Ettore Limoli. Lezioni di Matematica Prof. Ettore Limoli. Sommario. Calcoli di regressione

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1 Sto Personale d Ettore Lmol Lezon d Matematca Prof. Ettore Lmol Sommaro Calcol d regressone... 1 Retta d regressone con Ecel... Uso della funzone d calcolo della tendenza... 4 Uso della funzone d regressone lneare... 4 Caso d dretta proporzonaltà... 5 Calcol d regressone Un problema molto frequente nelle scenze spermental è quello d determnare una legge emprca che lega valor d una varable (ndpendente) a valor d una varable (dpendente) a partre da una tabella d dat spermental. Il problema potrebbe essere rsolto cercando l espressone analtca d una funzone = f () tale che = f ( ) per ogn valore d. Tuttava, questo problema non è d semplce soluzone e non è detto che cò che determnamo esprma l effettvo legame tra le due varabl. I valor d e, n una scenza spermentale, sono certamente affett da error e non ha qund senso avere un espressone analtca che per ogn resttusce l effettvo valore determnato spermentalmente. Rappresentando su d un pano cartesano tutt punt P (, ) ottenut spermentalmente cerchamo d approssmarl con una curva algebrca d semplce equazone. 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00,00,00 1,00 0,00 0,00 1,00,00,00 4,00 5,00 Ad esempo (grafco rportato sopra), una sere d dat spermental vengono approssmat da una retta d equazone = m + b, detta retta d regressone. Il coeffcente m è detto pendenza (o coeffcente angolare) e l coeffcente b è detto ntercetta (sottntendendo sull asse Y). Analtcamente s ha che m = tang, dove è l angolo che la retta forma con l asse X, mentre b è l ordnata del punto n cu la retta tagla l asse Y. 1

2 Y b X Charamente v sono nfnte rette, qund nfnt valor d m e d b, che possono essere rtenute delle valde soluzon del nostro problema. La statstca c consente d determnare quella che meglo approssma la nostra sere d dat; questa retta è detta: retta de mnm quadrat. Una funzone d regressone è una legge del tpo * = f () che esprme un legame esstente n meda fra valor emprc e. el nostro caso s tratta d una retta del tpo: * = m + b tale che la somma de quadrat degl scart fra valor calcolat * e quell emprc sa mnma; ossa: mn 1 * ( ). S può dmostrare che sussstono le seguent relazon: m 1 b m dove è l numero d punt P (, ) e e rappresentano valor med d e d rspettvamente. Soltamente s defnsce un coeffcente d correlazone r dato dall espressone: r m (coeffcente d Pearson) dove e sono, rspettvamente, la devazone standard de valor e de valor e r 1. Quanto pù r s avvcna a 1 tanto pù dat sono correlat, per r = 1 la correlazone è perfetta, ossa la retta passa effettvamente per punt P (, ).

3 Retta d regressone con Ecel I calcol d regressone con l foglo elettronco d calcolo Mcrosoft Ecel possono essere svolt n modo molto semplce. Sotto è rportato lo schema su come possono essere nsert dat perché l foglo elettronco svolga calcol volut.,0608 -,1956 0, * 5,10 4,10 4, 6,60 9,00 8,75 7 5,70 14,90 15,10 8 7,10 19,40 19, Alle celle A e B sono stat, rspettvamente, assegnat nom m e b, agl ntervall A5:A8 e B5:B8 nom e. I nom alle celle o agl ntervall d celle s assegnano tramte l comando ISERISCI OME DEFIISCI. Poché, come n questo caso, le celle da nomnare recano nella cella soprastante un etchetta (m, b,,, nel nostro esempo) l foglo elettronco c propone come nome da assegnare l contenuto d dette etchette. Assegnat nom l foglo può essere completato nserendo le formule come sotto rportato. =PEDEZA(;) =ITERCETTA(;) =PEARSO(;) 4 * 5,1 4,1 =m*+b 6,6 9 =m*+b 7 5,7 14,9 =m*+b 8 7,1 19,4 =m*+b In questo modo appare molto semplce comprendere l sgnfcato delle formule ntrodotte. S può completare l tutto ottenendo l grafco sotto rportato. Regressone 0,00 18,00 16,00 14,00 1,00 10,00 8,00 6,00 4,00,00 0,00 0,00 1,00,00,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 * In esso la sere d dat emprc è rappresentata da sngol punt, mentre gl * dalla sola lnea che l unsce.

