Algebra Sia A un anello commutativo. Si ricorda che in un anello commutativo vale il teorema binomiale, cioè. (a + b) n = a i b n i i.

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1 Testo Fac-smle 2 Durata prova: 2 ore 8 1. Un gruppo G s dce semplce se suo unc sottogrupp normal sono 1 e G stesso. Sa G un gruppo d ordne pq con p e q numer prm tal che p < q. (a) Il gruppo G può essere semplce? (b) Dmostrare che, se q 1 mod p, allora G è cclco. (c) Dmostrare che se G è abelano allora è cclco Sa n un ntero postvo fssato e sa R n l sottonseme d C formato dagl element del tpo a + b n al varare d a e b n Z. (a) Mostrare che R n è un sottoanello d C. (b) Dato un elemento z := a + b n d R n la sua norma N(a) è defnta come N(z) := a 2 + b 2 n. Mostrare che N(z 1 z 2 ) = N(z 1 )N(z 2 ) per ogn z 1 e z 2 n R n. (c) Trovare gl element nvertbl d R n n dpendenza da n. (d) Mostrare che gl element nvertbl d R n formano un gruppo cclco rspetto al prodotto. (e) Dmostrare che 2, e 3 7 sono element rrducbl d R 7. (f) Mostrare che R 7 non è un domno a fattorzzazone unca Sa M un modulo (destro) su un anello commutatvo A. Dato un elemento m d M l annullatore Ann (m) è l sottonseme d A così defnto: Ann (S) := {x A mx = 0}. (a) Mostrare che Ann (m) è un deale d A. (b) Dato un sottomodulo N d M s consder l modulo quozente M/N. Mostrare che Ann (m + N) Ann (m) e che Ann (m + N) = Ann (m) se e solo se ma N = 0 (dove ma := {ma a A} è l sottomodulo d M generato da m) Sa A un anello commutatvo. S rcorda che n un anello commutatvo vale l teorema bnomale, coè (a + b) n = n a b n per ogn a e b n A e ogn ntero postvo n. Per defnzone l nlradcale N d un anello commutatvo A è l sottonseme d A formato da tutt gl element nlpotent d A (coè gl element a per cu esste un ntero postvo n tale che a n = 0). (a) Mostrare che l nlradcale d A è un deale N e che l quozente A/N non ha element nlpotent non banal. (b) Mostrare che se A è un domno allora N = 0. (c) Sa I un deale d A tale che A/I sa un domno. Mostrare che I N.

2 Fac-smle 2 Pagna 1 d Un gruppo G s dce semplce se suo unc sottogrupp normal sono 1 e G stesso. Sa G un gruppo d ordne pq con p e q numer prm tal che p < q. (a) Il gruppo G può essere semplce? Soluzone: Per l teorema d Sylow G ha almeno un sottogruppo d ordne q. Sempre per l teorema d Sylow, l numero d tal sottogrupp è un dvsore d G q = p congruo a 1 modulo q. I dvsor d p sono 1 e p: l prmo è charamente congruo a 1 modulo q mentre l secondo no (nfatt p 1 è un numero postvo mnore d q e, qund, non è multplo d q). Pertanto G ha esattamente un sottogruppo Q d ordne q: suo conugat, avendo ordne q, devono necessaramente concdere con Q che è qund normale. Il gruppo G non è pertanto semplce. (b) Dmostrare che, se q 1 mod p, allora G è cclco. Soluzone: Dal punto precedente sappamo che G ha un sottogruppo normale Q d ordne q. Con un ragonamento analogo a quello del punto precedente G ha sottogrupp d ordne p e l loro numero è un dvsore d q congruo a 1 modulo p. Poché per potes q non è congruo a 1 modulo p, c è esattamente un sottogruppo P d ordne p. Ragonando come al punto precedente, tale sottogruppo