Introduzione... 2 Equazioni dei telegrafisti... 3 Parametri per unità di lunghezza... 7 Soluzione nel dominio della frequenza... 7 Risoluzione delle

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1 Appunt d amp Elettromagnetc aptolo 8 parte I nee d trasmssone Introduone... Equaon de telegrafst... 3 Parametr per untà d lunghea... 7 Soluone nel domno della frequena... 7 soluone delle equaon de telegrafst... 8 Osservaone: tensone e corrente nel domno del tempo... Impedena caratterstca della lnea... 3 ondon al contorno... 4 aso partcolare: assena d perdte (α)... 5 Impedena d ngresso... 6 aso partcolare: perdte nulle... 7 Osservaone: applcaone della matrce ABD... 8 Valore esatto della costante d propagaone γ n assena d perdte... 9 aso partcolare: ondone d Heavysde... aso partcolare: carco costtuto da cortocrcuto... aso partcolare: carco costtuto da un crcuto aperto... Dagramm della tensone e della corrente n assena d perdte... 3 caso: carco costtuto da un cortocrcuto... 3 caso: carco costtuto da un crcuto aperto caso: carco adattato... 4 Valutaone analtca de dagramm d tensone e corrente... 6 apporto d onda staonaro... 8 Dagramm dell mpedena d ngresso... 9 nea d lunghea λ/4 come nverttore d mpedena... 3 Osservaone oeffcente d rflessone sul carco oeffcente d trasmssone sul carco Osservaone... 39

2 Appunt d amp Elettromagnetc aptolo 8 Introduone Una lnea d trasmssone è semplcemente un sstema formato da due o pù conduttor parallel ravvcnat. In questo captolo c occupamo specfcamente del caso n cu conduttor sono solo due. Alcun esemp tpc, e allo stesso tempo semplc, d lnee d trasmssone formate da due conduttor sono llustrat nella fgura seguente: Nella fgura (a) è rappresentata una semplce lnea d trasmssone a due fl parallel, n cu due conduttor sono clndrc con seone crcolare. In tutt cas, l almentaone della lnea è costtuta da una sorgente rappresentable tramte l suo equvalente d Thevenn: essa è percò modellata tramte una tensone d crcuto aperto V S(t) n sere ad una resstena S. Questa almentaone è connessa, medante conduttor della lnea, ad un carco d resstena. Un altro esempo d lnea d trasmssone a due fl è quello della fgura (b), n cu è presente un solo conduttore clndrco, mentre l altro è stato sosttuto da un pano d massa (ovvamente metallco) d dmenson dealmente nfnte. Tale pano d massa svolge percò la funone d conduttore d rtorno per l segnale, l quale, partendo dalla sorgente, raggunge l carco tramte l conduttore clndrco (conduttore d andata). Un altro caso ancora è quello della fgura (c), n cu è rportato l classco cavo coassale (ad esempo utlato per la connettere l televsore alla presa TV domestca). In questo caso, uno schermo clndrco a seone crcolare (la cosddetta cala) racchude un conduttore (detto cuore) che è localato lungo l asse dello schermo: l cuore funge da conduttore d andata per l segnale, mentre la cala funge da conduttore d rtorno. Autore: Sandro Petrell

3 nee d trasmssone (parte I) Equaon de telegrafst Il problema generale dell anals delle lnee d trasmssone a due conduttor consste nel determnare, n tutt punt della lnea, le corrent ne conduttor e le tenson tra conduttor. In partcolare, cò che ha pù mportana è la valutaone d tal corrent e tenson n corrspondena della sorgente ed n corrspondena del carco, ossa agl estrem della lnea propramente detta. Esstono dvers metod per affrontare questo problema e possono essere raggruppat sostanalmente n due grupp: quell basat sulla teora delle ret elettrche e quell che dervano dalla teora dell elettromagnetsmo. No seguamo un comune metodo dervato dalla teora delle ret elettrche. Nel seguto consdereremo solo lnee d trasmssone unform : una lnea d trasmssone è unforme quando la geometra della seone trasversale (ntesa coè come la seone trasversale sa de conduttor sa del delettrco) rmane nvarata n ogn punto della lnea stessa. Per poter rcavare le equaon della generca lnea d trasmssone a due conduttor, supponamo d orentare conduttor stess lungo l asse d un sstema d coordnate cartesane. Dato che non ntendamo fare una anals d tpo elettromagnetco, la natura della lnea può essere qualunque, nel senso che potrà trattars d un cavo coassale, d una lnea bflare e così va. Tanto per fssare le dee, possamo pensare d rferrc ad una lnea bflare del tpo rportato nella fgura seguente, anche se rsultat che otterremo saranno del tutto general, vald per qualsas caso: asse è dunque quello parallelo a due conduttor, per cu gl ass x ed y defnscono un pano ortogonale (trasversale) a conduttor stess. Faccamo per l momento l potes che la lnea sa nfntamente estesa: questo garantsce che non nascano perturbaon su camp dovute agl estrem della lnea stessa. Il generatore applca una certa tensone ad un capo della lnea e questa tensone s propaga lungo la lnea fno a gungere al carco. Voglamo allora stablre n che modo s propagh tale tensone e, ovvamente, n che modo s propagh la corrente elettrca che da essa derva. Dato che la propagaone avvene dal generatore verso l carco, stablamo (per l momento) come dreone d rfermento quella parallela alla lnea e orentata n dreone del carco stesso: 3 Autore: Sandro Petrell

4 Appunt d amp Elettromagnetc aptolo 8 generatore carco A fn della nostra anals, consderamo un tratto nfntesmo della lnea e supponamo che esso abba lunghea d. Provamo a costrure un modello crcutale d questo tratto nfntesmo d lnea: sappamo ntanto che la lnea d trasmssone, essendo costtuta d materal conduttor, è caratterata da una certa resstena e da una certa nduttana; allora, se ndchamo con r la resstena per untà d lunghea e con l l nduttana per untà d lunghea, è charo che l nostro tratto d lnea d sarà caratterato da una resstena r d e da una nduttana l d. Possamo allora comncare a rappresentarlo nel modo seguente: terra rd ld a resstena e l nduttana sono due parametr che tengono conto de cosddett effett longtudnal nella lnea. sono però anche cosddett effett trasversal, dovut al fatto che la lnea corre n parallelo alla terra, svluppando percò degl effett capactv: ndcata allora con c la capactà per untà d lunghea della lnea, l tratto d sarà caratterato anche da una capactà d. Il modello crcutale s perfeona percò nel modo seguente: rd ld cd a capactà appena nserta è valda, del resto, solo nel caso n cu l delettrco compreso tra la lnea e la terra present conducbltà nulla; al contraro, c sono vare ragon che nvece rendono questa conducbltà non nulla. Per tenerne conto, c basta nserre n parallelo alla capactà una nuova resstena rd. Tuttava, per dstnguere questa resstena da quella consderata prma, usamo pedc e come nella fgura seguente: Autore: Sandro Petrell 4

