Dipartimento di Scienze Statistiche Università di Bologna. Matematica finanziaria aa lezione 18: 18 marzo 2014

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1 Dpartmento d Scenze Statstche Unverstà d Bologna Matematca fnanzara aa lezone 18: 18 marzo 2014 professor Danele Rtell 1/23?

2 Eserczo Il sgnor ancrazo Topazo decde d costture un captale d n quattro ann con versament annu al tasso = 0, , noltre decde che versament negl ann dspar sano ugual fra loro e par a 5/6 degl mport versat negl ann par. Calcolare l mporto de versament. 2/23?

3 Indcat con d e p versament degl ann dspar e par rspettvamente abbamo che d = 5 6 p Sccome fra due versament d epoca par (rspettvamente dspar) passano due ann, l tasso annuo va trasformato n bennale: 1 + b = (1 + ) 2 = (1 + 0, ) 2 = b = 0, /23?

4 Il montante all anno 4 de versament par e d quell dspar è p s 2 b, d s 2 b (1 + ) = 5 6 p s 2 b(1 + ) Così l montante complessvo n 4 è la somma de due montant par e dspar: p s 2 b ( (1 + ) ) = p = s 2 b ( ) A questo punto sosttuendo valor d b e d s trova p = 3 860, 62. 4/23?

5 Eserczo Un conto corrente accredta nteress usando una forza d nteresse δ(t) = t3 3 t. Se vengono depostat 100 euro al tempo t = 0 s calcolno gl nteress maturat fra la fne del prmo anno e la fne del secondo anno 5/23?

6 Eserczo Un conto corrente accredta nteress usando una forza d nteresse δ(t) = t3 3 t. Se vengono depostat 100 euro al tempo t = 0 s calcolno gl nteress maturat fra la fne del prmo anno e la fne del secondo anno f(t) = exp ( t 0 ) δ(s) ds 5/23?

7 Eserczo Un conto corrente accredta nteress usando una forza d nteresse δ(t) = t3 3 t. Se vengono depostat 100 euro al tempo t = 0 s calcolno gl nteress maturat fra la fne del prmo anno e la fne del secondo anno f(t) = exp ( t 0 ) δ(s) ds 3 = exp( 1300 t13/3 ) 5/23?

8 Eserczo Un conto corrente accredta nteress usando una forza d nteresse δ(t) = t3 3 t. Se vengono depostat 100 euro al tempo t = 0 s calcolno gl nteress maturat fra la fne del prmo anno e la fne del secondo anno ( t f(t) = exp 100 (f(2) f(1)) = ) 3 δ(s) ds = exp( 1300 t13/3 ) ( e ) 325 e 3/1300 = 4, /23?

9 Valutazone de progett fnanzar Tasso nterno d rendmento Consderamo una successone d fluss d cassa C 0, C 1,..., C n dsponbl a temp t 0 = 0, t 1 = 1,..., t n = n non dello stesso segno n1 n Fssato un tasso d nteresse dremo rendmento economco attualzzato (valore attuale netto) generato dal flusso la quanttà: n R() = C k (1 + ) k (rea) k=0 6/23?

10 Se esste tale che R( ) = 0 è detto tasso nterno d rendmento (tr o rr) assocato all operazone fnanzara. 7/23?

11 Se esste tale che R( ) = 0 è detto tasso nterno d rendmento (tr o rr) assocato all operazone fnanzara. Spesso, ntroducendo v = (1 + ) 1 scrveremo (rea) nella forma n C k v k = 0 (rea v ) k=0 7/23?

12 Se esste tale che R( ) = 0 è detto tasso nterno d rendmento (tr o rr) assocato all operazone fnanzara. Spesso, ntroducendo v = (1 + ) 1 scrveremo (rea) nella forma n C k v k = 0 (rea v ) k=0 Rsolta (rea v ) rspetto a v l tasso nterno è dato da = 1 v 1 7/23?

13 Buon ordnar del tesoro Ttol a cedola nulla (zero coupon bond) s acqusta al tempo t 0 = 0, mpegando l captale C 0, l drtto d ottenere l rmborso, al tempo t 1 = 1, del captale C 1 > C 0. 8/23?

14 Buon ordnar del tesoro Ttol a cedola nulla (zero coupon bond) s acqusta al tempo t 0 = 0, mpegando l captale C 0, l drtto d ottenere l rmborso, al tempo t 1 = 1, del captale C 1 > C 0. Il rea è: R() = C 0 + (1 + ) 1 C 1 8/23?