4 Al solo fne d ottenere l grafco della retta d regressone, s potrebbe fare a meno della tabella de dat calcolat * procedendo come segue: selezonare l ntervallo A4:B8 contenente dat spermental con le etchette; premere l pulsante che avva la creazone gudata del grafco ; attvare l grafco d dspersone (XY) solo punt; modfcare l area del traccato, le grgle, l formato della sere dat e la scala, come rtenuto pù opportuno; selezonare l grafco n modo che compaa l menu GRAFICO mpartre l comando GRAFICO AGGIUGI LIEA DI TEDEZA Tpo Lneare. La lnea d tendenza verrà vsualzzata fra var punt del grafco; selezonandola sarà possble modfcarne l aspetto come per ogn altro elemento del grafco. Uso della funzone d calcolo della tendenza Il foglo elettronco d calcolo offre ancora un modo dretto d calcolare dat della tabella * de valor calcolat; a tal uopo basterà nserre nelle celle C5:C8 la formula come d seguto mostrato. =PEDEZA(;) =ITERCETTA(;) =PEARSO(;) 4 * 5,1 4,1 =TEDEZA(;;A5;VERO) 6,6 9 =TEDEZA(;;A6;VERO) 7 5,7 14,9 =TEDEZA(;;A7;VERO) 8 7,1 19,4 =TEDEZA(;;A8;VERO) La funzone TEDEZA accetta seguent parametr: _nota: ntervallo de valor emprc ; _nota: ntervallo de valor emprc ; nuova_: nuovo valore d n cu calcolare la funzone; cost: costante che assume valor VERO o FALSO a seconda che l ntercetta b 0 o b = 0. Uso della funzone d regressone lneare Anzché usare le funzon PEDEZA, ITERCETTA, PEARSO, s potrebbero ottenere gl stess valor da un unca funzone: REGR.LI. Analzzamo la sua sntass. REGR.LI accetta n nput seguent parametr: Y_nota: l nseme de dat emprc ; X_nota: l nseme de dat emprc ; Cost: se VERO vene calcolato b, se FALSO vene mposto b = 0; Stat: se VERO resttusce statstche agguntve, se FALSO resttusce coeffcent m e b. Questa funzone, n output, resttusce pù valor a seconda del valore assunto dal parametro Stat. Per potere ottenere sngol valor resttut dalla funzone REGR.LI occorre servrs della funzone d rcerca IDICE la cu sntass è: IDICE (matrce; rga; colonna); dove: matrce: è un ntervallo o una matrce d valor; rga: selezona la rga della matrce; 4

5 colonna: selezona l eventuale colonna della matrce (s omette se matrce ha una sola colonna). La funzone IDICE può avere una doppa sntass: quella esamnata, nel caso n cu s vuole che resttusca un valore all nterno d una tabella d valor (rcerca); una sntass dversa, nel caso n cu s vogla ottenere un rfermento. Per maggor charment s consult la guda n lnea d Ecel. Il nostro fglo d calcolo, pertanto, può essere complato come segue. =IDICE(REGR.LI(; =IDICE(REGR.LI(; =IDICE(REGR.LI(; ; VERO; FALSO);1) ; VERO; FALSO);) ; VERO; VERO);) In questo modo otterremo gl stess valor d m e d b, ma l valore del coeffcente d correlazone non è pù quello d Pearson, ma è quello del coeffcente d determnazone r. A fn pratc, l coeffcente d determnazone r ha un sgnfcato analogo a quello del coeffcente d correlazone e l suo valore è dato dalla formula: r ( ) ( ) *. Caso d dretta proporzonaltà Quando la legge che esprme l legame tra e, anzché essere del tpo = m + b (lneare dpendenza), è del tpo = m, s ha una dretta proporzonaltà. In questo caso, ne calcol d regressone, sussstono le formule: m 1 1 b = 0; r ( ) ( ) * Vedamo un esempo d legge d dretta proporzonaltà svolto con Ecel. 1 a b r, , * 6 0,10 0,0 0,0 7 1,00,90,97 8 1,0,40,56 9,00 6,0 5,9 10 4,00 11,80 11,87 5

6 Ed ecco le formule: 1 a b r =IDICE(REGR.LI(;; 4 FALSO;FALSO);1) =IDICE(REGR.LI(;; FALSO;FALSO);) =IDICE(REGR.LI(;; FALSO;VERO);) 5 * 6 0,1 0, =TEDEZA(;;A6;FALSO) 7 1,9 =TEDEZA(;;A7;FALSO) 8 1,,4 =TEDEZA(;;A8;FALSO) 9 6, =TEDEZA(;;A9;FALSO) ,8 =TEDEZA(;;A10;FALSO) Analogamente a quanto vsto, n precedenza, traccamo l grafco. Regressone: dretta proporzonaltà 14,00 1,00 10,00 8,00 6,00 4,00,00 0,00 0,00 1,00,00,00 4,00 5,00 * Se s utlzza l comando GRAFICO - AGGIUGI LIEA DI TEDEZA... attvare: Tpo lneare Imposta Intercetta = 0. bsogna Oltre alle rette d regressone (lneare dpendenza e dretta proporzonaltà) l foglo elettronco d calcolo Mcrosoft Ecel mette a dsposzone anche altr modell d regressone come la regressone logartmca da cu s possono ottenere var modell. Prof. Ettore Lmol 6