5 nee d trasmssone (parte I) r d ld cd r d Questo è dunque l modello crcutale equvalente attraverso l quale ntendamo descrvere la propagaone dell onda d tensone e dell onda d corrente attraverso l elemento nfntesmo d della lnea d trasmssone consderata. a nostra lnea d trasmssone sarà costtuta da una cascata d crcut d questo tpo e termnata ad un estremo della sorgente (generatore d tensone n sere ad una resstena) ed all altro dal carco (resstena). Notamo una cosa: fno ad ora, non abbamo ancora fatto alcuna potes sul tpo d segnale che va ad ecctare la lnea d trasmssone, per cu non possamo dre nente crca l regme d corrente e d tensone che s nstaura lungo la lnea. Vedremo nvece che rsulta d notevole nteresse l caso n cu l ecctaone sa d tpo snusodale sofrequenale: n questo caso, nfatt, una volta raggunta una condone d regme (coè una volta esaurt tutt possbl fenomen transtor), le corrent e le tenson sono a loro volta d tpo snusodale. In questa condone d funonamento, quattro element crcutal ntrodott poco fa possono essere sosttut con le rspettve mpedene, l che consente d semplfcare la sere ed l parallelo che s creano e d rcondurs qund ad un nostro modello fnale del tpo seguente: I() + V() - d d I(+d) + V(+d) - +d asse Abbamo ovvamente consderato le seguent mpedene: ( ω ) & r + j l & y& r j c ( + ω ) Per condurre l anals prelmnare del modello ottenuto, mettamoc per l momento nel caso d un regme generco, non necessaramente snusodale. Notamo che l modello crcutale cu samo pervenut è quello d un classco doppo bpolo. Indchamo allora con V(,t) ed I(,t) la tensone e la corrente alla porta d ngresso (coè n corrspondena della generca seone ) e con V(,+d,t) e I(,+d,t) la tensone e la corrente alla porta d uscta (coè n corrspondena della seone +d). Entrambe queste coppe (tensone,corrente) sono funon sa dello 5 Autore: Sandro Petrell

6 Appunt d amp Elettromagnetc aptolo 8 spao (che, per ragon d smmetra, è rappresentato solo dalla coordnata ) sa del tempo. Il nostro scopo è quello d trovare le equaon che legano le tenson e le corrent n corrspondena delle seon e +d. A causa della dstana fsca tra le due porte ( ), sa la tensone sa la corrente subranno delle varaon nel passaggo da una tensone all altro. Applcando banalmente le legg d Krchoff, ottenamo quanto segue: V( + d, t) V(, t) r d I(, t) l d I(, t) t I( + d, t) I(, t) g d V( + d, t) c d V( + d, t) t a prma equaone rappresenta la dfferena tra la tensone n uscta e quella n ngresso, così come la seconda equaone rappresenta la dfferena tra la corrente n uscta e quella n ngresso. Affnché questo modello crcutale a parametr concentrat sa valdo, occorre che la lunghea d sa elettrcamente corta rspetto alla lunghea d onda ( ). Dobbamo allora supporre che sa d. Prma ancora d fare questa potes, rscrvamo le ultme due equaon nel modo seguente, n cu dvdamo prmo e secondo membro per d: V( + d, t) V(, t) r I(,t) l I(, t) d t I( + d,t) I(, t) g V( + d, t) c V( + d, t) d t A questo punto, possamo calcolare l lmte per d d entramb membr d entrambe le equaon: a prm membr ottenamo due dervate (lmt de rspettv rapport ncremental), mentre a secondo membro le tenson e le corrent alla seone tendono a concdere con quelle alla seone +d. Qund V(, t) I(, t) r I(, t) l I(,t) t g V(, t) c t V(, t) Queste sono le equaon delle lnee d trasmssone. s tratta d un sstema accoppato d equaon dfferenal alle dervate paral del prmo ordne. Tal equaon sono del tutto general. Tuttava, spesso è utle far rfermento ad un caso partcolare, relatvo alle lnee d trasmssone sena perdte: sono tal quelle lnee n cu non c sono perdte d potena né all nterno de conduttor (qund r ) né all nterno del delettrco d separaone (qund r ) ( 3 ). a ragone prncpale che conduce all potes d lnea d trasmssone sena perdte è dovuta al cordamo che stamo facendo l potes d un modello elettrco a parametr dstrbut Ovvamente, stamo facendo mplctamente l potes che l ecctaone della lnea sa comunque d tpo perodco, ossa ottenuta come una sovrapposone d snusod a vare frequene. D conseguena, per stablre la lunghea elettrca della lnea, s deve far rfermento alla lunghea d onda mnore, ossa quella assocata alla pù alta frequena d utlo del modello: nfatt, se la lnea rsulta elettrcamente corta rspetto alla lunghea d onda pù pccola, lo sarà scuramente anche rspetto alle lunghee d onda maggor (quelle coè assocate a frequene pù basse). 3 In pratca, conduttor s suppongono a conduttvtà nfnta, mentre l delettrco s suppone a conduttvtà nulla. Autore: Sandro Petrell 6

7 nee d trasmssone (parte I) fatto che essa permette d ottenere ragonevol approssmaon de rsultat esatt e, allo stesso tempo, semplfca molto calcol. Parametr per untà d llunghea Un altra mportante osservaone, crca le equaon delle lnee d trasmssone, è che, n base al dscorso fatto, esse sono relatve a lnee d trasmssone d tpo qualunque; n altre parole, la forma d tal equaon rmane nvarata qualunque sa la lnea d trasmssone (purché ovvamente a due conduttor); l tpo d lnea subentra ovvamente nel momento n cu devono essere calcolat valor de parametr per untà d lunghea (r, c, l e g ): tutte le nformaon assocate alla geometra della seone trasversale, al tpo d delettrco ed al tpo d conduttor, nformaon che coè sono propre d una partcolare lnea, sono contenute soltanto ne parametr per untà d lunghea. Soluone nel domno della frequena Una volta rcavate le equaon delle lnee d trasmssone, l passo successvo è ovvamente quello d rsolverle, n modo da trovare come varano, rspetto al tempo ed alla posone, le forme d onda della tensone V(,t) tra due conduttor e della corrente I(,t) ne due conduttor. E possble allora rcavare due dverse soluon: la soluone nel domno del tempo è quella pù completa possble, n quanto vene rcavata sena formulare potes crca l andamento temporale de segnal d ecctaone ( 4 ); la soluone n regme snusodale, nvece, presuppone una ecctaone della lnea d tpo snusodale sofrequenale e s rfersce noltre ad una condone d regme sulla lnea, ossa ad una condone n cu s assumono esaurt tutt possbl fenomen transtor. In questa sede, samo nteressat alla soluone n regme permanente snusodale. a prma potes è dunque quella per cu la sorgente abba una forma d onda snusodale, ad esempo del tpo seguente: V (t) V cos S S ( ) { j ω ωt e V e t } A questa partcolare forma d onda sappamo d poter assocare l fasore equvalente: V V S In questa espressone, l fatto d aver preso una fase nulla ndca che stamo consderando questo fasore come rfermento per tutt gl altr. a seconda potes consste nell assumere che la sorgente sa stata connessa alla lnea per un tempo suffcente alla estnone d tutt fenomen transtor, lascando così che n cascun punto della lnea s stablno tenson e corrent S S 4 Segnalamo che, talvolta, s parla d soluone transtoro, ma è un errore, n quanto la soluone nel domno del tempo è d tpo globale: essa comprendere sa l transtoro sa l regme. 7 Autore: Sandro Petrell

