Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica Finanziaria aa lezione 5: 28 febbraio 2012

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1 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca Fnanzara aa lezone 5: 28 febbrao 2012 professor Danele Rtell 1/20?

2 Costtuzone d un captale S vuole costture medante n versament costant d mporto R a temp 0, 1,, n 1 un captale K dsponble n n Fgura 1: costtuzone d un captale con versament antcpat 2/20?

3 Il montante (regme composto) n n de versament è: n R (1 + ) n (s 1) s=1 3/20?

4 Il montante (regme composto) n n de versament è: n R (1 + ) n (s 1) s=1 e qund n s=1 R (1 + ) n (s 1) = R n (1 + ) n s+1 s=1 3/20?

5 e allora n n R (1 + ) n (s 1) = R s=1 = R(1 + ) n (1 + ) n s s=1 s=1 (1 + ) n s+1 4/20?

6 e allora n n R (1 + ) n (s 1) = R (1 + ) n s+1 s=1 = R(1 + ) s=1 n (1 + ) n s = R(1 + ) s n s=1 5/20?

7 La rata R che va a costture K deve qund soddsfare la relazone: R(1 + ) s n = K 6/20?

8 La rata R che va a costture K deve qund soddsfare la relazone: R(1 + ) s n = K e qund R = K (1 + ) s n 6/20?

9 Costtuzone d un captale Regme semplce Il montante n n de versament è: n ( ) R 1 + (n s + 1) s=1 = R n ( 1 + n ) 7/20?

10 Costtuzone d un captale Regme semplce Il montante n n de versament è: n ( ) R 1 + (n s + 1) s=1 = R n ( 1 + n s usa la formula per la somma de prm n numer natural n n(n + 1) s = n = 2 s=1 ) 7/20?

11 La rata R che va a costture K deve qund soddsfare la relazone: ( K = R n 1 + n + 1 ) 2 8/20?

12 La rata R che va a costture K deve qund soddsfare la relazone: ( K = R n 1 + n + 1 ) 2 e qund R = K ( n 1 + n ) 8/20?

13 Usamo la formula d Taylor arrestata al secondo ordne con K = 1: nel regme composto R = 1 n ( n ) + ( n 2 + 6n + 5 ) 2 12n 9/20?

14 Usamo la formula d Taylor arrestata al secondo ordne con K = 1: nel regme composto R = 1 n ( n ) + ( n 2 + 6n + 5 ) 2 12n e nel regme semplce R = 1 n ( n ) + ( n 2 + 2n + 1 ) 2 4n 9/20?

15 Costture al 3% annuo l captale d d medante 10 versament annual n regme composto e n regme semplce. 10/20?

16 Costture al 3% annuo l captale d d medante 10 versament annual n regme composto e n regme semplce. Regme composto R = (1 + 0, 03) 10+1 (1 + 0, 03) 0, 03 = 1 693, /20?

17 Costture al 3% annuo l captale d d medante 10 versament annual n regme composto e n regme semplce. Regme composto R = (1 + 0, 03) 10+1 = 1 693, 7962 (1 + 0, 03) 0, 03 Regme semplce R = ( ) = 1 716, , 03 10/20?

18 S vuole costture l captale K = con versament mensl antcpat d mporto R = 175. Se l tasso d costtuzone è del 3, 8% annuo quant sono versament da fare? 11/20?

19 S vuole costture l captale K = con versament mensl antcpat d mporto R = 175. Se l tasso d costtuzone è del 3, 8% annuo quant sono versament da fare? La rata R che va a costture R deve soddsfare la relazone: R = K (1 + ) s n = K (1 + ) n+1 (1 + ) (1) 11/20?

20 S vuole costture l captale K = con versament mensl antcpat d mporto R = 175. Se l tasso d costtuzone è del 3, 8% annuo quant sono versament da fare? La rata R che va a costture R deve soddsfare la relazone: qund R = K (1 + ) s n = n = ln K (1 + ) n+1 (1 + ) ( 1 + ( + 1) ln(1 + ) ) K R (1) 11/20?

21 S vuole costture l captale K = con versament mensl antcpat d mporto R = 175. Se l tasso d costtuzone è del 3, 8% annuo quant sono versament da fare? La rata R che va a costture R deve soddsfare la relazone: K K R = = (1 + ) s n (1 + ) n+1 (1 + ) qund n = ln ( 1 + ( + 1) ln(1 + ) 11/20? ) K Nel caso d spece R = 175, K = , 12 = (1, 038) 1/12 1 qund n = 97, 6648 R (1)

22 . attendere, dopo l versamento 97 = [n] che l montante raggunga la somma voluta 12/20?

23 . attendere, dopo l versamento 97 = [n] che l montante raggunga la somma voluta. aumentare la rata n modo che bastno 97 = [n] versament per ottenere l captale desderato 12/20?

24 . attendere, dopo l versamento 97 = [n] che l montante raggunga la somma voluta. aumentare la rata n modo che bastno 97 = [n] versament per ottenere l captale desderato. dmnure la rata n modo che bastno 98 = [n] + 1 versament per ottenere l captale desderato 12/20?

25 . attendere, dopo l versamento 97 = [n] che l montante raggunga la somma voluta. aumentare la rata n modo che bastno 97 = [n] versament per ottenere l captale desderato. dmnure la rata n modo che bastno 98 = [n] + 1 versament per ottenere l captale desderato v. fare 97 = [n] versament dell mporto R = 175 prefssato e un versamento complementare S n manera da ottenere l captale desderato a) s può versare al tempo 97 = [n] contestualmente all ultma rata d mporto, prefssato 12/20?

