50 0, ,0 0,0 0,4 0,0048 0,05 E la potenza del test sarà par a : β 0,5 + 0,554 0,65 Eserczo La devanza spegata dalla regressone della Y è par a 6,0. Se la d.s. de resdu d nterpolazone è 0,7, per campon d ampezza n 0 s può accettare l potes d assenza d relazone al lvello del 5%.? Rsoluzone S conosce la devanza de resdu d nterpolazone : s res 0,7 e l suo quadrato : s res 0,7 0,9 Rappresenta la varanza de resdu d nterpolazone che c permette d conoscere la devanza non spegata o devanza entro grupp: dev res 8 0,9, Con quest dat possamo costrure la tabella AOVA: Tabella AOVA Tp d varazone devanza Grad d lbertà varanza Spegata 6,0 6,0/6,0 on spegata, 8,/80,9 Devanza totale 7,4 9 7,4/9,0 Il valore d F camponaro è: F c 6,0 87,7 0,9 6

62 l potes va rfutata. Eserczo Dat seguent stmator della meda della popolazone: T T X X + + X X 4 + X + X S chede d calcolare l errore quadratco medo. Rsoluzone Calcolamo la meda e la varanza degl stmator: E ( T ) ( X ) + E( X ) + E[ X ] E 4µ µ 4 4 Lo stmatore è corretto e la sua varanza è data da: var ( T ) var ( X ) + 4var( X ) + var( X ) 6 6 σ σ 6 8 L errore quadratco medo corrsponde alla varanza dello stmatore dal momento che lo stesso è rsultato corretto MSE var T ( ) E T ( ) σ 8 ( X ) + E( X ) + E( X ) E 6 µ µ Lo stmatore non è corretto e l suo bas o dstorsone è data da: µ( ) µ bas µ µ var ( T ) var ( X ) + 4var( X ) + 9var( X ) 4 σ 9 4 MSE var ( T ) + bas σ + µ 9 6

63 Eserczo Un urna contene pallne numerate da a. S estraggono due pallne senza rensermento.sa X la v.c. assocata al pù grande de numer estratt e Y la v.c. somma de due numer estratt. S chede d costrure la tabella a doppa entrata rferta alle due dstrbuzon e d calcolare la meda e la varanza della dstrbuzone condzonata della Y dato X e l coeffcente d correlazone. Rsoluzone Costruamo lo spazo camponaro X X Sulla base de campon estratt la dstrbuzone X avrà come valor o mentre la Yassumerà valor 4 5 e la tabella da costrure è la seguente: X\Y 4 5 totale /6 / / /6 / /6 /6 4/6 totale /6 /6 /6 La dstrbuzone condzonata della Y assocata al valore della dstrbuzone della X e : y j P(y/x) / 4 /6 5 /6 totale 4/6 e l prospetto d calcolo per la meda e la varanza è l seguente: y j p(y/x) y j p(y/x) y j y j p(y/x) / / 9 / 4 /6 8/6 6 /6 5 /6 0/6 5 50/6 totale 4/6 8/6 8/6 µ 8 6 y / x 6

64 σ y 8,67 9^4,67 / x 6 Analzzamo ora le due dstrbuzon x e y per calcolare la meda e la varanza costruendo le tabelle che seguono: Dstrbuzone x x p(x ) x p(x ) x x p(x ) /6 4/6 4 8/6 4/6 /6 9 6/6 totale 6/6 44/6 6 µ x 6,67 σ x 44,67 7, 7, 0, 6 Dstrbuzone Y y j p(y j ) y j p(y j ) Y j Y j p(y j ) /6 6/6 9 8/6 4 /6 8/6 6 /6 5 /6 0/6 5 50/6 totale 4/6 00/6 4 µ y 6 4 σ y ,67 6 0,67 Tabella per l calcolo de prodott x y j p(x y j ) X\Y 4 5 totale /6 / / /6 / 4/6 0/6 54/6 totale /6 4/6 0/6 66/6 cod xy 66,67 4 0,68 0, 6 covxy ρ σ σ x y 0, 0,45 0,8 0, 0,79 0,84 64

