Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica finanziaria aa lezione 3: 27 febbraio 2013

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1 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca fnanzara aa lezone 3: 27 febbrao 2013 professor Danele Rtell 1/26?

2 S può dmostrare che 1. se 0 < t < 1 allora 1 + t > (1 + ) t 2. se t > 1 allora 1 + t < (1 + ) t 2/26?

3 3/26?

4 Dmostramo che se 0 < t < 1 allora 1 + t > (1 + ) t 4/26?

5 Dmostramo che se 0 < t < 1 allora 1 + t > (1 + ) t Rcordo la formula d Taylor con l resto d Lagrange: fssato > 0 esste 0 < ξ < tale che: f() = f(0) + f (0) f (ξ) 2. 4/26?

6 Dmostramo che se 0 < t < 1 allora 1 + t > (1 + ) t Rcordo la formula d Taylor con l resto d Lagrange: fssato > 0 esste 0 < ξ < tale che: f() = f(0) + f (0) f (ξ) 2. Nel nostro caso partcolare f() = (1 + ) t qund (1 + ) t = 1 + t t (t 1) (1 + ξ)t /26?

7 Dmostramo che se 0 < t < 1 allora 1 + t > (1 + ) t Rcordo la formula d Taylor con l resto d Lagrange: fssato > 0 esste 0 < ξ < tale che: f() = f(0) + f (0) f (ξ) 2. Nel nostro caso partcolare f() = (1 + ) t qund (1 + ) t = 1 + t t (t 1) (1 + ξ)t 2 2. Ora 0 < t < 1 = t (t 1) (1 + ξ) t 2 2 < 0, qund: (1 + ) t = 1 + t + t (t 1) (1 + ξ) t 2 2 < 1 + t 4/26?

8 Captalzzazone msta S usa l regme composto per l numero ntero d ann e l regme semplce per la parte rmanente. ( ) m(t, C) = C (1 + ) [t] 1 + (t [t]) [t] := max {n N : n t} è la parte ntera d t 5/26?

9 Eserczo. Il captale d ha dato, al tasso annuo = 0, 025 l montante d Determnare l tempo d captalzzazone n regme msto. 6/26?

10 Eserczo. Il captale d ha dato, al tasso annuo = 0, 025 l montante d Determnare l tempo d captalzzazone n regme msto. Questa volta è meno banale delle due precedent. 1. er trovare l numero ntero d ann rsolvamo come fossmo n regme composto = (1 + 0, 025) t t ln 1, 025 = ln t = 21, /26?

11 2. Saputo che l numero ntero d ann è 21 dalla formula d captalzzazone n regme msto, rcordato che l numero {t} = t [t] (parte frazonara d t) è compreso fra 0 e 1 abbamo: = 5 000(1, 025) 21 (1 + 0, 025 {t}) {t} = 0, /26?

12 2. Saputo che l numero ntero d ann è 21 dalla formula d captalzzazone n regme msto, rcordato che l numero {t} = t [t] (parte frazonara d t) è compreso fra 0 e 1 abbamo: = 5 000(1, 025) 21 (1 + 0, 025 {t}) {t} = 0, coè {t} = 360 0, = gorn coè 5 mes e 25 gorn Rsposta 21 ann, 5 mes, 25 gorn 8/26?

13 Lqudazone degl nteress n regme semplce Se s nveste un captale C al termne del prmo anno d mpego del captale è dsponble l montante C (1 + ) 9/26?

14 Lqudazone degl nteress n regme semplce Se s nveste un captale C al termne del prmo anno d mpego del captale è dsponble l montante C (1 + ) Al termne del secondo anno la captalzzazone darà l montante C (1 + ) 2 9/26?

15 Lqudazone degl nteress n regme semplce Se s nveste un captale C al termne del prmo anno d mpego del captale è dsponble l montante C (1 + ) Al termne del secondo anno la captalzzazone darà l montante C (1 + ) 2 In generale dopo n ann, ragonando nduttvamente, l montante è: C (1 + ) n. 9/26?

16 Captalzzazone frazonata: regme composto Confronto fra captalzzazon annual e captalzzazon n frazon d anno mensl bmestral trmestral quadrmestral semestral 10/26?

17 rspetto a 2 2 = (1 + ) 1/2 1 resa una frazone d anno, ad esempo l semestre, s mpone l uguaglanza fra montant alla fne del prmo anno 1 + = (1 + 2 ) 2. l ndce 2 c rcorda l numero de semestr n un anno. Se s vuole convertre n semestrale un tasso annuo basta rsolvere 11/26?

18 Analogamente l tasso quadrmestrale equvalente 3 è defnto da: 1 + = (1 + 3 ) 3, n quanto suddvdamo l anno n tre quadrmestr. tasso trmestrale: tasso bmestrale: tasso mensle: 1 + = (1 + 4 ) = (1 + 6 ) = ( ) 12 12/26?

19 In generale se s dvde l perodo d captalzzazone n p N sottoperod la relazone d equvalenza è: 1 + = (1 + p ) p, da cu: p = (1 + ) 1 p 1. 13/26?

20 Captalzzazone frazonata: regme semplce Confronto fra captalzzazon annual e captalzzazon n frazon d anno a) mensl b) bmestral c) trmestral d) quadrmestral e) semestral 1 + = 1 + j p p, p = 12, 6, 3, 4, 2 = j p = p 14/26?

21 Tass nomnal convertbl Tasso nomnale convertble p ( N) volte Nel regme composto anzché utlzzare l tasso p s utlzza l tasso provenente dal regme semplce j p Tale tasso produce captalzzazon maggor del tasso annuo equvalente, nfatt: (1 + j p ) p 1 > p j p =. 15/26?