8 Appunt d amp Elettromagnetc aptolo 8 con andamento snusodale. ò sgnfca che anche queste tenson e corrent saranno suscettbl d una rappresentaone fasorale e coè qund che potremo comodamente ragonare nel domno de fasor, da cu po rsalre al domno de temp (che è quello d nteresse pratco): la tensone e la corrente n corrspondena della generca seone della lnea avranno le rspettve forme d onda del tpo V(,t) e I(, t) e jωt { V()e } { I()e } j ω t Per semplctà d notaone, ne prossm paragraf evteremo d ndcare l trattno orontale per contrassegnare fasor e converremo d dstnguere tal fasor dalle quanttà nel domno del tempo tramte l uso delle lettere mnuscole. Qund, adotteremo la seguente smbologa: v(, t) (, t) e e jωt { V(, ω) } e{ V()e } { I(, )} e{ I()e j ω ω t } solluone delllle equaon de tellegraffst Nell potes d essere n regme snusodale permanente, abbamo gà vsto n precedena che l modello crcutale equvalente del generco tratto d della lnea è l seguente: I() + V() d d + V(+d) I(+d) - - +d asse dove abbamo posto ( ω ) & r + j l & y& r j c ( + ω ) Il corrspondente sstema d equaon dfferenal s ottene faclmente, nel modo seguente. Applcando la KT n senso oraro, abbamo che ( ) ( ) V( ) d I( ) + V( + d) I( ) r + j d + V( + d) ωl Possamo scuramente porre V(+d)V()+dV, per cu, effettuando la sosttuone, ottenamo V( ) d I( ) + V( ) + dv ( ) Autore: Sandro Petrell 8

9 nee d trasmssone (parte I) da cu rcavamo evdentemente che dv I d In modo analogo, applcando la K ottenamo che ( ) ( )( ) I( ) V( ) + dv y d + I( + d) V( ) + dv g + j c d + I( + d) ω Ponendo anche per le corrent I(+d)I()+dI, abbamo che da cu, esplctando di, ottenamo ( ) I( ) y V( ) + dv d + I( ) + di ( ) di y V( ) + dv d y V( ) d y dvd Il termne y dvd è un nfntesmo d ordne superore rspetto al termne y dvd e qund lo possamo trascurare: ottenamo n tal modo che di V()y d In conclusone, abbamo rcavato l seguente sstema d equaon dfferenal lnear del ordne a coeffcent costant: equaon de dv I()d telegrafst di V()y d Tale sstema s può rsolvere faclmente, ma è bene tenere presente che la sua soluone rsulta essere unca solo a patto d conoscere le condon al contorno, ossa valor d tensone e d corrente n corrspondena d una qualsas seone della lnea. Allora, c preoccupamo prma della sua rsoluone e po ndvdueremo qual sono le condon al contorno. Intanto, l sstema può essere scrtto nella seguente forma compatta: dv I d di Vy d Esso andrebbe rsolto con l metodo tradonale degl autovalor. Tuttava, data la sua forma, sappamo d poterlo rsolvere anche n altro modo. onsderamo la prma equaone e dfferenamola rspetto a : d V d di d 9 Autore: Sandro Petrell

10 Appunt d amp Elettromagnetc aptolo 8 Adesso, al posto d di/d sosttuamo l secondo membro della seconda equaone e portamo tutto al prmo membro: cò che ottenamo è d V y V d Questa è una normale equaone dfferenale del ordne nella sola ncognta V(). Per comodtà e per motv che saranno char tra poco, faccamo la seguente posone: osì facendo, l equaone dventa γ y d V γ V d Alla costante γ s dà l nome d costante d propagaone: essendo par alla radce del prodotto d due numer n generale compless, sarà anch essa complessa, per cu la possamo esprmere nella forma generca γ α + j β a costante α prende l nome d costante d attenuaone, mentre β prende l nome d costante d fase. Queste tre defnon saranno pù chare tra poco. Tornando all equaone dfferenale, la rsolvamo con l tradonale metodo dell equaone caratterstca, che n questo caso è s γ solvendola, s rcava che s dfferenale è ±γ, per cu l ntegrale generale dell equaone V() A e γ γ + Ae Naturalmente, una volta ottenuta l espressone della tensone, possamo faclmente rcavarc quello della corrente: nfatt, dato che la seconda equaone dfferenale era dv I( ) d da essa c rcavamo faclmente che I() d d γ γ γ γ γ γ ( A e + A e ) A e + A e In conclusone, le legg con cu s propagano spaalmente, lungo la lnea, fasor della tensone e della corrente sono le seguent: Autore: Sandro Petrell

11 nee d trasmssone (parte I) γ γ V( ) Ae + A e γ I A e γ γ ( ) + A e In queste due equaon s osserva che sa la tensone sa la corrente rsultano essere somma d due onde: c è un onda che s propaga lungo la dreone postva dell asse, cu damo percò l nome d onda dretta, e c è un onda che s propaga lungo la dreone negatva dell asse, cu damo percò l nome d onda rflessa. Per evdenare ancora meglo questo fatto, faccamo la seguent poson: γ Vr A onda rflessa d tensone V A onda dretta d tensone γ I A r onda rflessa d corrente γ I A onda dretta d corrente osì facendo, le espresson che d ora n po consdereremo saranno le seguent: γ V( ) Vr e + V e γ γ I( ) I re + Ie γ Osservaone: tensone e corrente nel domno del tempo e espresson ottenute nel paragrafo precedente per V() ed I() sembrano essere funon solo dello spao, ossa sembra che le varaon d tensone e d corrente s regstrno solamente spostandos da un punto all altro della lnea. In realtà, la stuaone è pù complessa n conseguena del fatto che l nostro ragonamento è stato condotto nel domno della frequena e qund non evdena esplctamente la dpendena d V ed I dal tempo. Per ntrodurre la dpendena dal tempo, ovvamente d tpo snusodale, basta affermare che l andamento della tensone e della corrente n cascun punto della lnea e n cascun stante t è dato dalle seguent espresson: v(, t) e (, t) e jωt γ γ jωt [ V(, ω) ] e[ V()e ] e[ ( Vre + V e ) e ] jωt γ γ jωt [ I(, ω) ] e[ I()e ] e[ ( I e + I e ) e ] Per rcavare le espresson v(,t) e (,t) della tensone e della corrente nel domno del tempo, che po è quello d nteresse pratco, è necessaro e suffcente moltplcare fasor per l termne esponenale e jω t e po calcolare la parte reale d cò che s ottene, l che è snonmo d anttrasformaone d Fourer. Possamo noltre fare altre consderaon crca V(,ω) e I(,ω). onsderamo per esempo la tensone, vsto che l dscorso sulla corrente è dentco. r Autore: Sandro Petrell

