CINEMATICA del corpo rigido

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1 SEZINE CINEMAICA del corpo rgdo Le segent note sono na sntes estrema de concett alla base della dnamca de corp rgd. Lo stdente pò consderare d aer appreso realmente tal concett solo se è n grado d rsolere ageolmente problem presentat nella seone 3 ed n segto 5 d qeste dspense. Nel captolo precedente abbamo sto che l anals cnematca d n elemento materale E s slppa slla sola base del ettore d posone che è n descrttore a tre parametr. Antcpamo che nel caso del corpo rgdo l anals rchede l ntrodone d n descrttore pù complesso che ntrodce se parametr, qant sono grad d lbertà del corpo rgdo. D qest se parametr, tre sono content n n ettore assocato alla posone d n pnto assegnato del corpo rgdo, mentre gl altr sono content all nterno d na matrce d rotaone 33 che ede 9 coeffcent legat tra d loro da se condon d ncolo. estano ì lber tre lteror parametr per la descrone della confgraone spaale del corpo rgdo.. MAICE DI AZINE Un corpo s dce rgdo qando le mte dstane tra so pnt sono narabl nel tempo. Consderamo na terna d rfermento o rspetto alla qale l corpo rgdo s sposta ossa rspetto alla qale le coordnate de pnt del corpo rgdo arano con l tempo ed na terna o soldale al corpo rgdo ossa rspetto alla qale le coordnate de pnt del corpo sono narabl nel tempo. Lmtamo per l momento l attenone a sol spostament del corpo rgdo che lascano nalterata la posone d n so pnto. Sceglamo allora rferment o e o con le orgn ed concdent tra loro e concdent con l pnto che nello spostamento resta fsso. Chamamo lo spostamento che lasca narata la posone d n pnto del corpo spostamento sferco. E charo che n pnto qalnqe del corpo rgdo soggetto ad no spostamento sferco descre na traettora che gace s na sfera l c raggo è par alla dstana del pnto consderato dall orgne del sstema d rfermento sa esso o o o essendo tale dstana, per defnone d corpo rgdo, narable nel tempo. -

2 Nel caso dell elemento materale, la descrone del moto dell elemento E consste nel fornre le component del ettore d posone n n certo sstema d rfermento ad ogn stante t. Nel caso d n corpo l obetto è dentco: fornre ad ogn stante t le coordnate del ettore d posone d n so qalnqe pnto rspetto al sstema d rfermento o. oché n corpo è ttto d nfnt element materal, tale descrone rchede n generale nfnt ettor d posone, coè nfnto a tre fnon scalar del tempo. Se però l corpo è rgdo, s ha na semplfcaone noteole del problema poché l ncolo d rgdtà lmta grad d lbertà del corpo consderato a 6 soltanto: sono coè necessare solo se fnon scalar del tempo per determnare la posone n fnone del tempo d n qalnqe pnto del corpo rgdo. Se po, come n qesto caso, stdamo spostament sferc ncolando n pnto a non spostars, l corpo rgdo presenta sol tre grad d lbertà. Qnd sono sffcent tre fnon scalar del tempo per esprmere lo spostamento d n qalnqe pnto del corpo. Al fne d stdare la legge che permette d esprmere lo spostamento d n pnto qalnqe del corpo rgdo n fnone d qeste tre fnon scalar, s consder n generco pnto d coordnate,, nel sstema d rfermento o e coordnate,, nel sstema o. Se sono ersor rspett de de sstem d rfermento, l ettore s pò esprmere nelle de forme eqalent:, La relaone tra le coordnate ne de sstem d rfermento s determna come sege: ssa, n forma matrcale, s ha: essendo la matrce d rotaone. ale matrce contene 9 element, ma qest deono dpendere da 3 sol parametr ndpendent. Infatt ersor degl ass sono ncolat a rspettare le 6 condon d ortogonaltà:,,,, C occperemo n segto d far fgrare esplctamente tre termn ndpendent della matrce d rotaone ed.5.

3 . IEA DELLA MAICE DI AZINE In n corpo rgdo la dstana mta tra coppe d pnt del sstema resta nalterata. ale ncolo ha n rflesso slle propretà della matrce d rotaone. La condone d rgdtà mplca che esste n narante nella trasformaone delle coordnate espressa dalla. Infatt l modlo del ettore, ossa la dstana tra l pnto e l orgne de sstem d rfermento, altato da n osseratore soldale al corpo, concde con l modlo del ettore altato nel sstema d rfermento fsso. Cò comporta: Esprmendo l prmo membro d qesta gaglana sando la relaone abbamo: dnqe: I I Coè la matrce d rotaone è na matrce ortogonale, la c nersa s calcola per semplce trasposone de so element..3 AZINE AN AD UN ASSE FISS Descramo l moto d n corpo rgdo nel qale pnt d na retta restno fss. Spponamo che sa l asse a restare fsso cché l asse concde con. ale moto è descrtto n modo completo dall so d na sola fnone scalare del tempo che è l angolo d rotaone t attorno all asse. Vsto dall asse al tempo t l pano s presenta nel modo: t La matrce d trasformaone n qesto caso s rcaa dalla posto condon d ortogonaltà, prodce: che, rcordando le

