Propagazione degli errori

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1 Propagazone degl error Msure drette: la grandezza sca vene msurata drettamente (ad es. Spessore d una lastrna). Per questo tpo d msure, la teora dell errore svluppata nelle lezone precedent é sucente per valutare gl error d msura. Msure ndrette: la grandezza sca non venemsuratadrettamente. Il suo valore vene determnato (medante una relazone matematca nota dalla teora) a partre dal valore d una o pú grandezze msurate. Ad esempo vs/t (msuro spazo e tempo e determno la veloctá) Poché le grandezze msurate ( nell esempo t ed s) sono aette da errore, la grandezza ndrettamente (v) non potrá non essere aetta da errore!! S parla pertanto d propagazone dell errore. Quale è l errore sulla grandezza dervata?. S presentano stuazon dverse a seconda che l errore sulle grandezze msurate sano massm o statstc.

2 Errore massmo - I Comncamo a consderare l caso n cu la grandezza dervata venga determnata al partre da un sola grandezza sca drettamente msurata: () () Δ ( ) Δ dove é la unzone (nota dalla teora) che lega a. Se vene msurata (l valore trovato sa ) con un errore Δ, allora basandos su un semplce svluppo n sere d Talor troncato al prmo ordne (ved gura) s ha mmedatamente che l errore Δ sulla grandezza dervata é dato da: Δ d d Δ Δ Δ

3 Errore massmo - II La dervata vene calcolata per - (coé per l valore d trovato nella msura). La dervata é n valore assoluto (non s hanno error negatv!) Estensone al caso d unzon d pú varabl Quanto ora vsto nel caso n cu la varable sa unzone d una sola varable puo essere esteso al caso n cu é unzone d pú varabl (ad es. due). (, ) In questo caso, rpetendo lo svluppo troncato al prmo ordne s ottene: Δ d d Δ + d d Δ

4 Errore massmo - III Nel caso generale n cu sa unzone d N varabl s ha: Δ N d d Δ Notamo ancora, come nel caso d una solavarable, la presenzadelle dervate n valore assoluto. Nel caso d unzon d pú varabl, l valore assoluto asscura che non v sano parzal cancellazone degl error qualora le dervate abbano segno alcune postvo, altre negatvo. Inoltre, valor assolut c asscurano che la propagazone dell errore avvenga nel modo pú pessmsta possble, n ossequo al atto che stamo qu trattando l caso d propagazone d error massm. Quest due punt sono chart nel prossmo esempo.

5 Errore massmo - IV Esempo: - Eseguendo e dervate parzal ed applcando la ormula d propagazone degl error massm vsta n precedenza ( con valor assolut!) s ha: ΔΔ +Δ Co equvale a : ( ) - Δ < < ( ) + Δ ovvero ( ) (Δ +Δ ) < < ( ) +(Δ +Δ ) Mnmo valore d, ottenuto sbaglando per detto la msura d e per eccesso quella d. Massmo valore d, ottenuto sbaglando per eccesso la msura d e per detto quella d.

6 Errore statstco - I Come vsto, nel caso d error massm, la propagazone dell errore (nel caso d unzon d pu varabl) avvene nella manera pu pessmstca, coe supponendo d sbaglare n modo correlato ( e peggore possble) le msure sulle dverse varabl. Charamente questa procedura porta ad una sovrastma dell errore, l che va bene se ho che are con error massm, ma non se ho a che are con error statstc. Per quest ultm, occorretenerepresentechele msure sule dverse varabl non danno rsultat ra loro correlat (hp. Delle msure ndpendent) Consderamo l caso d una unzone d due varabl: (, ) Svluppamo n sere d Talor nell ntorno del valore trovato nella msura: δ δ + δ

7 Errore statstco - II Notamo esplctamente che: Le dervate parzal sono calcolate nel punto e sono pertanto de numer real. Le quantta δ e δ rappresentano gl error che s commettono msurando ed. Entramb sono varabl gaussane centrate ma non rdotte: hanno dunque valor medo teorco nullo e devazo standard teorche rspettvamente par a e. L espressone precedente c dce che l errore δ e somma d due varabl gaussane moltplcate per de coecent numerc (le dervate parzal). δ e dunque che essa una varable gaussana e, per I teorem sulla somma d varabl gaussane e del loro prodotto per una costante la sua varanza e par a: +

8 Errore statstco - III D qu, estraendo la radce, s ottene l espressone per la devazone standard: + N Generalzzazone al caso d N varabl Caso partcolare d una sola varable

9 Errore statstco - IV Notamo che nel caso d pu varabl l espressone della propagazone dell errore statstco, ornsce, a parta d error sulle osservabl msurate, un errore sulla varable mnore d quello che s ottene con la propagazone dell errore massmo (somma n quadratura nvece d somma dretta). Co e dovutoal attocheneldervarele regoled propagazone dell errore statstco s e esplctamente tenuto conto che le msure delle dverse varabl sono scorrelate ed ndpendent, mentre per l erroremassmose suppostochetalmsuresanonvececorrelate nella manera pu pessmstca possble. Per l caso d una sola vareble, le ormule d propagazone dell errore massmo e statstco concdono.

10 Formularo - II Propagazone errore massmo Propagazone errore statstco N d d Δ Δ N