PICCOLE OSCILLAZIONI ATTORNO ALLA POSIZIONE DI EQUILIBRIO

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1 PICCOLE OSCILLAZIONI ATTORNO ALLA POSIZIONE DI EQUILIBRIO Stabltà e Teorema d Drclet Defnzone S dce ce la confgurazone C 0 d un sstema è n una poszone d equlbro stable se, portando l sstema n una confgurazone C abbastanza prossma a C 0 e mprmendogl un energa cnetca T abbastanza pccola, l sstema s muove mantenendos sempre prossmo a C 0 e conservando un energa cnetca pccola (B. Fnz, Meccanca Razonale, pag. 69). Teorema (Drclet) Se l energa potenzale è mnma n una confgurazone, v l equlbro è stable. In termn d potenzale, l equlbro è stable se la poszone corrsponde a un massmo. Consderamo un sstema materale con un solo grado d lbertà soggetto a vncol fss,perfett, blater soggetto a forze conservatve ce ammettono la funzone potenzale. Sa q la coordnata generalzzata. Se q = q è una poszone d equlbro per l sstema, allora l potenzale U (q) ètalece U =0. () q Supponamo ce la poszone sa d equlbro stable, allora l potenzale a un massmo n q e U < 0. () q La funzone lagrangana del sstema è L = T (q, q)+u (q) = A (q) q + U (q). (3) La lagrangana 3 è un caso partcolare della seguente lagrangana generca, scrtta per un sstema a n graddlbertà L = T (q, q t)+u (q t) = nx,k= a k (q t) q q k + 5 nx b k (q t) q k + T 0 + U (q t). (4) Se l sstema a un grado d lbertà ed è soggetto a vncol fss,perfett, blater, coeffcent della matrce dell energa cnetca a k (q t) s rducono alla sola funzone A (q) > 0 ( T non può ma essere negatva). Se supponamo ce non c sa una dpendenza esplcta dalle veloctà generalzzate q k (per esempo flud vscos), l termne con b k (q t) =0arrvando così all espressone 3. Svluppamo la lagrangana L L (q, q) n sere d Taylor attorno alla poszone d equlbro q " L = T (q, q)+u (q) = # A A ( q)+ (q q)+... q q k=

2 6 " + U ( q)+ U (q q)+ q U q # (q q) +..., (5) dove abbamo trascurato termn n q e q ce sono d ordne superore al secondo, per cu L = A ( q) q + U ( q)+ U (q q). (6) q Nell espressone 6, abbamo usato l potes. Le dervate parzal rspetto a q e q,della lagrangana sono: = A ( q) q (7) q ecpocè U ( q) è valutato n q e qund è una costante. Le equazon d Lagrange dventano d dt q q =0 = d U (A ( q) q) dt q (q q) =0 = A ( q) q U 00 ( q)(q q) =0, (8) pocè A ( q) e U 00 ( q) sono valutate n q e qund delle costant. Se ntroducamo la varable ε = q q = ε = q e ε = q (9) e la pulsazone caratterstca l equazone 8 dventa ω = U 00 ( q) A ( q), (0) ε + ω ε =0, () coè l equazone d un oscllatore armonco, la cu soluzone è del tpo ε (t) =A cos (ωt + ϕ). () Il perodo delle pccole oscllazon dventa semplcemente T = π ω =π s A ( q) U 00 ( q) (3) rappresenta le equazon d Lagrange n forma conservatva. S rcord ce µ U q = U 00 ( q).

3 7 Esempo S consder l sstema d fgura formatodaun astadmassam e lungezza l, alla cu estremtà vene fssata una massa puntforme m. Calcolare la frequenza delle pccole oscllazon attorno alla poszone d equlbro. Il sstema a un grado d lbertà. Sceglamo come coordnata lbera l angolo θ. L energa cnetca è data da T = T M + T m = I O θ + ml θ, (4) dove I O = Ml (5) è l momento d nerza rspetto al punto fsso O. Qund Il potenzale vale T = 4 Ml θ + ml θ. (6) elalagranganavale U = U (θ) =U M + U m = M l g cos θ + mlg cos θ (7) L = T + U = 4 Ml θ + ml θ + M + m gl cos θ. (8) Calcolamo le dervate parzal rspetto alla coordnate θ e θ M θ = + m l M θ θ = + m gl sn θ. (9) Prma d prosegure, determnamo punt d equlbro del sstema. Dal potenzale, rcavamo U (θ) = U θ = M l g sn θ mgl sn θ =0 θ =0,π. (0)

