Integrazione numerica dell equazione del moto per un sistema non lineare a un grado di libertà. Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1

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1 Integrazone nmerca dell eqazone del moto per n sstema non lneare a n grado d lbertà Prof. Adolfo Santn - Dnamca delle Strttre

2 Rgdezza secante e rgdezza tangente /2 Per n sstema non lneare, l eqazone del moto n forma ncrementale s scrve mδ + cδ + ( Δ ) = Δp La forza d rchamo ncrementale s potrebbe esprmere n fnzone della rgdezza secante come sege ( Δ ) = ( k ) sec Δ Tttava, la rgdezza secante non pò essere determnata perché + non è noto all nzo del passo d ntegrazone. (k ) T (k ) sec ( ) + ( ) (! )! 0 + Prof. Adolfo Santn - Dnamca delle Strttre 2

3 Rgdezza secante e rgdezza tangente 2/2 Se s assme che all nterno del passo d ntegrazone Δt la rgdezza secante pò essere sosttta dalla rgdezza tangente, la relazone precedente s scrve ( Δ ) ( k ) T Δ Omettendo l pedce T, l eqazone del moto n forma ncrementale assme la forma mδ + cδ + k Δ = Δp (k ) T (k ) sec ( ) + ( ) (! )! 0 + Prof. Adolfo Santn - Dnamca delle Strttre 3

4 Il metodo d Newmark per sstem non lnear mδ + cδ + k Δ = Δp La somglanza d qesta eqazone con qella d n sstema lneare sggersce che l metodo d Newmark, svlppato per sstem lnear, pò anche essere tlzzato per la valtazone della rsposta d sstem non lnear: basta sosttre la rgdezza k con la rgdezza tangente k, che deve essere calcolata all nzo d ogn passo d ntegrazone. Qesto cambamento mplca che la qanttà ˆk = βδt m + γ 2 βδt c + k = ˆk non pò essere calcolata nzalmente, ma deve essere valtata a ogn passo d ntegrazone. Inoltre le relazon + = + Δ + = ( m p c k + + +) fornscono rsltat dvers, con la seconda da preferre perché soddsfa l eqlbro all stante d tempo t +. Prof. Adolfo Santn - Dnamca delle Strttre 4

5 Case d errore /2 Tttava, qesto modo d procedere condce a error sgnfcatv per de ragon: ) consderare n ntervallo d ntegrazone Δt costante non permette d ndvdare con la dovta precsone pnt d transzone della crva forza-spostamento; 2) la rgdezza tangente è tlzzata al posto d qella secante. La prma casa d errore è llstrata nella fgra segente. S assma che all nzo del passo d ntegrazone (pnto a) la veloctà sa postva, coè che lo spostamento sa crescente. L applcazone del procedmento prma descrtto condce allo spostamento +, (pnto b). Se la veloctà nel pnto b è negatva, allora deve esstere n pnto b all nterno del passo d ntegrazone n c la veloctà s è precedentemente annllata per po dventare negatva e lo spostamento ha nzato a dmnre. Comncare l sccessvo passo d ntegrazone f da b condce al pnto c. Se, nvece, s determna l stante S b d tempo assocato con b, n c s annlla la veloctà, e b' s nza l sccessvo passo d ntegrazone da b, s per- a c vene al pnto c. Non ndvdare b ha l effetto d non c' crva nmerca segre l esatta crva forza-spostamento. Qesto errore pò essere evtato determnando accratamente b ogn crva esatta volta che la veloctà camba segno. A tale scopo s pò tlzzare n procedmento teratvo, aggstando progressvamente l ampezza dell ntervallo d ntegrazone n modo che la veloctà all stante fnale sa prossma a zero. 0 + Prof. Adolfo Santn - Dnamca delle Strttre 5

6 Case d errore 2/2 La seconda casa d errore è dovta all tlzzo della rgdezza tangente nvece d qella secante ed è llstrata nella fgra segente. L nzo del passo d ntegrazone all stante d tempo t è ndcato con l pnto a. Consderando la rgdezza tangente n a, l ntegrazone nmerca tra t e t + condce allo spostamento +, ndcato con l pnto b. Se, nvece, fosse possble consderare la varazone della rgdezza all nterno del passo d ntegrazone s otterrebbe n valore dverso d +, per esempo qello ndcato con l pnto b. Qesta dfferenza s accmla a ogn passo d ntegrazone e pò condrre a error sgnfcatv. Qest error s possono mnmzzare attraverso l segente procedmento teratvo, che prende l nome d terazone d Newton-Raphson. a b crva nmerca b' crva esatta 0 + Prof. Adolfo Santn - Dnamca delle Strttre 6

