Esercizio 1. Esercitazione 14 Dicembre 2012 Sistemi trifase e potenze R 3 R 1 R 2. simmetrico L 1 L 3

Transcript

1 serctazone 4 Dcembre 0 Sstem trfase e potenze serczo L L L 00 f 50 Hz smmetrco Fg : Sstema trfase a stella S consder l crcuto d Fg e s calcolno le tre corrent d fase e le potenze attve, reattve ed apparent nel caso d sstema equlbrato e squlbrato defnt nel seguto Per prma cosa, essendo l sstema d tenson mpresse smmetrco, è possble calcolare la terna d tenson stellate applcate Per semplctà s suppone che l vettore rappresentatvo della tensone della fase gacca sull asse reale In questa potes s ha e e e , [ ] 00 0 e 86, e 86, [ ] [ ] Sstema equlbrato Il sstema è così defnto: L L L 0 Ω 00mH Dato che l sstema è equlbrato lo s può trattare come se fosse monofase, per tanto basta calcolare le grandezze relatve ad un sngolo ramo che rsultano essere ugual anche negl altr due, a meno della fase Per tanto, l mpedenza d ramo sarà: 57,5 + ωl , 0 +,4 7,e

2 La corrente d ramo può essere rcavata come rapporto tra la tensone d fase e l mpedenza, s ha qund: I 7,e 7,e 0 57, 5 4,66 57,5 5,9 Nell equazone precedente s è consderata una fase nulla per la tensone, n questo modo s semplfcano calcol e s hanno mnor possbltà d errore stato possble fare questa potes perché l sstema s rfermento per le grandezze può essere scelto con un grado d lbertà: n questo modo s è mposto che l vettore rappresentatvo d gacca sull asse reale vvamente, fssato l sstema d rfermento, tutte le altre grandezze vanno rferte ad esso alcolata la corrente è possble calcolare le potenze n due mod: come potenze erogate da generator o come potenze assorbte da carch Questo è possble perché l sstema è equlbrato, qund la potenza erogata da una fase è anche quella che assorbe la fase stessa S ha per tanto: ( 4,66 ( 4,66 PT I 0 0 W S P Q T T + T + QT XI,4 046 Ar Alternatvamente, s sarebbe potuto calcolare la potenza col prodotto tra tensone e corrente: * ,5 57,5 ST I e 4,66e 4e Sstema squlbrato Il sstema è così defnto: 0 Ω L 50mH L 0 Ω 00 mh 0 Ω L 50 mh Questa volta è necessaro trovare le grandezze relatve alle tre fas, che rsulteranno dfferent tra loro Le mpedenze d ogn ramo rsultano essere: + ωl + ωl + ωl , ,7 5,4e , 0 +,4 4,4e , , 48,e 8, 46, 78 Per affrontare l problema trfase, occorre conoscere la tensone tra l centro stella del carco e l centro stella d un potetca terna d generator Tale valore d tensone può essere calcolato con Mllman, ma per fare cò è meglo trovare le mpedenze d ramo Y Y Y 5,4e 4,4e 48,e 8, 46, 78 0,09e 0,0e 0,0e 8, 46, 78 0,0 0,04 0,06 J 0,07 0,004 J 0,0 [] S [] S [] S

3 Per Mllman, è possble scrvere: Y + Y + Y Y + Y + Y 6,75e 6,e 8, 7, 66, + 4e +,6e 0,05 0,06 58, ,e [ ] 0 4 8, 0 46, 0 0,09e + 7,e 0,0e + 7,e 0,0e 0,0 0,04 + 0,06 0,07 + 0,004 0,0 5, 4,,9 0,95 +,7 +,4 4,,75 4,9e 5 5 0,08e 0,08e 0,08e 78,9 5 A questo punto è possble calcolare le corrent d fase come rapporto tra la tensone applcata all mpedenza d fase e l mpedenza stessa S ha per tanto: I I I 7, 58,6 8 4,6 8 6e 8, 8, 5,4e 5,4e 5,4e 8,9 8, 4,6e 86, ,6 8 45, 68 e 46, 46, 4,4e 4,4e 4,4e 47 86, ,6 8 45, + 96,e ,e 48,e 48,e 0,7 46, 7,7 78 5,e 4,e 77 S può ora passare al calcolo delle potenze Anche con un sstema squlbrato la somma delle potenze attve erogate concde con la somma delle potenze attve assorbte, ma non è detto che questa uguaglanza sa rspettata su ogn sngola fase qund possble calcolare le potenze attva e reattva n due mod Il prmo metodo utlzza gl angol tra le tenson e le corrent d fase che dovranno essere calcolat a partre dagl angol assolut Λ ϕ I Λ ϕ I Λ ϕ I 0 ( ( 77 ( 59, ,7 60, A questo punto possble procedere al calcolo delle potenze con l espressone seguente PT QT I cosϕ 7, 4,6 cos I snϕ 7, 4,6 sn ( , 5, cos( , 4, cos( 60, ( , 5, sn( , 4, sn( 60, 59,7 76, W 940 Ar ppure, l secondo metodo sfrutta la parte reale ed mmagnara dell mpedenzas ha qund: PT QT I X I 0 5,7 ( 4,6 + 0 ( 5, + 0 ( 4, ( 4,6 +,4 ( 5, + 47, ( 4, 7 W 940 Ar