22 Dsuguaglanza d Bernoull Sa x 1 un numero reale. Allora per ogn n N s ha che: (1 + x) n 1 + n x 16/26?

23 Sgnfcato fnanzaro d e Quærtur, s credtor alqus pecunam suam fœnor exponat, ea lege, ut snguls moments pars proportonals usuræ annuæ sort annumeretur; quantum ps fnto anno debeatur? Se un credtore versa denaro con maturazone d nteresse, nell potes n cu n ogn sngolo momento l nteresse maturato captalzz proporzonalmente al tasso annuo, quale sarà l rsultato alla fne dell anno? roblema posto da Gacomo Bernoull attorno al /26?

24 Supponamo d aver depostat 1 e che gl nteress sano captalzzat n volte all anno al tasso x. Dopo l prmo perodo d tempo l saldo è b 1 = ( 1 + x ). n 18/26?

25 Supponamo d aver depostat 1 e che gl nteress sano captalzzat n volte all anno al tasso x. Dopo l prmo perodo d tempo l saldo è b 1 = ( 1 + x ). n Dopo l secondo perodo b 2 = ( 1 + x ) b 1 = n ( 1 + x n) 2. 18/26?

26 Supponamo d aver depostat 1 e che gl nteress sano captalzzat n volte all anno al tasso x. Dopo l prmo perodo d tempo l saldo è b 1 = ( 1 + x ). n Dopo l secondo perodo b 2 = ( 1 + x ) b 1 = n ( 1 + x n) 2. Dopo n perod b n = ( 1 + x n) n. 18/26?

27 Captalzzazone stantanea sgnfca mandare n : lm b n = lm (1 + x n n n ) n 19/26?

28 Captalzzazone stantanea sgnfca mandare n : ma se scrvamo: lm b n = lm (1 + x n n n ) n ( 1 + x ) [ n ( = 1 + x ] n/x x n n) 19/26?

29 Captalzzazone stantanea sgnfca mandare n : ma se scrvamo: lm b n = lm (1 + x n n n ) n ( 1 + x ) [ n ( = 1 + x ] n/x x n n) vedamo che: lm b n = lm (1 + x ) n = e x n n n 19/26?

30 Forza stantanea d nteresse Consderamo la generca legge d captalzzazone n una varable m(t, C) = Cf(t). Calcolamo l nteresse per untà d captale fra gl stant t + h e t Cf(t + h) Cf(t) Cf(t) Il rapporto non dpende dal captale nzale C. = f(t + h) f(t). (1) f(t) 20/26?

31 Dvdendo la frazone n (1) per la lunghezza dell ntervallo d tempo h > 0 abbamo l nteresse per untà d captale medo nell ntervallo [t, t + h] : f(t + h) f(t) f(t) 1 h = f(t + h) f(t) h 1 f(t). (1b) 21/26?

32 Dvdendo la frazone n (1) per la lunghezza dell ntervallo d tempo h > 0 abbamo l nteresse per untà d captale medo nell ntervallo [t, t + h] : f(t + h) f(t) f(t) 1 h = f(t + h) f(t) h 1 f(t). (1b) assando al lmte per h 0 + n (1b) ottenamo l nteresse per untà d captale stantaneo al tempo t f(t + h) f(t) lm h 0 + h 1 f(t) = f (t) f(t) (1c) 21/26?

33 La funzone δ(t) vene chamata dervata logartmca della funzone f(t), n quanto: δ(t) = f (t) f(t) = d dt ln f(t). 22/26?

34 La funzone δ(t) vene chamata dervata logartmca della funzone f(t), n quanto: δ(t) = f (t) f(t) = d dt ln f(t). Dal punto d vsta fnanzaro, trattandos dell nteresse per untà d captale stantaneo, s parla d forza stantanea d nteresse 22/26?

35 La peculartà del regme composto è che la forza stantanea d nteresse è costante nel tempo, nfatt se f(t) = (1 + ) t è evdente che: δ(t) = f (t) f(t) = (1 + )t ln(1 + ) (1 + ) t = ln(1 + ). 23/26?

36 La peculartà del regme composto è che la forza stantanea d nteresse è costante nel tempo, nfatt se f(t) = (1 + ) t è evdente che: δ(t) = f (t) f(t) = (1 + )t ln(1 + ) (1 + ) t = ln(1 + ). Mentre nel regme semplce, f(t) = 1 + t s vede che: δ(t) = f (t) f(t) = 1 + t. 23/26?

37 Equazon dfferenzal del prmo ordne Una equazone dfferenzale del prmo ordne ha la forma y (t) = f (t, y(t)) (2) S generalzza l problema della rcerca della prmtva y (t) = f(t) 24/26?

38 Equazon dfferenzal del prmo ordne Una equazone dfferenzale del prmo ordne ha la forma y (t) = f (t, y(t)) (2) S generalzza l problema della rcerca della prmtva y (t) = f(t) Il legame con quanto stamo studando sta nel fatto che se conoscamo la forza d nteresse = δ(t) voglamo rsalre al fattore d captalzzazone rsolvendo l equazone dfferenzale f (t) = δ(t)f(t) 24/26?

39 Equazon separabl y (t) = a(t) b (y(t)) y(t 0 ) = y 0 (S) le funzon a(t) e b(y), defnte sugl ntervall I a e I b tal che t 0 I a e y 0 I b sono contnue. È necessaro supporre che b(y) non s annull per ogn y I b. 25/26?

40 Teorema La funzone y(t) defnta, mplctamente, dalla relazone: y y 0 dz b(z) = t è l unca soluzone dell equazone (S) x 0 a(s) ds (R) 26/26?