7 Iterazone d Newton-Raphson /4 Nel caso de sstem non lnear, l eqazone rsoltva del metodo d Newmark s scrve n c Δˆp = Δp + ˆk Δ = Δˆp βδt m + γ β c + 2β m + Δt γ 2β c ˆk = βδt 2 m + γ βδt c + k Come s nota, l eqazone rsoltva è non lneare perché la rgdezza tangente k dpende dalla varazone dello spostamento all nterno del passo d ntegrazone e qnd la pendenza d ˆk non è costante. Al contraro, l termne Δˆp è costante all nterno del passo d ntegrazone. Il prmo passo del processo teratvo consste nel calcolare crva nmerca Δ () = Δˆp ˆk a b b' crva esatta che rappresenta la prma approssmazone del valore esatto Δ fgra. 0 + e che corrsponde al pnto b della Prof. Adolfo Santn - Dnamca delle Strttre 7

8 Iterazone d Newton-Raphson 2/4 Osservazone Le crve forza-spostamento d n sstema lneare e d no non lneare s presentano come sege k k ( ) + ( ) + (! ) k! (! ) k! ( ) ( )!! Per n sstema lneare, l eqazone rsoltva del metodo d Newmark s pò scrvere Δˆp = ˆkΔ = kδ + ( ˆk k)δ = Δ ( ) + ( ˆk k)δ Per n sstema non lneare, non vale n analoga relazone perché ( Δ ) k Δ. Rslta qnd Δˆp ( Δ ) + ( ˆk k )Δ = ΔF Prof. Adolfo Santn - Dnamca delle Strttre 8

9 Iterazone d Newton-Raphson 3/4 () () Pertanto, alla qanttà Δ è assocata la forza ΔF, che è dversa da Δˆp. S pò qnd defnre na forza resda al prmo passo del processo teratvo ΔR (2) = Δˆp ΔF () come è ndcato nella fgra segente. Lo spostamento addzonale dovto a qesta forza resda è par a p Δ (2) = ΔR (2) ˆk k Consderando qesto spostamento aggntvo, s pò determnare n novo valore della forza resda da c s rcava l novo ncremento d spostamento (3) Δ. Il procedmento teratvo s arresta dopo n terazon qando l rapporto tra l n-smo ncremento e l valore totale d Δ è mnore d na tolleranza ε accettata, coè (n) Δ < ε j=,n Δ ( j ) ΔR (3) () (2) (3)!!! 0 + () Lo spostamento così trovato è molto pù accrato d qello calcolato senza terazon, par a Δ. Avendo determnato Δ, l procedmento contna come nel caso de sstem lnear. Prof. Adolfo Santn - Dnamca delle Strttre 9!p!R (2)!F ()!R (3)!F (2)!R (4)

10 Iterazone d Newton-Raphson 4/4 Algortmo d calcolo - Inzalzzazone de dat: - Iterazon (j =, 2, 3, ) (0) + = f (0) S = ( ) ΔR () = Δˆp ( j Δ ) = ΔR ( j ) ˆk ( j ) ( + = j ) ( j ) + + Δ ΔF ( j ) = ( j ) ( j ) ( ) ( ) + ˆk ( j ) ( k )Δ ΔR ( j+) = ΔR ( j ) ΔF ( j ) - Conclsone j=,n Δ (n) Δ ( j ) = Δ (n) (n) + < ε Prof. Adolfo Santn - Dnamca delle Strttre 0

11 Il metodo d Newmark per sstem non lnear: sommaro - Note le condzon nzal n termn d spostamento e d veloctà, s determna l accelerazone nzale attraverso la relazone 0 = ( m p c k ) - Scelt valor da assegnare a β e γ, e assegnata l ampezza Δt dell ntervallo d ntegrazone, s calcolano le costant a = βδt m + γ β c b = 2β m + Δt γ 2β c - Per ogn ntervallo d ntegrazone s calcolano le qanttà Δˆp = Δp + a + b gl ncrement d veloctà e accelerazone Δ = γ βδt Δ γ β Δt γ 2β ˆk = βδt 2 m + γ βδt c + k s determna l valore d Δ con l procedmento teratvo d Newton-Raphson e s valtano da c s ottene Δ = βδt Δ 2 βδt 2β + = + Δ + = + Δ + = + Δ - Sosttendo con +, s rpete l procedmento per l sccessvo ntervallo d ntegrazone, e così va. Prof. Adolfo Santn - Dnamca delle Strttre