Introduzione al calcolo numerico. Derivazione Integrazione Soluzione di equazioni

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1 Introduzone al calcolo numerco Dervazone Integrazone Soluzone d equazon

2 Dervazone numerca Il calcolo della dervata d una unzone n un punto mplca un processo al lmte ce può solo essere approssmato da un calcolatore. Supponamo nota la orma unzonale d. Una prma approssmazone della sua dervata è: # $ Per sucentemente pccolo. Con molto pccolo però può dventare delcato dal punto d vsta numerco calcolare la derenza ra due numer a numeratore molto vcn tra loro. Per capre come are meglo analzzamo lo svluppo n sere d Taylor d n un ntorno d Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco

3 Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 3 Dervazone numerca II cu da O L errore atto sosttuendo l rapporto ncrementale scrtto sopra al posto della dervata d è dunque d ordne. Possamo mglorare le cose notando ce: cu da O

4 Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 4 Dervazone numerca III Dunque a partà d l errore su 3 4 : cu da O g g O g sarà d ordne e g è qund una approssmazone mglore d. Per are ancora meglo notamo ce: 4 6 O g

5 Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 5 Dervazone numerca IV Rsolvendo per ottenamo: O Questa ormula è sensblmente pù accurata e ance pù stable numercamente. Le ormule con le derenze asmmetrce andrebbero utlzzate solo nel caso n cu sono dente solo la dervata destra e/o quella snstra, o s a una unzone per punt e occorre calcolare la dervata ad un estremo. Vercare ce O

6 Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 6 Derenze nte Sa una sequenza d punt equspazat a dstanza uno dall altro e valor assunt dalla unzone n cascuno d ess. Utlzzando, come vsto, lo svluppo n sere d Taylor d s possono ottenere le seguent tabelle, con un errore O e O 4 rspettvamente: O O

7 Integrazone numerca L ntegrazone numerca s basa semplcemente sulla denzone d ntegrale dento e sulla nterpolazone d una unzone n un certo ntervallo con una unzone polnomale data. Ad esempo se l grado del polnomo è zero s sta approssmando la unzone con una costante e s dovrà calcolare l area d un rettangolo, se è s sta consderando la unzone lneare e s dovrà calcolare l area d un trapezo etc. Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 7

8 Il metodo de trapez Con una approssmazone al prmo ordne l ntegrale dento d una generca unzone s può scrvere: b # a b a d b a I Se l ntervallo [a,b] non è pccolo l approssmazone lneare può rsultare troppo rozza: ma sruttando l addtvtà dell ntegrale s può suddvdere l ntervallo n n ntervall pù pccol d ampezza b-a/n. Su ogn ntervallno s avrà: d Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 8

9 Il metodo de trapez II Dat n ntervalln s ottene allora la stma dell ntegrale data da: b a d I n... 0 n Data la unzone e l ntervallo [a,b] un calcolo dell ntegrale potrà essere atto per va teratva calcolando la stma I n dell ntegrale al crescere d n e ermandos quando due stme successve sono entro una certa tolleranza: b $ d # I n quando I nsucc I n a < Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 9

10 Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 0 Il metodo de trapez III Il modo pù ecente d aumentare n è d raddopparlo ad ogn terazone n modo da dover calcolare la unzone ogn volta solo su metà de punt, avendola calcolata sull altra metà nell terazone precedente: # # n- dspar 0... / ; k NEW NEW n n n n NEW k a I I I n a b n a b

11 Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco Errore d troncamento Valutamo l errore commesso nel calcolo dell ntegrale usando, al solto, uno svluppo n sere d Taylor: O dt t t t dt t d Da conrontare con la regola de trapez : 3 O d #

12 Errore d troncamento II L errore su una sngola strsca vale allora: 3 O 4 L errore sull ntegrale è n volte quello su una sngola strsca, e sccome n b-a/ s ottene: Errore su I n & O$ % n O # Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco

13 Il metodo d Smpson L approssmazone successva a quella d una retta è una polnomale d secondo grado parabola. Il metodo d Smpson usa questa approssmazone per calcolare l ntegrale e, come prevedble, a partà d numero d strsce n a un errore d troncamento nerore a quello del metodo de trapez e par a O/n 4. Usamo un numero par n d strsce e consderamo per ogn punto quello precedente - e quello successvo. S avrà: # d $ I n n n Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 3

14 Applcazone N Rect Trapez Smpson Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 4

15 Esempo d codce Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 5

16 contnua b a d I n... 0 n Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 6

17 contnua # d $ I n n n Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 7

18 Soluzone d equazon Sccome una generca equazone n una varable reale può essere messa nella orma 0 cercare una soluzone è equvalente a cercare lo zero d una unzone. Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 8

19 Metodo della bsezone o rcerca bnara Se è contnua e lo zero cercato non è un punto d massmo o mnmo relatvo un metodo molto semplce ma scuro e adable per trovare la soluzone è quello della bsezone, ce rcorda molto da vcno l algortmo d rcerca bnara. Indvduato un ntorno [a,b] dello zero n cu la unzone a segno opposto s conronta a con ab-a/ e b e s scegle l ramo cu due estrem abbano ancora segno opposto. S tera l procedmento no a trovare la soluzone cercata. Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 9

20 Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 0

21 Metodo d Newton-Rapson L dea è d partre da un punto n cu la dervata d sa non nulla, usare l ntersezone della tangente al graco d con l asse delle come prossma stma dello zero e po terare. Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco

22 Metodo d Newton-Rapson II Rcordando ce la tangente al graco d n un punto a per coecente angolare la dervata prma d calcolata n quel punto s dmostra aclmente ce: Lo zero è stato trovato quando due valor successv d, e derscono tra loro per un valore nerore all accuratezza voluta. Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco

23 Metodo d Newton-Rapson III Il metodo d Newton-Rapson è del secondo ordne, nel senso ce detta se c è lo zero della unzone ovvero c lm % c g g g c c c # K costante $ c s può dmostrare ce e qund 0, vale per vcno a c è Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 3

24 Il metodo della secante S parte dalla denzone d dervata s sosttusce nell terazone d Newton-Rapson La convergenza è mglore del metodo della bsezone, ma non buona come quella d Newton-Rapson.6 Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 4

25 Esempo Supponamo d voler calcolare Trovare gl zer d Soluzone teratva Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 5

26 Esempo Calcolamo utlzzando l terazone precedente Sceglamo Con sole 4 terazon ottenamo l valore alla settma cra decmale Corso d Inormatca AA Introduzone al Calcolo Numerco 6