26 . attendere, dopo l versamento 97 = [n] che l montante raggunga la somma voluta. aumentare la rata n modo che bastno 97 = [n] versament per ottenere l captale desderato. dmnure la rata n modo che bastno 98 = [n] + 1 versament per ottenere l captale desderato v. fare 97 = [n] versament dell mporto R = 175 prefssato e un versamento complementare S n manera da ottenere l captale desderato a) s può versare al tempo 97 = [n] contestualmente all ultma rata d mporto, prefssato b) s può versare al tempo 98 = [n] + 1 dopo l ultma rata d mporto prefssato 12/20?

27 Dunque sono possbl dvers tp d accomodament vedamol n dettaglo.. Il montante n 98 de 97 versament antcpat è 175 ( ) s = , /20?

28 Dunque sono possbl dvers tp d accomodament vedamol n dettaglo.. Il montante n 98 de 97 versament antcpat è 175 ( ) s = , 309 qund l tempo d attesa τ, calcolato a partre dalla valuta 98 è dato n mes da: , 309 ( ) τ = = τ = 2, n tal caso s devono attendere 2 mes e 16 gorn. 13/20?

29 . Se s scegle d aumentare l mporto e fare 97 versament s applca la relazone standard con n = 97: R 1 = = 176, 391. ( ) s /20?

30 . Se s scegle d aumentare l mporto e fare 97 versament s applca la relazone standard con n = 97: R 1 = = 176, 391. ( ) s Se s scegle d dmnure l mporto e fare 98 versament s applca la relazone standard con n = 98 n questo modo l captale è dsponble al tempo 99: 14/20?

31 . Se s scegle d aumentare l mporto e fare 97 versament s applca la relazone standard con n = 97: R 1 = = 176, 391. ( ) s Se s scegle d dmnure l mporto e fare 98 versament s applca la relazone standard con n = 98 n questo modo l captale è dsponble al tempo 99: R 2 = ( ) s = 174, /20?

32 v.a) Se s vuole ntegrare l versamento n 97 n modo da costture l captale n 98 s deve tener presente che l montante n 97 de 97 versament d R = 175 è M = R s /20?

33 v.a) Se s vuole ntegrare l versamento n 97 n modo da costture l captale n 98 s deve tener presente che l montante n 97 de 97 versament d R = 175 è M = R s Allora l ntegrazone X, costtuente l captale n 98, è ndvduata dalla relazone: (M + X) ( ) = K. 15/20?

34 v.a) Se s vuole ntegrare l versamento n 97 n modo da costture l captale n 98 s deve tener presente che l montante n 97 de 97 versament d R = 175 è M = R s Allora l ntegrazone X, costtuente l captale n 98, è ndvduata dalla relazone: (M + X) ( ) = K. rsolvendo s trova X = 157, /20?

35 Se s vuole versare l 98 n modo da costture l captale n 99 s deve calcolare l montante n 98 de 97 versament costant, aggungere l ntegrazone e captalzzare: 16/20?

36 Se s vuole versare l 98 n modo da costture l captale n 99 s deve calcolare l montante n 98 de 97 versament costant, aggungere l ntegrazone e captalzzare: ( ) ( ) s Y ( ) = = Y = 95, /20?

37 I smbol fnanzar: a n Fssamo l numero n d rate e studamo la funzone 0 < f() := a n. 17/20?

38 I smbol fnanzar: a n Fssamo l numero n d rate e studamo la funzone 0 < f() := a n. comportamento d f() per 0 + : 1 (1 + ) n lm f() = lm /20?

39 I smbol fnanzar: a n Fssamo l numero n d rate e studamo la funzone 0 < f() := a n. comportamento d f() per 0 + : 1 (1 + ) n lm f() = lm Applchamo l teorema d De l Hosptal: n (1 + ) (n+1) lm a n = lm = n se 0 le n rate non vengono scontate, dunque l loro valore attuale concde esattamente con la loro somma algebrca. 17/20?

40 f() è postva, nfatt se scrvamo: f() = n (1 + ) k, k=1 18/20?

41 f() è postva, nfatt se scrvamo: f() = n k=1 (1 + ) k, vedamo che f() è somma d n addend postv. 18/20?

42 f() è postva, nfatt se scrvamo: f() = n k=1 (1 + ) k, vedamo che f() è somma d n addend postv. f () = n k=1 k (1 + ) (k+1) ertanto, la funzone f() è strettamente decrescente. 18/20?

43 f() è postva, nfatt se scrvamo: n f() = (1 + ) k, k=1 vedamo che f() è somma d n addend postv. n f () = k (1 + ) (k+1) k=1 ertanto, la funzone f() è strettamente decrescente. convessa n quanto: n f () = k(k + 1) (1 + ) (k+2) k=1 Infne f() è 18/20?

44 Infne abbamo che: lm f() = 1 1 = 1 = 0. 19/20?

45 Infne abbamo che: lm f() = 1 1 = 1 = 0. S not, cosa d nteresse fondamentale, che per ogn numero reale postvo α < n l equazone: f() = a n = α ammette una e una sola radce postva. 19/20?

46 Fgura 2: a n 20/20?