12 Appunt d amp Elettromagnetc aptolo 8 Presa una generca seone, la tensone n è dunque data da V(, ω ) A e avorando sugl esponenal, abbamo che e e γ e γ jωt e jωt e e γ jωt γ jωt e + Ae e ( α+ jβ) + jωt α j( β+ωt ) e ( α+ jβ) + jωt α j( β+ωt ) e Usando queste uguaglane, possamo scrvere che e e ( + ) ( + ) V(, ω) A e e + A e e α j β ωt α j β ωt In base a questa relaone, V(,ω) è la somma d due onde, cascuna caratterata da un termne reale e α, ndpendente dal tempo, e da un termne ( ) complesso e j ± β+ ω t, varable nel tempo. A quest ultmo termne s dà n partcolare l nome d fattore d fase dell onda: nfatt, esso defnsce la cosddetta fase dell onda, che vale ϕ β + ωt per l onda rflessa e ϕ β + ωt per l onda dretta. A questo punto, possamo dare una defnone: s defnsce veloctà d fase dell onda la veloctà con cu un osservatore deve vaggare per vedere l onda con fase costante. Nota l espressone della fase dell onda, è possble calcolare la veloctà d fase dell onda stessa: nel nostro caso, abbamo un onda che vagga con fase par a ϕ + β + ωt e un onda che vagga con fase par a ϕ β + ω t ; dfferenando rspetto a entrambe le relaon, ottenamo dϕ + βd + ωdt dϕ βd + ωdt Se un osservatore vagga vedendo l onda rflessa con fase costante, è charo che dϕ ; n modo analogo, se un osservatore vagga vedendo l onda dretta con fase costante, deve essere dϕ. Abbamo dunque che + βd + ωdt βd + ωdt Da qu rcavamo che le rspettve veloctà d fase sono v v p, p, d dt d + dt Tutto cò c consente d osservare quanto segue: α ( ) l onda d tensone A e e j β + ω t s propaga con veloctà d fase v P, negatva, ossa dal carco verso l generatore (vsto che stamo consderando un asse dretta verso l carco): da qu derva l termne rflessa; ω β ω β Autore: Sandro Petrell

13 nee d trasmssone (parte I) α ( ) al contraro, l onda d tensone A e e j β + ω t, s propaga con veloctà d fase v P, postva (uguale, comunque, n modulo all altra), ossa dal generatore verso l carco: da qu derva l termne dretta. Quando l onda complessva manca dell onda rflessa oppure d quella dretta, no dremo che s tratta d un onda progressva, n quanto s propaga n un unca dreone. Se, nvece, sono present entrambe le component, no parleremo d onda staonara. Impedena caratterstca della lnea Tornamo adesso a ragonare su fasor V() e I(): γ V() Vr e + Ve γ γ I() Ire + Ie Possamo defnre un mportante parametro caratterstco della lnea: s defnsce mpedena caratterstca della lnea consderata l rapporto tra l onda ncdente d tensone e l onda ncdente d corrente: γ V I γ cordando che γ y, possamo rscrvere l mpedena caratterstca nella forma r j y + ωl g + jωc dove, ovvamente, ωπf è la pulsaone angolare dell onda applcata dal generatore. mpedena caratterstca e la costante d propagaone γ rentrano nella categora de parametr secondar d una lnea, mentre parametr r, l, c, g sono parametr prmar. E evdente che parametr secondar dpendono solo dal valore de parametr prmar, qual, come detto n precedena, tengono conto della natura fsca della lnea consderata. Volendo esprmere V() e I() n funone dell mpedena caratterstca, basta γ γ tener conto che Ir Vr e che I V, per cu abbamo che γ γ V() Vr e + Ve Vr γ V I() e + e Queste equaon possono anche essere espresse n altro modo, sfruttando le funon Seno Iperbolco e oseno Iperbolco: γ 3 Autore: Sandro Petrell

14 Appunt d amp Elettromagnetc aptolo 8 e e snh( ) e + e cosh() Allora, facendo un po' d passagg, s trova che le equaon d V e d I possono essere scrtte nella forma V() cosh( γ) + Dsenh( γ) I() [ senh( γ) D cosh( γ) ] ondon al contorno Nelle espresson d V() e I() compaono delle costant d ntegraone e D (n generale complesse) che vanno determnate sulla base delle condon al contorno del problema. Vedamo allora qual possono essere queste condon al contorno. o schema ntutvo cu fare rfermento è l seguente: V - I I() I + V - asse S osserva subto che, rspetto a quanto consderato fno al paragrafo precedente, l orgne del sstema d rfermento è stata adesso presa sul carco e l orentaone dell asse è quella che va dal carco verso l generatore: è facle verfcare che, con questa scelta del sstema d rfermento e nell potes che la tensone e la corrente sul carco sano rspettvamente V( ) V e I( ) I, le equaon d V() e I() dventano V( ) V cosh( γ) + I senh( γ) V I( ) senh( γ) + I cosh( γ ) D ora n po, salvo dverso avvso, tutt nostr ragonament saranno basat su queste due equaon. Autore: Sandro Petrell 4

15 nee d trasmssone (parte I) Osservaone Faccamo osservare che, se avessmo conservato l rfermento sul generatore, l orentaone dell asse dal generatore verso l carco e le condon al contorno V( ) e I( ), le espresson d V() e I() sarebbero dventate I g V( ) Vg cosh( γ) I g senh( γ) I( ) senh( ) + cosh( ) [ Vg γ I g γ ] V g aso partcolare: assena d perdte (α) Voglamo adesso capre come s modfcano le espresson d V() e I() se supponamo che lungo la lnea non c sano perdte (s parla n questo caso d lnea deale sena perdte): cò sgnfca supporre che α, ossa che sa nulla la parte reale d γ y. Vedamo ntanto quanto vale nel dettaglo la parte reale d α, n modo da capre perché s parla d assena d perdte : dato che avevamo posto ( ωl) & r + j & y& r j c ( + ω ) parlare d perdte nulle sgnfca rtenere che termn dsspatv, ossa r e r, sano del tutto trascurabl rspetto a termn nduttv e capactv. In altre parole, parlare d perdte nulle equvale a supporre che r g << ωl << ωc Sotto queste potes, rsulta evdentemente y jωl jωc Da qu scatursce che la costante d propagaone vale γ y ω lc jω l c ome prevsto, la parte reale d γ è nulla, ossa α. Se α, qund, rsulta γjβ, ossa γ è un numero mmagnaro puro, per cu la funone oseno Iperbolco concde con la funone oseno, mentre la funone Seno Iperbolco concde con la funone Seno moltplcata per j. In conclusone, per 5 Autore: Sandro Petrell

16 Appunt d amp Elettromagnetc aptolo 8 una lnea sena perdte, le espresson d V() e I() s modfcano nel modo seguente: V( ) V cos( β) + j I sen( β) I( ) sen( ) + cos( ) [ jv β I β ] In base a queste equaon, note la tensone e la corrente n corrspondena del carco e not parametr caratterstc della lnea (coè l mpedena caratterstca e la costante d fase β), samo n grado d conoscere la tensone e la corrente n corrspondena d una qualsas seone della lnea. Prma d prosegure, reploghamo le relaon che s hanno nel caso d α: jωl y jωc l c γ jβ β ω lc Impedena d ngresso omncamo adesso a vsualare meglo l collegamento del carco con l generatore. Sempre nell potes che l regme sa snusodale, possamo vsualare l tutto come un collegamento n sere tra un generatore d tensone alternata, dotato d mpedena nterna g, ed una mpedena che rappresenta l carco: E g V() I + V g - - asse seone generca ome s evdena dallo schema, è charo che, se V è la tensone a cap del carco e I la corrente che rsulta attraversare l carco stesso, deve essere V /I. onsderate allora le equaon Autore: Sandro Petrell 6