è normale. L ntersezone P Q ha ordne che dvde l ordne d P e l ordne d Q. Poché p e q sono prm dstnt P Q l ntersezone P Q ha ordne 1. Il prodotto P Q ha ordne uguale P Q = pq e dunque P Q = G. Rassumendo, P e Q sono sottogrupp normal l cu prodotto è G e la cu ntersezone è 1: n altr termn G è l prodotto dretto d P e Q. Dal momento che P e Q hanno ordne prmo sono entramb cclc, qund G è l prodotto dretto d grupp cclc avent ordn coprm ed è qund cclco. (c) Dmostrare che se G è abelano allora è cclco. Soluzone: Per l teorema d Sylow G ha almeno un sottogruppo P d ordne p e un sottogruppo Q d ordne q. Poché G è abelano tutt suo sottogrupp sono normal: n partcolare P e Q sono normal (n realtà abbamo mostrato n precedenza che Q è normale anche se G non è abelano). Rpetendo l ultma parte del punto precedente s trova che G è cclco Sa n un ntero postvo fssato e sa R n l sottonseme d C formato dagl element del tpo a + b n al varare d a e b n Z. (a) Mostrare che R n è un sottoanello d C. Soluzone: L nseme R n è charamente non vuoto. Sano z 1 := a 1 + b 1 n e z2 := a 2 + b 2 n due element generc d R n. Abbamo z 1 + z 2 = (a 1 + a 2 ) + (b 1 + b 2 ) n : poché a 1 + a 2 e b 1 + b 2 sono numer nter, R n è chuso rspetto alla somma. Inoltre z = a 1 b 1 n : poché a 1 e b 1 sono numer nter, R n contene gl oppost de propr element. Abbamo po z 1 z 2 = a 1 a 2 nb 1 b 2 + b 1 + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) n : poché a 1 a 2 nb 1 b 2 e a 1 b 2 +a 2 b 1 sono numer nter, R n è chuso rspetto al prodotto. Infne R n contene 1: nfatt 1 = n. (b) Dato un elemento z := a + b n d R n la sua norma N(a) è defnta come N(z) := a 2 + b 2 n. Mostrare che N(z 1 z 2 ) = N(z 1 )N(z 2 ) per ogn z 1 e z 2 n R n.

3 Fac-smle 2 Pagna 2 d 4 Soluzone: La dmostrazone è dretta. Se z 1 := a 1 + b 1 n e z2 := a 2 + b 2 n abbamo z 1 z 2 = a 1 a 2 nb 1 b 2 + b 1 + (a 1 b 2 + a 2 b 1 ) n : pertanto N(z 1 ) = a 2 1 +b 2 1n, N(z 2 ) = a 2 2 +b 2 2n e N(z 1 z 2 ) = (a 1 a 2 nb 1 b 2 ) 2 +(a 1 b 2 +a 2 b 1 ) 2 n. Svluppando ottenamo N(z 1 z 2 ) = a 2 1a n 2 b 2 1b 2 2 2na 1 a 2 b 1 b 2 + na 2 1b na 2 2b na 1 b 2 a 2 b 1 = a 2 1a n 2 b 2 1b na 2 1b na 2 2b 2 1. D altra parte N(z 1 )N(z 2 ) = (a b 2 1n)(a b 2 2n) = a 2 1a n 2 b 2 1b na 2 1b na 2 2b 2 1. (c) Trovare gl element nvertbl d R n n dpendenza da n. Soluzone: Sa z un elemento nvertble. Allora N(z)N(z 1 ) = N(zz 1 ) = N(1) = 1. Poché la norma d un qualsas elemento d R n è, per defnzone, un ntero non negatvo, abbamo che N(z) = 1. Se z = a + b n abbamo che N(z) = a 2 + nb 2. Consderamo l uguaglanza a 2 + nb 2 = 1. Per n = 1 s rduce a a 2 + b 2 = 1 le cu soluzon sono (a, b) = (1, 0), (a, b) = ( 1, 0), (a, b) = (0, 1) e (a, b) = (0, 1) che danno gl element 1, 1, e. Quest quatto element sono effettvamente nvertbl n R 1 : nfatt 1 e 1 concdono con l propro nverso e e sono uno l nverso dell altro. Se n 2 l uguaglanza a 2 + nb 2 = 1 mplca che b = 0: se fosse b 0 avremmo N(z) nb 2 n 2. Pertanto b = 0 e N(z) = a 2 : le unche possbltà sono a = 1 e a = 1. Ottenamo così z = 1 e z = 1: quest sono effettvamente nvertbl n R n. (d) Mostrare che gl element nvertbl