15 Buon ordnar del tesoro Ttol a cedola nulla (zero coupon bond) s acqusta al tempo t 0 = 0, mpegando l captale C 0, l drtto d ottenere l rmborso, al tempo t 1 = 1, del captale C 1 > C 0. Il rea è: R() = C 0 + (1 + ) 1 C 1 l tr s ottene rsolvendo l equazone: R() = 0 = = C 1 C 0 1 8/23?

16 Ad esempo se C 0 = 97, 45 e C 1 = 100, 00 = , 45 corrspondente al 2, % 1 = 0, /23?

17 In generale, se anzché avere resttuto l captale C 1 al tempo t = 1 avessmo l captale C t resttuto n t > 0 abbamo un rea R() = C 0 + (1 + ) t C t 10/23?

18 In generale, se anzché avere resttuto l captale C 1 al tempo t = 1 avessmo l captale C t resttuto n t > 0 abbamo un rea Il tasso nterno d rendmento è R() = C 0 + (1 + ) t C t = ( Ct C 0 ) 1 t 1 10/23?

19 Eserczo Un BOT del valore a scadenza 17 marzo 2015 d 100 d durata un anno è acqustato l 18 marzo 2014 a 97,95. Se l ttolo vene venduto l 31 dcembre 2014 quale è l suo valore? 11/23?

20 Eserczo Un BOT del valore a scadenza 17 marzo 2015 d 100 d durata un anno è acqustato l 18 marzo 2014 a 97,95. Se l ttolo vene venduto l 31 dcembre 2014 quale è l suo valore? Il rendmento è dato da = C 1 C /23?

21 Eserczo Un BOT del valore a scadenza 17 marzo 2015 d 100 d durata un anno è acqustato l 18 marzo 2014 a 97,95. Se l ttolo vene venduto l 31 dcembre 2014 quale è l suo valore? Il rendmento è dato da qund = 0, = C 1 C /23?

22 Eserczo Un BOT del valore a scadenza 17 marzo 2015 d 100 d durata un anno è acqustato l 18 marzo 2014 a 97,95. Se l ttolo vene venduto l 31 dcembre 2014 quale è l suo valore? Il rendmento è dato da qund = 0, = C 1 C 0 1 dal 18 marzo 2014 al 31 dcembre 2014 c sono g = 288 gorn, qund l valore cercato è 11/23?

23 Eserczo Un BOT del valore a scadenza 17 marzo 2015 d 100 d durata un anno è acqustato l 18 marzo 2014 a 97,95. Se l ttolo vene venduto l 31 dcembre 2014 quale è l suo valore? Il rendmento è dato da qund = 0, = C 1 C 0 1 dal 18 marzo 2014 al 31 dcembre 2014 c sono g = 288 gorn, qund l valore cercato è C g = C 0 (1 + ) g /23?

24 Eserczo Un BOT del valore a scadenza 17 marzo 2015 d 100 d durata un anno è acqustato l 18 marzo 2014 a 97,95. Se l ttolo vene venduto l 31 dcembre 2014 quale è l suo valore? Il rendmento è dato da qund = 0, = C 1 C 0 1 dal 18 marzo 2014 al 31 dcembre 2014 c sono g = 288 gorn, qund l valore cercato è C g = C 0 (1 + ) g 365 C 288 = 97, 95(1, ) /23?

25 Eserczo Un BOT del valore a scadenza 17 marzo 2015 d 100 d durata un anno è acqustato l 18 marzo 2014 a 97,95. Se l ttolo vene venduto l 31 dcembre 2014 quale è l suo valore? Il rendmento è dato da qund = 0, = C 1 C 0 1 dal 18 marzo 2014 al 31 dcembre 2014 c sono g = 288 gorn, qund l valore cercato è C g = C 0 (1 + ) g 365 C 288 = 97, 95(1, ) = 99, /23?

26 Osservazone Se avessmo usato l regme semplce C g = C 0 ( 1 + g 365 ) 12/23?

27 Osservazone Se avessmo usato l regme semplce ( C g = C g ) 365 avremmo ottenuto l valore pù alto ( C 288 = 97, , ) = 99, /23?

28 CTZ Il meccansmo è lo stesso de Bot, ma la durata che bennale. Al tempo t 0 = 0 s mpega l captale α 0 al tempo t 2 = 2 vene resttuto l captale α 2 > α 0. 13/23?