17 nee d trasmssone (parte I) V( ) V cosh( γ) + I senh( γ) V I( ) senh( γ) + I cosh( γ) s defnsce mpedena d ngresso della lnea, n corrspondena della seone. l rapporto tra la tensone e la corrente n corrspondena della seone stessa, ossa la quanttà V( ) V cosh( γ) + I senh( γ) ( ) I( ) V senh( γ) + I cosh( γ) In pratca, l sgnfcato della mpedena d ngresso è l seguente: per nel sstema d rfermento adottato, l carco è vsto dalla lnea d trasmssone semplcemente come ; al contraro, quando c portamo a dstana dal carco, vedamo, appunto come carco, non pù solo, ma la cascata formata da e dal tratto d lnea, d lunghea, che ancora c separa da ; d conseguena, a dstana da, l carco è vsto dalla lnea come (). E come se, a dstana da, traccassmo una seone deale trasversale e consderassmo come carco tutto cò che c è a destra d tale seone: tale carco è appunto l mpedena d ngresso per quella seone. Se, adesso, nell espressone prma rcavata per, moltplchamo e dvdamo l denomnatore per e, successvamente, dvdamo ambo membr dell uguaglana per I, ottenamo V cosh( γ) + senh( γ) I ( ) V senh( γ) + cosh( γ) I Del resto, avendo detto che V /I, concludamo che l mpedena d ngresso è esprmble come cosh( γ ) + senh( γ ) ( ) senh( γ) + cosh( γ) aso partcollare:: perdte nulllle Vedamo come camba l espressone dell mpedena d ngresso nel caso n cu s rtengano trascurabl le perdte: abbamo detto n precedena che parlare d assena d perdte equvale a supporre che r << ωl e g << ωc. Da qu scatursce che α γ jβ jω lc jωl y jωc l c 7 Autore: Sandro Petrell

18 Appunt d amp Elettromagnetc aptolo 8 In partcolare, c nteressa l fatto che la costante d propagaone γjβ dventa un numero mmagnaro puro: come vsto n precedena, cò mplca che l andamento d tensone e corrente possa essere descrtto dalle equaon V( ) V cos( β) + j I sn( β) I( ) ( ) + cos( ) [ jvsnh β I β ] Queste due equaon s possono porre n forma matrcale nel modo seguente: j sn V I j sn ( ) cos( β ) ( β ) V ( ) ( ) β cos( β) I a matrce d questo sstema prende l nome d matrce ABD e gode evdentemente della propretà d avere determnante par ad. Vedamo adesso quanto vale l mpedena d ngresso n base a quelle nuove relaon: è facle verfcare che essa vale j cos( β ) + sen( β ) ( ) j sen( β) + cos( β) Osservaone: applcaone della matrce ABD espressone d V() e I() ottenuta medante la matrce ABD consente un calcolo mmedato della tensone e della corrente a dstana dal carco, note che sano la tensone e la corrente n corrspondena del carco stesso. Per esempo, supponamo che, n corrspondena del carco, rsult V : n questo caso, ad una dstana dal carco, avremo che j sn V I j sn ( ) cos( β ) ( β ) ( ) ( ) β cos( β) I V( ) j I sn( ) β I( ) I cos( β) In modo del tutto analogo, se fosse I, avremmo j sn V I j sn ( ) cos( β ) ( β ) V ( ) ( ) β cos( β) V( ) V cos( β) I( ) j sn ( ) β V sn( β) Autore: Sandro Petrell 8

19 nee d trasmssone (parte I) Valore esatto della costante d propagaone γ n assena d perdte Abbamo n precedena detto che, n assena d perdte, possamo rtenere nullo l valore della costante d attenuaone α (parte reale d γ). In effett, questo valore non rsulta propro nullo, per cu voglamo adesso vedere approssmatvamente quanto vale. Intanto, la defnone d γ c dce che γ α + jβ y. Sosttuendo le espresson dell mpedena e dell ammettena sotto radce, abbamo ( r j l )( g j c) γ + ω + ω Mettendo n evdena nella prma parentes l termne jωl e nella seconda l termne jωc, abbamo γ r ω + ω ω g ω + r ω + g ω + lc j lc j l j c j l j c Eseguendo adesso l prodotto sotto radce, abbamo γ jω lc r g ω ω + r ω + g ω + j l j c j l j c Avendo detto che l potes d assena d perdte equvale a r g << ωl << ωc possamo trascurare l prmo prodotto tra parentes, scrvendo che γ r jω c ω + g l j l jωc + e possamo svluppare la seconda radce n sere: cò che s ottene è γ r ω + ω + g j lc j l jωc In questa relaone possamo separare la parte mmagnara da quella reale: ottenamo r g γ lc + + jω lc l c da cu s deduce che la parte mmagnara è β jω l c 9 Autore: Sandro Petrell

20 Appunt d amp Elettromagnetc aptolo 8 come avevamo trovato prma, mentre la parte reale è α l c r + g l c Questa quanttà è evdentemente dversa da ero (anche se d valore estremamente basso). cordandoc della defnone d mpedena caratterstca, ossa /γ, abbamo anche che r g α + aso partcolare: ondone d Heavysde Sulla base delle relaon trovate nel paragrafo precedente, esamnamo alcun cas partcolar che s possono ncontrare relatvamente al valore de parametr della lnea. Il prmo d quest è la cosddetta condone d Heavysde, che s ha per defnone quando rsulta r l g c a partcolartà d questa condone s manfesta nel valore dell mpedena caratterstca della lnea : abbamo nfatt che r j + ωl γ ( r + jωl)( g + jωc) r + jω r + jωl l l g + j c c g ω + jω c Avendo detto che r l g c, è evdente che rsulta l c Il rapporto tra una nduttana ed una capactà ha le dmenson d una resstena (da cu s spega l smbolo usato nella formula), per cu quello che abbamo trovato è che, nonostante e sano delle quanttà complesse, n condon d Heavysde l mpedena caratterstca della lnea d trasmssone rsulta essere puramente resstva. Se andamo a valutare, noltre, l valore della costante d attenuaone α, trovamo subto che α lc r + g lc r r c c r r l c l l l Autore: Sandro Petrell

21 nee d trasmssone (parte I) aso partcolare: carco costtuto da cortocrcuto Un altro caso partcolare è quello n cu l carco almentato dal generatore è costtuto da un cortocrcuto, l che equvale a : + - Se andamo a valutare l mpedena d ngresso, alla generca seone, usando la relaone cosh( γ) + senh( γ) senh( γ) + cosh( γ) relatva alla presena d perdte sulla lnea, trovamo che senh( γ) cosh( γ) tgh( γ) Se, nvece, supponamo non c sano perdte sulla lnea, la formula da usare è j cos( β) + j sen( β) senh( β) + cos( β) e qund s trova, per, che j sen( β) cos( β) j tg( β) Se, oltre alla assena d perdte, c mettamo anche nella condone d Heavysde, sappamo che, per cu abbamo che l mpedena d ngresso vale j tg( β ) aso partcolare: carco costtuto da un crcuto aperto altro caso partcolare rguardante l carco è quello n cu s tratta d un crcuto aperto, l che equvale a : + - Autore: Sandro Petrell