65 Eserczo Il numero delle mperfezon n un rotolo d carta segue una dstrbuzone d Posson con un valore atteso d una mperfezone ogn 5 metr d carta.calcolare: ) la p. che n un metro d carta d sano almeno due mperfezon: ) la p. che n metr d carta c sa almeno una mperfezone; ) la p. che n 50 metr c sano 9 mperfezon. Rsoluzone La p. d avere una mperfezone n un metro è data da: P λ 5 0, ) P ( x ) P( x 0) + P( x ) ( 0, ,7) 0,954 0, 05 ) λ 0, 0, 4 ( x ) P( x 0) 0,670 0, ) λ 50 0, 0 P ( x 9 ) P( x 9) 0, 5 Eserczo S vuole verfcare se le mede d due popolazon ndpendent, normal e omoschedastche sono o meno sgnfcatvamente dverse. S estraggono due campon rspettvamente d ampezza 5 e 7 e s ottengono seguent rsultat: Σ x 4 Σ x 88 Dev 654 Dev 6899 Qual test s possono utlzzare e qual tavole occorre consultare? Rsoluzone campone n 5 65

66 4 5 x Dev 654 campone n x Dev 6899 x 8,07 5, ,75 Esste omogenetà nelle varanze e qund per testare l potes d uguaglanza tra le mede dobbamo utlzzare la varable camponara t dopo aver calcolato la devazone standard comune: H : µ µ 0 Contro l potes alternatva H : µ < µ s c ,7 t c 8,07 5,94, ,87,7 0,,87, 7,6 t 0,05,0,697 e qund s rfuta l potes d uguaglanza tra mede. La stessa potes può essere testata con la tabella AOVA e occorre calcolare la devanza spegata predsponendo l seguente prospetto d calcolo: x n j j x j x x x j x n j x j 8,07 5 -,68 60,784 4,76 5,94 7,9 5,6 8,67 totale 4540,4 66

67 Tabella AOVA Tp d varazone devanze g.l. varanze Spegata 4540,4 4540,4 F c 4540,4/4480, on spegata totale 7980,4 580,0 S rfuta l potes. Esercz del maggo 0 Eserczo Una catena d supermercat svolge un'ndagne d mercato per valutare se esste una qualche dpendenza tra la preferenza per una certa marca (A o B) d un prodotto e l sesso dell'acqurente. A tal fne ntervsta 80 donne, le cu preferenze s equrpartscono tra le due marche, e 70 uomn, de qual 0 preferscono la marca A e restant la marca B. Al lvello α0,05 verfcare l'potes d ndpendenza tra sesso e marca preferta. Eserczo Da unurna d composzone nota (/4 pallne banche e /4 pallne nere) s effettuano n 0 estrazon senza rpetzone. Sapendo che la dstrbuzone del numero d success (ntendendo per successo lestrazone d pallna banca) ha varanza par a,65, determnare l numero d pallne nzalmente present nellurna. Eserczo La lunghezza delle mensole prodotte da una certa dtta può consderars una varable aleatora con dstrbuzone normale. S sa che lo 0,99% delle mensole ha una lunghezza mnore d cm 8, mentre l8,59% delle mensole ha lunghezza superore a cm,. S calcolno la meda e la varanza della dstrbuzone delle lunghezze. Eserczo Da un unverso normale d varanza gnota s è tratto un campone bernoullano d n 6 untà, a partre dal quale s è costruto, al lvello α 0,05, lntervallo d confdenza della meda. Tale ntervallo è rsultato d ampezza complessva par a 0,6550. Determnare la devanza totale delle n 6 osservazon camponare. Eserczo Dato l seguente schema d tabella a doppa entrata: X \ Y Totale Totale 00 e sapendo che la meda artmetca d Y condzonata a X è rsultata par a 5,, completarlo n modo tale che l ch quadro rsult massmo. 67