29 CTZ Il meccansmo è lo stesso de Bot, ma la durata che bennale. Al tempo t 0 = 0 s mpega l captale α 0 al tempo t 2 = 2 vene resttuto l captale α 2 > α 0. Il rea è R() = α 0 + (1 + ) 2 α 2 13/23?

30 CTZ Il meccansmo è lo stesso de Bot, ma la durata che bennale. Al tempo t 0 = 0 s mpega l captale α 0 al tempo t 2 = 2 vene resttuto l captale α 2 > α 0. Il rea è R() = α 0 + (1 + ) 2 α 2 l tr è: = α2 α /23?

31 Eserczo Un CTZ del valore, a scadenza 17 marzo 2016 d 100, d durata due ann è acqustato l 18 marzo 2014 a 96,45. Se l ttolo vene venduto l 30 gugno 2015 quale è l suo valore? 14/23?

32 Eserczo Un CTZ del valore, a scadenza 17 marzo 2016 d 100, d durata due ann è acqustato l 18 marzo 2014 a 96,45. Se l ttolo vene venduto l 30 gugno 2015 quale è l suo valore? Il rendmento è dato da = α2 α 0 1 = , /23?

33 Eserczo Un CTZ del valore, a scadenza 17 marzo 2016 d 100, d durata due ann è acqustato l 18 marzo 2014 a 96,45. Se l ttolo vene venduto l 30 gugno 2015 quale è l suo valore? Il rendmento è dato da qund = 0, = α2 α 0 1 = , /23?

34 Eserczo Un CTZ del valore, a scadenza 17 marzo 2016 d 100, d durata due ann è acqustato l 18 marzo 2014 a 96,45. Se l ttolo vene venduto l 30 gugno 2015 quale è l suo valore? Il rendmento è dato da qund = 0, = α2 α 0 1 = , 45 1 dal 18 marzo 2014 al 30 gugno 2015 c sono g = 469 gorn, qund l valore cercato è 14/23?

35 Eserczo Un CTZ del valore, a scadenza 17 marzo 2016 d 100, d durata due ann è acqustato l 18 marzo 2014 a 96,45. Se l ttolo vene venduto l 30 gugno 2015 quale è l suo valore? Il rendmento è dato da qund = 0, = α2 α 0 1 = , 45 1 dal 18 marzo 2014 al 30 gugno 2015 c sono g = 469 gorn, qund l valore cercato è C g = α 0 (1 + ) g /23?

36 Eserczo Un CTZ del valore, a scadenza 17 marzo 2016 d 100, d durata due ann è acqustato l 18 marzo 2014 a 96,45. Se l ttolo vene venduto l 30 gugno 2015 quale è l suo valore? Il rendmento è dato da qund = 0, = α2 α 0 1 = , 45 1 dal 18 marzo 2014 al 30 gugno 2015 c sono g = 469 gorn, qund l valore cercato è C g = α 0 (1 + ) g 365 C 469 = 96, 45(1, ) /23?

37 Eserczo Un CTZ del valore, a scadenza 17 marzo 2016 d 100, d durata due ann è acqustato l 18 marzo 2014 a 96,45. Se l ttolo vene venduto l 30 gugno 2015 quale è l suo valore? Il rendmento è dato da qund = 0, = α2 α 0 1 = , 45 1 dal 18 marzo 2014 al 30 gugno 2015 c sono g = 469 gorn, qund l valore cercato è C g = α 0 (1 + ) g 365 C 469 = 96, 45(1, ) = 98, /23?

38 Buon polennal del tesoro Ttol a cedola fssa. Al tempo t 0 = 0 s nveste l captale C 0. A temp t 1 = 1, t 2 = 2,..., t n 1 = n 1 vene staccata una cedola d mporto C a benefco dell nvesttore. Al tempo t n = n oltre alle cedola C al sottoscrttore vene rconsegnata la somma C 0 nvestta n t = 0. C 0 C C C C 0 C n1 n C 0, C,..., C, C + C 0 15/23?

39 Rea: R() = C 0 + n C (1 + ) k + C 0 (1 + ) n k=1 16/23?

40 Rea: n R() = C 0 + C (1 + ) k + C 0 (1 + ) n k=1 Semplfcando ( ) R() = a n C C0 16/23?

41 Rea: n R() = C 0 + C (1 + ) k + C 0 (1 + ) n k=1 Semplfcando ( ) R() = a n C C0 l tr dell operazone s ottene rsolvendo l equazone R() = 0, qund = C C 0 Il tr de btp è dunque dato dal rapporto fra cedola fssa e captale nvestto. 16/23?