22 Appunt d amp Elettromagnetc aptolo 8 Usando sempre la relaone generale cosh( γ) + senh( γ) + senh( γ) cosh( γ) possamo mettere n evdena n entramb membr, ottenendo cosh( γ) + senh( γ) + senh( γ) cosh( γ) da cu s rcava, se, che ( cosh( γ) ) ( senh( γ) ) ctgh( γ) Se, nvece, supponamo non c sano perdte sulla lnea, per cu usamo la relaone cos( β) + j sen( β) j senh( β) + cos( β) trovamo, con metodo analogo a prma, che cos( β) j sen( β) ctg( β) j Infne, se, oltre alla assena d perdte, c mettamo nella condone d Heavysde, sappamo che, per cu abbamo che l mpedena d ngresso vale ctg( β ) j eploghamo nello schema seguente rsultat ottenut negl ultm due paragraf a proposto dell mpedena d ngresso: presena d perdte assena d perdte presena d perdte assena d perdte tgh( γ) j tg( β) cond. Heavysde ctgh( γ) ctg( β) j cond. Heavysde j tg( β) j ctg( β) Autore: Sandro Petrell

23 nee d trasmssone (parte I) N.B. S osserva che facendo l prodotto tra valor d mpedena d ngresso ottenut, n condone d Heavysde ed n assena d perdte, per l cortocrcuto e per l crcuto aperto, s ottene esattamente Dagramm della tensone e della corrente n assena d perdte Voglamo adesso studare l andamento della tensone e della corrente lungo la lnea d trasmssone al varare del carco, rappresentato sempre dalla generca mpedena. e espresson d V() e I() cu dobbamo fare rfermento sono le seguent: n presena d perdte sulla lnea n assena d perdte sulla lnea V( ) V cosh( γ) + I senh( γ) V I( ) senh( γ) + I cosh( γ) V( ) V cos( β) + j I sen( β) I( ) j V sen( β) + I cos( β) In partcolare, c rferremo al caso d assena d perdte sulla lnea. caso:: carco costtuto da un cortocrcuto omncamo dal caso n cu : rcordando che, n corrspondena del carco, rsulta V I, la condone equvale a V, per cu abbamo che V( ) j I V j I j I I sen( ) ( ) sen( ) sen( ) sen( ) β β β β I( ) I cos( β) I( ) I cos( β) I cos( β) Possamo dunque traccare dagramm (n funone ovvamente d ) del modulo della tensone e d quello della corrente: I V 3 Autore: Sandro Petrell

24 Appunt d amp Elettromagnetc aptolo 8 N.B. cordamo d non far caso al fatto per cu l modulo della corrente abba valore massmo maggore d quello della tensone, n quanto dagramm sono solo qualtatv. a cosa prncpale che s evdena dal dagramma è che, nel caso del carco n cortocrcuto, valor massm della corrente s hanno n corrspondena de valor mnm della tensone e vceversa. ò è confermato da valor d V e I che s hanno n corrspondena propro del carco: trattandos d un cortocrcuto, è charo che la tensone assume valore mnmo, V, mentre la corrente, non trovando resstene d nessun tpo, assume l suo valore massmo I MAX I. caso:: carco costtuto da un crcuto aperto In questo caso, essendo, abbamo che I, per cu, analtcamente, la stuaone è la seguente: V( ) V cos( β) I( ) j V sen( β) V( ) V cos( β) I j V j ( ) sen( β) V sen( β) V sen( β) I dagramm d tensone e corrente rsultano percò semplcemente nvertt rspetto al caso precedente: V I S ha dunque che, n corrspondena del carco, la tensone assume valore massmo V V, mentre la corrente, trovando una resstena nfnta, assume MAX l valore mnmo I. 3 caso:: carco adattato Un caso d partcolare mportana è quello cosddetto d carco adattato, che s ha quando l valore della mpedena che rappresenta l carco è reale e precsamente vale Autore: Sandro Petrell 4

25 nee d trasmssone (parte I) l c dove è l valore dell mpedena caratterstca della lnea n condon d Heavysde, ossa quando le perdte sulla lnea sono supposte nulle e quando s ha che r g l c. onsderamo sempre l equaone delle lnee d trasmssone per perdte nulle: V( ) V cos( β) + j I sen( β) I( ) j V sen( β) + I cos( β) Avendo supposto che ed essendo V I, le equaon dventano ( ) ( ) V( ) V cos( β) + jv sen( β) V cos( β) + jsen( β) I( ) ji sen( β) + I cos( β) I cos( β) + jsen( β) Possamo esprmere n modo pù comodo queste due equaon sfruttando le formule d Eulero: è nfatt mmedato verfcare che esse sono equvalent a V() Ve jβ I() Ie ò che s deduce da queste formule è che manca, sa nell onda d tensone sa n quella d corrente, l onda rflessa (come d altra parte era logco aspettars, vsto che sono state supposte nulle le perdte e tal perdte sono dovute propro all onda rflessa). Abbamo coè un onda puramente progressva d tensone e un onda puramente progressva d corrente. ò sgnfca che l modulo dell onda rsulta costante man mano che c s sposta spaalmente, per cu dagramm de modul d V() e I() dventano seguent: jβ I I V V 5 Autore: Sandro Petrell

26 Appunt d amp Elettromagnetc aptolo 8 Quella appena descrtta è appunto la condone d adattamento del carco. In tale condone, tutta la potena fornta dal generatore vene trasferta al carco sena alcuna perdta: valor numerc sono charamente V V I I MAX MAX I Valutaone analtca a de dagramm d tensone e corrente Vedamo adesso d fare consderaon matematche che c dano gl stess rsultat che fno ad ora abbamo dato per va qualtatva. onsderamo sempre le equaon delle lnee d trasmssone n assena d perdte: V( ) V cos( β) + j I sen( β) I( ) j V sen( β) + I cos( β) Supponamo anche d essere n condon d Heavysde, per cu equaon dventano V( ) V cos( β) + j I sen( β) I( ) j V sen( β) + I cos( β) l : le c Adesso, se supponamo che l carco sa puramente resstvo, possamo porre. Allora, essendo V I I, possamo ulterormente modfcare le equaon, ottenendo V V j V ( ) cos( β ) + sen( β) I( ) j I sen( β) + I cos( β) Andamo a calcolarc modul d V() e I() sfruttando queste relaon: ntanto, applcando semplcemente l operatore modulo, possamo rscrvere V V j ( ) cos( β ) + sen( β) I( ) I j sen( β) + cos( β) In cascuna equaone abbamo a secondo membro l prodotto tra l modulo d una costante, coè rspettvamente V e I, ed l modulo d un numero complesso: applcando allora la defnone d modulo d un numero complesso, abbamo che Autore: Sandro Petrell 6

27 nee d trasmssone (parte I) V( ) V ( cos( ) ) + sen( ) β β I( ) I ( cos( ) ) + sen( ) β β E charo che tutto dpende, n entrambe le equaon, dal termne sotto radce, vsto che è l unco che dpende a sua volta dalla coordnata. Il prmo caso che consderamo è quello n cu << : n questa stuaone, l valore della fraone / è molto elevato, mentre quello della fraone / è molto pccolo; allora, nella prma equaone possamo trascurare l coseno e nella seconda possamo trascurare l seno, n modo da ottenere V() V sen( β) I() I cos( β) onsderamo n partcolare l modulo della tensone: l suo valore massmo è V MAX V e s ottene quando l seno vale, ossa quando l argomento β del seno è un multplo ntero dspar π/: n termn analtc, deve accadere dunque che π β ( m+ ) π ossa che ( m+ ) β. Se ndchamo con λ la lunghea d onda dell onda d tensone, essa è legata alla costante d fase β dalla relaone βπ/λ: sosttuendo questa espressone d β nell espressone d prma trovato s ottene che MAX λ ( m + ) 4 Qund, n corrspondena d quest valor della coordnata, ottenamo valor massm del modulo della tensone. Vedamo allora qual sono valor del modulo della corrente n corrspondena d quest MAX: l espressone del modulo della corrente era I( ) I cos( β ) ed è subto charo che I() s annulla n quegl stess punt dove V() è massmo: nfatt, ne punt n cu l Seno vale, l coseno è nullo. Abbamo dunque trovato una conferma matematca del fatto che, quando l carco ha un valore pccolo (rspetto all mpedena caratterstca della lnea), valor massm della tensone s ottengono n corrspondena de valor mnm della corrente. Adesso vedamo quando s ottengono valor mnm della tensone: dato che 7 Autore: Sandro Petrell