68 Rsoluzone esercz Eserczo Una catena d supermercat svolge un'ndagne d mercato per valutare se esste una qualche dpendenza tra la preferenza per una certa marca (A o B) d un prodotto e l sesso dell'acqurente. A tal fne ntervsta 80 donne, le cu preferenze s equrpartscono tra le due marche, e 70 uomn, de qual 0 preferscono la marca A e restant la marca B. Al lvello α0,05 verfcare l'potes d ndpendenza tra sesso e marca preferta. Rsoluzone La tabella da costrure è la seguente: Sesso\p. marche A B totale M F totale e l valore d χ 7,4,calcolato con la formula: ( ) 50 χ , va confrontato con l valore letto sulle tavole par a : χ, 84 0,05, Essendo 7,4>,84 lpotes nulla d ndpendenza non può essere accettata. Eserczo Da unurna d composzone nota (/4 pallne banche e /4 pallne nere) s effettuano n 0 estrazon senza rpetzone. Sapendo che la dstrbuzone del numero d success (ntendendo per successo lestrazone d pallna banca) ha varanza par a,65, determnare l numero d pallne nzalmente present nellurna. Rsoluzone,65 npq da cu segue che 76 n

69 Eserczo La lunghezza delle mensole prodotte da una certa dtta può consderars una varable aleatora con dstrbuzone normale. S sa che lo 0,99% delle mensole ha una lunghezza mnore d cm 8, mentre l8,59% delle mensole ha lunghezza superore a cm,. S calcolno la meda e la varanza della dstrbuzone delle lunghezze. Rsoluzone Essendo due le ncognte del problema c vengono fornte due nformazon ovvero che P( X < 8) 0,0099 e P( X >,) 0,85, standardzzando s ottene che P( Z < 8 µ / σ ) 0,0099 e P( Z >, µ / σ ) 0,85. Utlzzando le tavole della normale standardzzata d ottene l seguente sstema 8 µ, σ, µ 0.9 σ Dalla prma equazone s ottene:,σ 8 µ,σ 8 µ +,σ + 8 +µ Sosttuendo questo valore nella seconda equazone, otterremo: (,σ 8) 0,9σ, + 0,9σ +,σ, 8 +,4σ 4, Dalla quale s ottene : σ 4,,4 Sosttuendo questo valore n una delle equazon s trova: µ 5 e σ 9 69

70 Eserczo Da un unverso normale d varanza gnota s è tratto un campone bernoullano d n 6 untà, a partre dal quale s è costruto, al lvello α 0,05, lntervallo d confdenza della meda. Tale ntervallo è rsultato d ampezza complessva par a 0,6550. Determnare la devanza totale delle n 6 osservazon camponare. Rsoluzone Il grado d precsone rferto a alla parte postva è dato da: 5,75, Da cu rcavamo: s 6 5,75 4, s 0,, e s 00. La devanza totale del campone e par a : (essendo 5 grad d lbertà della dstrbuzone). Eserczo Dato l seguente schema d tabella a doppa entrata: X \ Y Totale Totale 00 sapendo che la meda artmetca d Y condzonata a X è rsultata par a 5,, completarla n modo tale che l rsult massmo. Rsoluzone In base a dat fornt trovamo subto che l secondo margnale d rga è 80 ( 00-0). La meda condzonata della Y/x è data da: E 4 n + 6n 80 ( Y / x ) 5, e qund dobbamo trovare le due frequenze congunte che permettono d ottenere la tabella fnale. Il modo pù semplce d procedere è scrvere luguaglanza precedente n questo modo: 70

71 4 n n 5, + 6(80 80 ) Dove compare una sola ncognta n e rsolvendo rspetto a questa s avrà: 4 n n 5, + 6( n n n n 64 n n 64 6 La tabella fnale assumerà pertanto la forma: ) X \ Y Totale 0 0 / / 0 / Totale