d R n formano un gruppo cclco rspetto al prodotto. Soluzone: L nseme degl element nvertbl d un anello forma sempre un gruppo. Nel caso n = 1 tale gruppo è cclco generato da (o da ): nfatt = 1, 2 = 1, 3 = e 4 = 1. Se n 2 tale gruppo è generato da 1: nfatt ( 1) 1 = 1 e ( 1) 2 = 1. (e) Dmostrare che 2, e 3 7 sono element rrducbl d R 7. Soluzone: Dobbamo mostrare che ogn volta che esprmamo uno degl element dat come prodotto d due element d R 7, uno de due fattor è necessaramente nvertble. Notamo che N(2) = 4. Se fosse 2 = z 1 z 2 avremmo N(z 1 N(z 2 ) = 4. Poché la norma d un elemento è un ntero postvo abbamo due possbltà: N(z 1 ) = N(z 2 ) = 2, oppure uno de due fattor ha norma 1 e l altro 4. L equazone a 2 + 7b 2 = 2 mplca che b = 0 (altrment l prmo membro sarebbe maggore o uguale a 7) e s rduce qund a a 2 = 2 che non ha soluzon ntere. Pertanto non c sono element d norma 2 n R 7. L unca possbltà d scrvere 2 come prodotto d due element n R 7 è che uno abba norma 1 e l altro 4: abbamo osservato n precedenza che gl element d norma 1 sono nvertbl n R 7 e, dunque, 2 è rrducble. Per quanto rguarda e 3 7 osservamo che entramb hanno norma 16. Se voglamo esprmere uno d ess come prodotto d due element d R 7 abbamo allora tre possbltà: un fattore d norma 1 e un fattore d norma 16, un fattore d norma 2 e uno d norma 8, entramb fattor d norma 4. Abbamo notato n precedenza che non c sono n R 7 element d norma 2: possamo escludere l secondo caso. Per trovare gl element d norma 4 consderamo l equazone a 2 + 7b 2 = 4: deve essere b = 0 (altrment l prmo membro sarebbe maggore o uguale a 7) e da a 2 = 4 rcavamo a = 2 o a = 2. Gl unc element d norma 4 sono allora 2 e 2: n partcolare l prodotto d due element d norma 4 è un ntero relatvo e non può essere o 3 7. L unca possbltà per esprmere o 3 7 come prodotto d due element d R 7 è che uno de due fattor abba norma 1 e l altro 16: abbamo però gà osservato che gl element d norma 1 sono nvertbl. (f) Mostrare che R 7 non è un domno a fattorzzazone unca.

4 Fac-smle 2 Pagna 3 d 4 Soluzone: Dal punto precedente sappamo che 2, e 3 7 sono rrducbl. Notamo che 16 = = (3 + 7) (3 7): abbamo allora scrtto l numero 16 come prodotto d rrducbl n due mod non equvalent (le due fattorzzazon non hanno nemmeno lo stesso numero d fattor) Sa M un modulo (destro) su un anello commutatvo A. Dato un elemento m d M l annullatore Ann (m) è l sottonseme d A così defnto: Ann (S) := {x A mx = 0}. (a) Mostrare che Ann (m) è un deale d A. Soluzone: Il sottonseme Ann (m) è charamente non vuoto perché 0 Ann (s). Sano x 1 e x 2 due element d Ann (m) e sa d un elemento d A. Abbamo allora mx 1 = mx 2 = 0 da cu ottenamo m(x 1 + x 2 ) = mx 1 + mx 2 = = 0 m(x 1 d) = (mx 1 )d = 0d = 0 coè x 1 + x 2 e x 1 d appartengono all annullatore d m che è, pertanto un deale d A. (b) Dato un sottomodulo N d M s consder l modulo quozente M/N. Mostrare che Ann (m + N) Ann (m) e che Ann (m + N) = Ann (m) se e solo se ma N = 0 (dove ma := {ma a A} è l sottomodulo d M generato da m). Soluzone: Se x è un elemento d Ann (m), coè se mx = 0, allora (m + N) = mx + N = 0 + N = N. Poché N è lo zero del