28 Appunt d amp Elettromagnetc aptolo 8 V V ( ) sen( β ) è charo che V() è mnmo, ossa vale, quando vale l seno, ossa quando βnπ, ossa quando nπ/β, ossa nfne quando MIN n λ on consderaon analoghe a prma, è charo che, n corrspondena d quest stess valor d, s ottengono valor massm della corrente, ossa I MAXI. Anche questa è una conferma analtca della consderaon qualtatve fatte prma. Passamo al caso n cu >> : questa volta, l valore della fraone / è molto pccolo, mentre quello della fraone / è molto grande; allora, nella espressone d V() possamo trascurare l seno e nella espressone d I() possamo trascurare l coseno, n modo da ottenere V( ) V cos( β) I( ) I sen( β) E abbastana facle nture come l dscorso vada semplcemente nvertto rspetto al caso precedente: l valore massmo del modulo della corrente, ossa m I MAX I, s ottene per MAX λ ed n corrspondena del valore mnmo () della tensone. Vceversa, l valore mnmo () della corrente s ottene per λ n + ed n corrspondena del valore massmo della tensone, che vale MIN ( ) 4 V MAX V. Per concludere, s nota che, nel caso n cu >>, l valore massmo d tensone ed l valore mnmo d corrente s ottengono propro n corrspondena del carco: nfatt, le relaon da consderare sono V( ) V cos( β) I( ) I sen( β) e valor rspettvamente massmo e mnmo s ottengono per. apporto d onda staonaro Una delle pù mportant quanttà msurabl sulle lnee d trasmssone è l cosddetto rapporto d onda staonaro, defnto come l rapporto tra l valore massmo ed l valore mnmo del modulo della tensone o della corrente: Autore: Sandro Petrell 8

29 nee d trasmssone (parte I) V( ) MAX OS V( ) MIN I( ) I( ) MAX MIN In base a quanto vsto poco fa, abbamo due possbltà a seconda del valore del carco almentato dalla lnea: se << V MAX V MIN V V OS se >> I I MAX I I MIN OS In ogn caso, rsulta OS>. Inoltre, è charo che, n base a quelle due relaon, se no ruscamo a msurare la tensone o la corrente lungo la lnea, per cu possamo conoscere l valore del OS, e conoscamo noltre l valore d, samo n grado d valutare l valore della resstena d carco. Dagramm dell mpedena d ngresso e lnee d trasmssone sono state fno ad ora esamnate essenalmente come meo d trasporto d energa da un punto ad un altro, tpcamente da un apparato d generaone ad un carco. Tuttava, nel campo delle mcroonde, esse sono molto mportant anche come ver e propr element crcutal. Il motvo è l seguente: quando s costruscono de dspostv che lavorno con frequene superor a 5 MH, è dffcle realare normal element crcutal (resstor, nduttor, generator e così va) che s possano ancora consderare a parametr concentrat, per cu rsulta necessaro adottare l potes de parametr dstrbut e qund consderare anche la presena delle lnee d trasmssone; per consderare tal lnee, dato che le dmenson fsche delle seon d lnea sono suffcentemente pccole, è possble vederle propro come degl element crcutal. Da qu vene la necesstà d studare l comportamento crcutale d queste lnee per valor d lunghea confrontabl con la lunghea d onda delle onde che devono trasportare. Il punto d partena è ancora una volta costtuto dalle equaon delle lnee d trasmssone n assena d perdte: V( ) V cos( β) + j I sen( β) I( ) j V sen( β) + I cos( β) In precedena, abbamo gà esamnato cosa accade alla mpedena d ngresso ( V ) ( ), n corrspondena d una generca dstana dal carco, quando l I( ) 9 Autore: Sandro Petrell

30 Appunt d amp Elettromagnetc aptolo 8 carco stesso è costtuto da un cortocrcuto o da un crcuto aperto: n partcolare, abbamo trovato che se (cortocrcuto) j tg( β ) se (crcuto aperto) j ctg( β ) Allora, è charo che non rsulta ma resstva (n quanto manca comunque della parte reale) e può rsultare nduttva o capactva a seconda del segno del coeffcente della parte mmagnara: essa rsulta nduttva se l segno è postvo, mentre rsulta capactva n caso contraro. Possamo percò provare a dagrammare valor del coeffcente della parte mmagnara d, ne due cas, n funone d, propro allo scopo d vedere che carattere (capactvo o nduttvo) ha l mpedena d ngresso al varare della dstana cu c ponamo dal carco. ome prmo dagramma rportamo l coeffcente della parte mmagnara della relaone j tg( β ), ossa l andamento della reattana d ngresso (coeffcente della parte mmagnara della mpedena d ngresso) quando l carco è un semplce cortocrcuto: tg( β) λ 4 λ 3λ 4 Questo grafco mostra quanto segue: quando samo a dstana <λ/4, la reattana d ngresso è postva, ossa è d natura nduttva; quando samo a dstana λ/4<<λ/, la reattana d ngresso è negatva, ossa d natura capactva; quando samo a dstana λ/, la reattana d ngresso è nulla, l che sgnfca che la lnea d lunghea λ/ s comporta come un cortocrcuto; a partre da λ/ l dscorso s rpete ogn tratto d lunghea λ/; nfne, la reattana d ngresso va all nfnto a dstana λ 3 λ 5 λ,,,..., ( k + ) λ Autore: Sandro Petrell 3

31 nee d trasmssone (parte I) Nel secondo grafco rportamo adesso l andamento d ctg( β) n funone del valore d : ottenamo ctg( β) λ 4 λ 3λ 4 In questo caso, s osserva quanto segue: a dstana <λ/4, la reattana d ngresso è negatva, ossa è d natura capactva; a dstana λ/4, la reattana d ngresso s annulla; a dstana λ/4<<λ/, la reattana d ngresso è postva, coè nduttva; a dstana λ/, la reattana d ngresso va all nfnto e lo fa n tutte le dstane multple ntere d λ/; a partre da λ/ l dscorso s rpete ogn tratto d lunghea λ/. In generale, qund, se esamnamo l andamento complessvo (perodco) d quest dagramm della reattana d ngresso, possamo affermare che, a seconda della dstana dal carco (che è un corto oppure un crcuto aperto) alla quale c ponamo, possamo vedere (guardando verso l carco) una nduttana oppure una capactà. Ecco, allora, che una lnea d trasmssone, chusa su un cortocrcuto o su un crcuto aperto, può essere usata come un nduttore o un condensatore a seconda della lunghea della lnea stessa. Partcolare attenone bsogna fare quando abbamo un valore nfnto (sa postvo sa negatvo) della reattana d ngresso: n base a dagramm appena vst, abbamo, per esempo, valore nfnto quando la lnea n cortocrcuto è lunga λ/4 oppure quando la lnea aperta n corto è lunga λ/. In quest cas, è assolutamente necessaro prendere n consderaone la parte resstva dell mpedena, la quale solo n teora rsulta nulla, mentre nella pratca ha un valore non nullo. Questo corrsponde alla condone d un crcuto a parametr concentrat che s trov n condon d rsonana parallelo, l quale, per basse frequene, presenta nfatt una mpedena nfnta se s trascura la resstena. Ne cas concret, dunque, la parte resstva dell mpedena d ngresso non può essere trascurata: s può dmostrare che essa vale 3 Autore: Sandro Petrell