4 Le pccole dscrepanze sulle potenze calcolate ne due mod alternatv dervano dalle dverse approssmazon fatte durante calcol Per concludere questo eserczo è opportuno dsegnare l dagramma vettorale relatvo al caso squlbrato che è rportato n Fg Im I 0 I I e Fg : Dagramma vettorale per l sstema squlbrato serczo L L L Fg : Sstema trfase a trangolo S consder l sstema d Fg con un carco collegato a trangolo ed n regme snusodale a f 50Hz Il sstema n oggetto rsulta così defnto: 4

5 L 0 Ω 50mH L 0 Ω 00 mh L 0 Ω 50 mh Inoltre è assegnata la seguente terna d tenson stellate d almentazone 00e 50e 50e 0 00 [ ] 0 85,5 4, ,7 [ ] [ ] S chede d calcolare le tre corrent d lnea e le potenze attva, reattva ed apparente total ome prma cosa è necessaro calcolare le mpedenze de tre ram S ha qund: + ωl + ωl + ωl , ,7 5,4e , 0 +,4 4,4e , , 48,e 46, 78 Note le mpedenze, è possble calcolare la corrente d ogn ramo come rapporto tra la tensone del ramo e l mpedenza vvamente la tensone su ogn mpedenza rsulta essere la dfferenza tra due tenson d fase dell almentazone Qund s ha: ( 85,5 4,9 9, ,7e, I 4,6e 4,6 + 0, 8, 8, 5,4e 5,4e 98,8 85,5 4,9 ( ,7 87,e 45, I 8,9e 7, 5, 46, 46, 4,4e 4,4e 46, , e 68,8 I 5,6e + 5, ,e 48,e alcolate le corrent su ogn fase, s calcolane le corrent d lnea applcando le LK ad ogn nodo del trangolo S ha qund: I I I I I I I I I 4,6 + 0, 7, 5, + 5, Per completare l eserczo, s calcolano le potenze: 8,, ( + 5,,6 4,9,5e 66, ( 4,6 + 0,,9 5,4,6e 47,9 ( 7, 5, 9, + 0,,9e PT QT I X I 0 5,7 ( 4,6 + 0 ( 8,9 + 0 ( 5,6 ( 4,6 +,4 ( 8,9 + 47, ( 5, W 7 Ar S T

6 serczo Q f 400 / 0 50 Hz smmetrco P A 0 kw cosϕ 0,85 0 kw 5 ka rtardo nduttvo A Fg 4: fasamento trfase P S S consder la lnea trfase rappresentata n Fg 4, composta da tre carch d cu l secondo è defnto dalla terna d mpedenze l cu valore è: S determn la potenza reattva del gruppo rfasante per ottenere un valore cos ϕ 0, 95 dopo l rfasamento S dmensonno noltre condensator nel caso d collegamento a stella e a trangolo Per poter svolgere l eserczo rchesto, è necessaro conoscere la stuazone precedente al rfasamento, n partcolare occorre conoscere l valore d tan ϕ Tale valore è dato dal rapporto tra la potenza reattva totale e la potenza attva totale: bsogna calcolare quest due valor arco A La potenza attva del carco A è gà nota, ma manca la potenza reattva A tale scopo s sa che ( arccos( cos 0 tan( arccos( 0,85 0 0,6,4 kar QA PA tanϕa PA tan ϕa Qund, rassumendo, s ha: P Q A A 0 kw,4 kar arco Per calcolare le potenze relatve al carco occorre conoscere l modulo della corrente che crcola su d esso A tal fne è bene rappresentare l mpedenza n forma polare: 8, ,8e Ω

7 Il modulo della corrente è qund dato da: I 0 8 A,8 La potenza attva può essere calcolata n dvers mod, per esempo: ( 8,7 9,7 kw P I cosϕ cos Analogamente s procede con la potenza reattva captolando, per l carco s ha: ( 8,7 7,797 kar Q I snϕ sn P Q 9,7 kw 7,797 kar arco La potenza attva del carco è nota La potenza reattva può essere calcolata rcorrendo al teorema d Ptagora Dal trangolo delle potenze s ha che: captolando, per l carco s ha: ( 5 ( 0,8 kar Q S P P Q 0 kw,8 kar Potenze total e d rfasamento Note le potenze de sngol carch, le s somma per ottenere la potenza totale: PT PA + P + P 0 + 9, ,7 kw QT QA + Q + Q,4 + 7,797 +,8,77 kar Note le potenze total, s determna faclmente l valore d tan ϕ QT,77 tan ϕ 0,7897 P 9,7 T Introducendo un gruppo d condensator deal, la potenza attva assorbta non camba, qund è possble scrvere che: ( arccos( 0,95 9,7 0,87,06 kar Q T P T tan ϕ 9,7 tan 7

8 La potenza reattva così determnata è quella che garantsce l valore voluto d cos ϕ La potenza che deve essere fornta al carco è la dfferenza tra le due, qund: Q Q T Q,06,77 8,7 kar T Il fatto che la potenza sa negatva conferma che l gruppo rfasante deve essere d tpo capactvo Dmensonamento de condensator Nel caso d condensator collegat a trangolo, su ognuno d ess v è una caduta d tensone par a quella concatenata, per cu: Q 8,7 0 µ F ω Nel caso d condensator collegat stella, nvece, la tensone su ogn condensatore è quella d fase, qund: Q 8,7 0 Y 68 µ F ω 4 0 vvamente, condensator collegat a stella hanno devono avere una capactà trpla rspetto a quell collegat a trangolo 8