42 Eserczo Un BT a dec ann con cedole annue al 4% venne emesso l prmo gennao Che valore ha, ogg 18 marzo 2014? 17/23?

43 Eserczo Un BT a dec ann con cedole annue al 4% venne emesso l prmo gennao Che valore ha, ogg 18 marzo 2014? Va calcolato a ogg l valore attuale delle 6 cedole non ancora scadute e l valore attuale del captale a rmborso 17/23?

44 Eserczo Un BT a dec ann con cedole annue al 4% venne emesso l prmo gennao Che valore ha, ogg 18 marzo 2014? Va calcolato a ogg l valore attuale delle 6 cedole non ancora scadute e l valore attuale del captale a rmborso ( 4a6 0, (1 + 0, 04) 6) (1 + 0, 04) /23?

45 Eserczo Un BT a dec ann con cedole annue al 4% venne emesso l prmo gennao Che valore ha, ogg 18 marzo 2014? Va calcolato a ogg l valore attuale delle 6 cedole non ancora scadute e l valore attuale del captale a rmborso ( 4a6 0, (1 + 0, 04) 6) (1 + 0, 04) = 100 (1 + 0, 04) /23?

46 Eserczo Un BT a dec ann con cedole annue al 4% venne emesso l prmo gennao Che valore ha, ogg 18 marzo 2014? Va calcolato a ogg l valore attuale delle 6 cedole non ancora scadute e l valore attuale del captale a rmborso ( 4a6 0, (1 + 0, 04) 6) (1 + 0, 04) = 100 (1 + 0, 04) In conclusone l valore del BT al 18 marzo è 100, /23?

47 Osservazone ù c s avvcna al momento n cu sarà pagata la cedola pù aumenta l valore del BT. Ad esempo al 20 dcembre 2014 l valore sarà 100 (1 + 0, 04) = 103, /23?

48 Tan e Taeg Rappresentazone matematca d queston normatve. Nella pratca, quando s desder acqustare un bene, l vendtore del bene propone l acqusto ratezzato. Le rate s calcoleranno sulla base della captalzzazone composta, una volta stablto un tu (calcolato su base annua) che qu va sotto l nome d tan (tasso annuo nomnale). S usa l rmborso a rate costant. 19/23?

49 Questo genere d operazon è soggetto a cost attuatv, esecutv e fscal a carco del debtore. C può essere un costo d attvazone, che può essere corrsposto all atto del pagamento della prma rata, o che rduce l mporto fnanzato al tempo zero. C possono essere anche altr cost collegat ad ogn sngola operazone. Il taeg (tasso anno effettvo globale) è l tr dell operazone 20/23?

50 Esempo Un prestto d vene rmborsato n regme composto n un anno con rate semestral costant al tasso annuo nomnale = 3, 5%. All atto del pagamento della prma rata vene addebtata, oltre alla rata, la somma d 3, mentre all atto del pagamento della seconda rata vene addebtata una commssone d 2. S chede d determnare l taeg 21/23?

51 Conversone del tasso (1 + 2 ) 2 = 1 + 0, = 0, /23?

52 Conversone del tasso Rata nomnale α: (1 + 2 ) 2 = 1 + 0, = 0, α = α 2 2 = , = 513, 049 = 513, 05 22/23?

53 Conversone del tasso Rata nomnale α: (1 + 2 ) 2 = 1 + 0, = 0, α = α 2 2 = , = 513, 049 = 513, 05 Il pagamento reale prevede la rata C 1 = α+3 = 516, 05 dopo se mes e la rata C 2 = α + 2 = 515, 05 dopo dodc mes. Il tasso semestrale x 2 dell operazone sarà ottenuto mponendo che l valore attuale delle rate C 1 e C 2 uguagl la somma prestata C 0 = 1 000: C 0 = C 1 (1 + x 2 ) 1 + C 2 (1 + x 2 ) 2 22/23?

54 Rsolvendo s trova x 2 = 0, Convertendo n tasso annuale ottenamo l taeg x: x = (1 + 0, ) 2 1 = 0, , che n termn percentual è par a x = 4, 17666%. 23/23?