32 Appunt d amp Elettromagnetc aptolo 8 r dove r è la resstena sere per untà d lunghea della lnea, è l mpedena d ngresso della lnea ed la lunghea della lnea stessa, che, come vsto prma, deve essere un multplo dspar d λ/4 se la lnea è n corto o un multplo par d λ/4 se la lnea è aperta. oncludamo osservando che l espressone d appena fornta rsulta valda solo sotto due potes fondamental: la prma è che valgano le seguent relaon, n base alle qual la quanttà α deve essere puttosto pccola: cosh( α) snh( α) α la seconda è che s possa trascurare l valore d g, n modo da poter scrvere che α r nea d lunghea λ/4 come nverttore d mpedena onsderamo ancora una volta le equaon delle lnee d trasmssone ottenute prendendo come rfermento per l asse l punto n cu c è l carco e nell potes d assena d perdte: V( ) V cos( β) + j I sen( β) I( ) I cos( ) + j V β sen( β) cordamo che V ed I sono valor della tensone e della corrente relatv al carco e che è l mpedena caratterstca della lnea, defnta come /γ. Abbamo gà defnto l mpedena d ngresso alla seone come l rapporto, fssato un certo valore della dstana dal carco, tra la tensone e la corrente sulla lnea: V( ) cos( β) + j sen( β) I( ) cos( β) + j sen( β) Questa può anche essere rscrtta ponendo n evdena, al posto dell mpedena caratterstca della lnea, l mpedena che rappresenta l carco: cos( β) + j sen( β) j cos( β ) + sen( β) j cos( β ) + sen( β) j cos( β ) + sen( β) Autore: Sandro Petrell 3

33 nee d trasmssone (parte I) Vedamo allora quanto vale questa mpedena d ngresso se la calcolamo a dstana λ/4 dal carco, dove λ è la lunghea d onda del segnale che s propaga lungo la lnea: sosttuendo questa espressone d ottenamo j cos β λ + sen β λ 4 4 j cos β λ + sen β λ 4 4 a costante d fase β è legata alla lunghea d onda del segnale dalla relaone π β, dalla quale s rcava che Bλπ ed anche, qund, che β λ π. Andando λ 4 dunque a sostture nella espressone dell mpedena d ngresso, è charo che, n π/, l coseno d annulla mentre l seno vale, per cu abbamo che j λ j 4 Abbamo dunque trovato che ad una dstana d λ/4 dal carco, l mpedena d ngresso è par al rapporto tra l quadrato dell mpedena caratterstca e l mpedena del carco. Nell potes ulterore per cu sa abbamo evdentemente che + jx λ 4 + jx + j X Questa relaone sgnfca quanto segue: quando, l carco è rappresentato semplcemente da +jx e può qund essere schematato come la sere tra una resstena ed una nduttana: X 33 Autore: Sandro Petrell

34 Appunt d amp Elettromagnetc aptolo 8 al contraro, a dstana λ/4, l carco, rappresentato adesso non pù da ma dall mpedena d ngresso (la quale tene conto, oltre che del carco vero e propro, anche del tratto d lnea d lunghea λ/4), è costtuto da un parallelo tra una resstena ed una capactà X X : Da qu derva l termne nverttore d mpedena attrbuto al tratto d lnea d lnea lungo λ/4: mentre l carco è d natura ohmco-nduttva (sere), l carco vsto da una dstana λ/4 dventa ohmco-capactvo (parallelo). Osservaone onsderamo sempre l espressone dell mpedena d ngresso, vsta n corrspondena della generca seone, per una lnea prva d perdte: cos( β) + j () cos( β) + j sen( β) sen( β) cordando che βπ/λ, c s rende conto faclmente che () è costante e par all mpedena d carco se consderamo una seone d lnea a dstana dal carco multpla d λ/: nfatt, prendendo nλ/, rsulta βnπ, per cu termn oseno rsultano par a ± mentre n termn Seno s annullano. In modo del tutto analogo, se valutamo l mpedena d ngresso n corrspondena d una arbtrara seone e po rpetamo l calcolo per una seone che s trov ad una dstana da par ad un multplo d λ/, ottenamo ancora la stessa mpedena. Anche qu l motvo è nell espressone βπ/λ. Questa propretà ha come conseguena evdente l fatto che, data una lnea d assegnata lunghea, essa mantene la stesa mpedena d ngresso, n qualsas seone, anche se le aggungamo o sottraamo tratt d lnea, purché lungh un multplo d λ/. Autore: Sandro Petrell 34

35 nee d trasmssone (parte I) oeffcente d rflessone sul carco Spesso sorge l problema d collegare due o pù lnee d trasmssone n cascata: l effetto d questo collegamento è quello d ntrodurre una dscontnutà tra due lnee unform. In base alle legg d Krchoff, però, la tensone e la corrente totale devono rmanere contnue attraverso la dscontnutà. Abbamo anche vsto che la tensone totale d una lnea s può consderare come la somma d un onda dretta che vagga nel verso postvo del rfermento prescelto e d un onda rflessa che vagga nel verso negatvo. Supponamo allora che l onda dretta valga V nel punto d dscontnutà e che quella rflessa valga nvece Vr. Vedamo, sulla base d questo, come possamo modfcare l equaone delle lnee d trasmssone. onsderamo l caso generco della presena d perdte e prendamo come rfermento dell asse l punto n cu s trova l carco: sappamo che, sotto queste potes, l andamento della tensone e della corrente lungo è defnto dalle relaon V() Ve V I() e γ γ + V e r γ Vr e γ dove rcordamo ancora una volta che γα+jβ è la costante d propagaone e l mpedena caratterstca della lnea consderata. Per determnare le costant V e Vr (n generale complesse), sappamo d dover mporre le condon al contorno relatve ad una qualsas seone della lnea; la scelta pù semplce è quella d consderare la seone d carco, ossa : le condon al contorno sul carco sono valor d tensone V()V e d corrente I()I, per cu valgono le relaon V( ) V V + Vr V Vr I( ) I S defnsce allora coeffcente d rflessone sul carco l seguente rapporto: ρ Vr V onsderando che V e Vr sono, n generale, delle costant complesse, deducamo che anche ρ è una quanttà complessa, dotata coè d un propro modulo e d una propra fase: ρ ρ θ. E possble esprmere questo coeffcente n funone solo dell mpedena caratterstca della lnea e dell mpedena che rappresenta l carco: per prma cosa, dalle relaon V V + Vr V Vr I 35 Autore: Sandro Petrell