4 sn sn E facle erfcare n qesto caso come la matrce troata rspett la condone. Con la stessa tecnca è facle renders conto che s determnano analoghe matrce per rotaon attorno agl ass e. ù precsamente posto s ha: sn sn Infne posto s ha: sn sn.4 CMSIZINE DI AZINI La relaon troate precedentemente permettono d calcolare la matrce d rotaone relata ad na rotaone rspetto ad n asse fsso. E facle determnare slla base d qest element l espressone della matrce d rotaone per no spostamento sferco pù generale. Spponamo che l corpo rgdo sbsca de spostament sferc n sccessone descrtt dalle matrc ed. Lo spostamento fnale è certamente ancora no spostamento sferco e qnd descrble attraerso na matrce d rotaone. Dnqe s pone l segente problema: assegnate le matrc d rotaone ed, come s determna la matrce che descre lo spostamento rsltante? Bsogna stablre dnqe la relaone ntercorrente tra, ed. A tal fne s consderno tre sstem d rfermento o, o, o. Il prmo sstema è l sstema fsso; al termne del prmo spostamento sferco l sstema soldale con l corpo rgdo o arà sbto n cambamento d orentaone; la relaone tra le coordnate n

5 o e qelle n o è fornta dalla ed eqaone. er l anals della seconda rotaone s renda soldale al corpo rgdo la tera terna o mentre la terna o rmane fssa. In tal caso la relaone che lega le coordnate n o a qelle n o è fornta dalla. Combnando le de relaon troate s ha: 3 Dnqe la relaone tra le coordnate nel sstema soldale al corpo dopo aer sbto de spostament sferc e qelle nel sstema d rfermento fsso s ottene dalla 3. Ne sege che la matrce d rotaone relata allo spostamento prodotto da de spostament sferc s ottene effettando l prodotto delle assocate matrc d rotaone ed : La relaone è generalable al caso d N spostament sferc. Dnqe: N 4.5 MAICE DI AZINE MEDIANE GLI ANGLI DI CADAN La relaone 4 permette d derare n modo semplce na matrce d rotaone generale capace d descrere n qalnqe spostamento sferco attraerso tre fnon scalar ndpendent. A tal fne s consderno de sstem d rfermento o e o Il prmo sstema è, come sempre, l sstema fsso, mentre l secondo o è soldale al corpo rgdo. E facle mostrare come s possa far concdere l sstema o con l sstema o effettando tre rotaon elementar. La prma rotaone, caratterata dall angolo, è effettata attorno al solo asse d o; l sstema d ass o s porta allora nella confgraone o con gl ass e concdent. La seconda rotaone, caratterata dall angolo, è effettata attorno all asse d o ; l sstema d ass o s porta nella confgraone o con gl ass e concdent. La tera ed ltma rotaone, caratterata dall angolo s effetta attorno all asse d o ; l sstema d ass o s porta nella confgraone o con gl ass e concdent. La rotaone rsltante dalle tre rotaon attorno a tre ass sopra consderat, s ottene semplcemente dal paragrafo.3 e dalla 4: sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn

6 e dnqe la matrce d rotaone : sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn sn Gl angol q sat per rappresentare la matrce d rotaone sono gl angol d Cardano..6 ASLAZINI Consderamo ora de terne o e o con le orgn ed che non sano pù concdent, ossa la terna soldale al corpo s dsponga nello spao n modo completamente arbtraro. Dall anals de mot sferc con n pnto fsso abbamo sto che l orentaone della terna o s descre medante tre fnon scalar ndpendent, ad esempo tre angol d Cardano e l assocata matrce d rotaone. ra le coordnate del generco pnto soldale al corpo rgdo rspetto al sstema o sono raccolte nel ettore. Qnd l ettore ha coordnate nel sstema d rfermento o espresse da. Se samo nteressat però a determnare le coordnate d n o s dorà semplcemente consderare che. Dette le coordnate d e d nel sstema d rfermento o aremo mmedatamente: e 5 che esprme le coordnate, ossa la posone, d n generco pnto, soldale al corpo, nel sstema d rfermento o, note le coordnate dell orgne d o nel sstema d rfermento o, nota la matrce d rotaone,, e note le coordnate d stesso, narabl nel tempo, rspetto al sstema o soldale con l corpo..7 DISIBUZINE DI VELCIA ED ACCELEAZINE appresentando la 5 la posone d n generco pnto soldale al corpo rgdo n fnone de,,,,,, passamo ora a determnare eloctà ed se parametr content n acceleraone d, rspettamente e a. Banalmente tale operaone rchede solo la deraone rspetto a t della 5. Abbamo dnqe: a 6 al relaon chdono, almeno concettalmente, l anals cnematca del corpo rgdo. E però comodo fornre delle relaon eqalent alle 6 ottente slla base d semplc consderaon.