4 8 Per determnare quale de due è un punto d equlbro stable, calcolamo U θ = M l (M/+m) gl per θ =0 g cos θ mgl cos θ =. () θ= θ (M/+m) gl per θ = π Per la condzone, θ =0è punto d equlbro stable. Le equazon d Lagrange d M M t + m l θ + + m gl sn θ =0, () approssmate al secondo ordne nello svluppo n sere d MacLaurn, dventano µ d M M t + m l θ + + m gl θ = θ + 3 M +m g θ M +m l = θ + ω θ =0, (3) dove µ ω = 3 M +m g M +m l. (4) Esempo S consder l sstema d fgura formato da due aste d massa trascurable d lungezza rspettvamente l e l,alle cu estremtà vengono fssate due masse puntform m e m.calcolarelefrequenze delle pccole oscllazon attorno alla poszone d equlbro. Il sstema a due grad d lbertà. Prendamo come coordnate lbere gl angol θ e θ format dalle aste con la vertcale. Per la massa m s ottene faclmente ( T = m l θ U = m gl cos θ. (5) Per trovare l energa cnetca della seconda massa, esprmamo le sue coordnate cartesane x e y n termn d θ e θ ½ x = l sn θ + l sn θ y = l cos θ + l cos θ (6)

5 9 elesueveloctàẋ e ẏ ½ ẋ = l cos θ θ + l cos θ θ ẏ = l sn θ θ l sn θ θ. (7) Ora possamo scrvere T = m ẋ + ẏ = m l θ + l θ +l l (cos θ cos θ +snθ sn θ ) θ θ = m l θ + l θ +l l cos (θ θ ) θ θ, (8) mentre U = m g ³θ e θ. (9) E possble ora scrvere la lagrangana L = T + U + T + U = m l θ +m gl cos θ + m l θ + l θ +l l cos (θ θ ) θ θ +m g (l cos θ + l cos θ ). (30) Calcolamo prma le dervate parzal rspetto alle coordnate generalzzate θ = (m + m ) gl sn θ m l l sn (θ θ ) θ θ θ (3) e θ θ =(m + m ) l θ + m l l cos (θ θ ) θ. (3) Po calcolamo le dervate parzal rspetto alle coordnate generalzzate θ = m gl sn θ + m l l sn (θ θ ) θ θ θ (33) e θ θ = m l θ + m l l cos (θ θ ) θ. (34) Determnamo le poszon d equlbro. Dobbamo annullare l gradente d U (θ,θ ) U θ = (m + m ) gl sn θ =0 U θ = m gl sn θ =0 = θ =0,π e θ =0,π. (35) Per determnare se sono poszon d equlbro stable o nstable, dobbamo massmzzare l potenzale. S deve calcolare dapprma la matrce essana d U Ã! U U θ H (θ,θ )= θ θ (m + m = ) gl cos θ 0 0 m gl cos θ U θ θ U θ (36)

6 0 e po calcolarne l determnante Pocè det H (θ,θ )=m (m + m ) g l l cos θ cos θ. (37) U(0,0) θ U(π,π) θ = (m + m ) gl < 0 =(m + m ) gl > 0 e det H (0, 0) = m (m + m ) g l l > 0 det H (0,π)=detH(π, 0) = m (m + m ) g l l < 0, (39) det H (π, π) =m (m + m ) g l l > 0 s deduce ce U (0, 0) è un punto d massmo e qund per l Teorema d Drclet, un punto d equlbro stable. Nella poszone d equlbro stable, la matrce del potenzale s può approssmare con la matrce essana n quel punto H (0, 0) = (38) (m + m ) gl 0. (40) 0 m gl L energa cnetca nella stessa poszone dventa T = m l θ + m l θ + l θ +l l θ θ dove = ³ a θ + a θ θ + a θ θ + a θ, (4) a = m l, a = a = m l l, a = m l. (4) Icoeffcent a j formano una matrce µ (m + m A = ) l m l l m l l m l S not ce la lagrangana s può scrvere nella forma suggestva. (43) L = θ T A θ + θt Hθ, (44) dove abbamo ntrodotto vettor colonna θ θ = e θ = θ µ θ θ (45) con rspettv vettor traspost θ T e θ T. La lagrangana 44 approssmata è smle a quella del caso mono-dmensonale. Per calcolare le frequenze delle pccole oscllazon basta scrvere la nuova matrce Aω (m + m + H = ) lω (m + m ) gl m l l ω m l l ω m lω (46) m gl

7 e calcolarne l determnante det Aω + H = (m + m ) l ω (m + m ) gl m l ω m gl m l l ω = g l l m (m + m ) m gl l (l m + l m + l m + l m ) ω + ω 4 l l m m. (47) La condzone det Aω + H =0, fornrà le pulsazon propre = g (m + m ) g (l m + l m + l m + l m ) ω + ω 4 l l m =0. (48) Se ponamo a = l l m ; b = g (l m + l m + l m + l m ); c = g (m + m ), (49) le due frequenze propre sono ω, = b a ± b 4ac. (50) a Se come caso partcolare prendamo m = m = m = ω, = g l + l l l ± g l l q l + l. (5) Oppure m 6= m e l = l = l = ω, = g m + m ± g p m (m + m ). (5) lm m l Infne caso molto partcolare m = m = m e l = l = l = ω, = g ³ ±. (53) l