modulo quozente M/N abbamo che x Ann (m + N): dunque Ann (m + N) Ann (m). Supponamo ora che Ann (m + N) = Ann (m) e mostramo che ma N = 0. Sa dunque n ma N: esste dunque x A tale che n = mx. Ma allora (m + N)x = mx + N = n + N = N dal momento che n N. Poché N è lo zero d M/N, cò sgnfca che x appartene a Ann (m + N): l potes Ann (m + N) = Ann (m) mplca allora che x Ann (m), coè n = mx = 0. Pertanto ma N = 0. Supponamo vceversa che ma N = 0 e mostramo che Ann (m + N) Ann (m) (l nclusone opposta è sempre garantta). Sa x Ann (m + N): poché lo zero d M/N è N cò sgnfca che N = (m + N)x = mx + N, coè mx N. Ma allora mx è un elemento d ma N = 0, coè mx = 0: pertanto x Ann (m) Sa A un anello commutatvo. S rcorda che n un anello commutatvo vale l teorema bnomale, coè (a + b) n = n a b n per ogn a e b n A e ogn ntero postvo n. Per defnzone l nlradcale N d un anello commutatvo A è l sottonseme d A formato da tutt gl element nlpotent d A (coè gl element a per cu esste un ntero postvo n tale che a n = 0). (a) Mostrare che l nlradcale d A è un deale N e che l quozente A/N non ha element nlpotent non banal. Soluzone: Notamo che N è non vuoto perché 0 N. Sano ora a e b due element d N: esstono allora nter postv m e n tal che a m = 0 e b n = 0. Consderamo allora (a + b) m+n 1. Per l teorema bnomale abbamo che (a + b) m+n 1 = m+n 1 a b m+n 1. Notamo che tutt gl addend della precedente espressone s annullano: per < m l esponente m+n 1 d b è maggore o uguale d n e, dunque, b m+n 1 = 0; mentre per m s ha a = 0. Pertanto a + b è nlpotente, coè N è chuso rspetto alla somma.

5 Fac-smle 2 Pagna 4 d 4 Sa ora a un elemento nlpotente e c un elemento qualunque dell anello A. Sappamo che esste un ntero postvo n tale che a n = 0: ma allora, poché A è commutatvo, s ha (ac) n = a n c n = 0 c n = 0 coè ac è nlpotente. Questo conclude la verfca del fatto che N sa un deale. Consderamo ora l anello quozente A/N e sa a + N un elemento nlpotente d A/N. Esste allora un ntero postvo n tale che (a + N) n è lo zero d A/N. Poché (a + N) n = a n + N e lo zero d A/N è N cò sgnfca che a n N, vale a dre a n è nlpotente. Dunque esste un ntero postvo m tale che (a n ) m = 0. Per le propretà delle potenze abbamo allora a mn = 0 e, qund, a è nlpotente, coè appartene a N. Questo sgnfca che a + N = N coè l elemento nlpotente a + N d A/N è necessaramente lo 0 d A/N. (b) Mostrare che se A è un domno allora N = 0. Soluzone: Sa a un elemento nlpotente d A: esste allora un ntero postvo n tale che a n = 0. Mostramo, per nduzone su n, che a = 0. Se n = 1 cò è banale, altrment notamo che aa n 1 = a n = 0. Poché A è un domno abbamo che a = 0 (come rchesto) oppure a n 1 = 0 che, per potes nduttva, mplca ancora a = 0. (c) Sa I un deale d A tale che A/I sa un domno. Mostrare che I N. Soluzone: Sa a un elemento d N. Esste allora un ntero postvo n tale che a n = 0. Se consderamo l elemento a + I del quozente A/I abbamo allora che (a + I) n = a + I = 0 + I = I: poché I è lo zero d A/I, cò sgnfca che a + I è nlpotente. Dal punto precedente sappamo che l unco elemento nlpotente d un domno è 0: pertanto a + I è lo zero d A/I, coè a I.