7 S not nfatt che nelle 6 compaono ettor le c coordnate sono ttte espresse nel sstema d rfermento fsso o ecceone fatta per l ettore. Esprmamo allora qest ltmo attraerso la 5: aendo tlato la propretà della matrce d rotaone. Sosttendo nell espressone d s ottene: ponendo matrce eloctà angolare, s ha: 7 che è la formla fondamentale della cnematca scrtta n forma matrcale o tensorale. Ad essa s pò dare anche forma ettorale. A tal fne s osser che la matrce eloctà angolare è antsmmetrca ossa. Infatt consderata la relaone s ha: I dt d E noto che l prodotto d na matrce antsmmetrca per n ettore pò essere rcondotto ad n prodotto ettorale tra de ettor. Infatt na matrce antsmmetrca dee aere la forma: M Effettando l prodotto per n ettore s ottene: M Consderamo ora l prodotto ettorale tra n ettore ed : e chedamoc qal deono essere le component d affnché. Egaglando le component de de ettor rsltant: M

8 ,, Dnqe, ad na matrce antsmmetrca, che dpende da sol tre parametr ndpendent, s pò assocare n ettore tale che M M. Allora alla matrce eloctà angolare che è antsmmetrca s pò assocare n ettore tale che: per c ale l denttà: Dalla 7 allora, posto,, s ottene: 8 che è la formla fondamentale della cnematca scrtta n forma ettorale. assamo alle acceleraon. ornando alla 7, deramo rspetto al tempo: a Utlando la 7 per esprmere la dfferena d eloctà contenta nell ltma parentes a secondo membro, s ha: a 9 Qesta fornsce l acceleraone d n generco pnto soldale al corpo rgdo. Anche qesta formla per l acceleraone pò essere espressa n forma ettorale: a Concldamo con alcne osseraon. Consderamo n moto sferco n c n pnto C, centro del moto, è fsso con eloctà consegentemente nlla. La 8, oe s ponga C, denta: C

9 ra per ttt pnt tal che l loro ettore d posone C è parallelo al ettore, rslta. Se ne conclde che n n moto sferco ttt pnt della retta passante per C e dreone gale a qella d hanno eloctà nlla. ale asse retta prende nome d asse d stantanea rotaone..8 MI IANI Il moto è pano qando le eloctà de pnt del corpo rgdo sono parallele ad n pano assegnato Π soldale al sstema d rfermento o. Da cò sege anche che le traettore de pnt del corpo s slppano s pan parallel a Π. Consderamo l eqaone 8, nella forma, applcata ad n moto pano: per ogn stante t l pnto s moe s n pano parallelo a Π, per c l ettore è parallelo a Π ; l ettore è anch esso parallelo a Π. Se ne conclde che l ettore moltplcato ettoralmente per l ettore parallelo a Π dee prodrre n ettore ancora parallelo a Π : cò mplca che dee esse ortogonale a Π n ogn stante t. Qesto sgnfca che per mot pan l ettore eloctà angolare ha dreone narable ed ortogonale al pano del moto Π oamente sa l modlo che l erso possono nece arare. Dnqe per n moto pano:, Π Se sceglamo l sstema d rfermento o con gl ass s Π, rslta ortogonale al pano. In tale sstema d rfermento la eloctà angolare ha le segent rappresentaon:, ma d dt sn sn sn sn sn sn sn sn e dnqe. Consderamo ora l acceleraone per l moto pano. Il termne s semplfca n. S osser nfatt la fgra sottostante che mostra l orentamento de ettor,, consderando che Π.

10 Π Dnqe: a a.9 CAMBIAMEN DI IFEIMEN E GLI EAI Abbaamo sto che le coordnate d n pnto dello spao dpendono dal sstema d rfermento rspetto al qale qeste sono altate. La relaone rsole l problema d correlare de nsem d coordnate assocate allo stesso pnto n de sstem d rfermento ders. Consderamo ora na generca matrce A ed n ettore. Il prodotto A prodce n ettore. In defnta, la matrce A, attraerso l operaone d moltplcaone matrcale, stablsce na corrspondena tra l ettore ed l ettore, ossa na legge d assocaone tra ettor nel rfermento o. Consderamo ora le rappresentaon de ettor e nel sstema d rfermento o, sano esse e. S pone allora l problema che sege: la legge d assocaone tra ettor d o rappresentata da A, come s rappresenta nel sstema o? La rsposta è mmedata consderando che: Sosttendo le prme de nella tera abbamo:,, A A A D q rslta edente che nel sstema o la legge corrspondente a qella rappresentata da A n o, è data dalla matrce A A.