Dipartimento di Statistica Università di Bologna. Matematica finanziaria aa lezione 17: 16 maggio 2013

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1 Dpartmento d Statstca Unverstà d Bologna Matematca fnanzara aa lezone 17: 16 maggo 2013 professor Danele Rtell 1/22?

2 Eserczo Un Btp trennale, d valore nomnale C n = 100 ha la cedola annua del 5%, prezzo d sottoscrzone C a = 101 e valore d rmborso C r = 99. Quale è l tasso effettvo dell nvestmento? 2/22?

3 Eserczo Un Btp trennale, d valore nomnale C n = 100 ha la cedola annua del 5%, prezzo d sottoscrzone C a = 101 e valore d rmborso C r = 99. Quale è l tasso effettvo dell nvestmento? Uguaglando a zero l valore attuale netto trovamo la condzone, ndcato con C l valore della cedola C a = Ca 3 + C r (1 + ) 3 2/22?

4 Eserczo Un Btp trennale, d valore nomnale C n = 100 ha la cedola annua del 5%, prezzo d sottoscrzone C a = 101 e valore d rmborso C r = 99. Quale è l tasso effettvo dell nvestmento? Uguaglando a zero l valore attuale netto trovamo la condzone, ndcato con C l valore della cedola Usando v = (1 + ) 1 ottenamo C a = Ca 3 + C r (1 + ) 3 C a = C v v4 1 v + C rv 3 2/22?

5 Rcordando l prodotto notevole a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) possamo semplfcare l espressone del van n C a = Cv(1 + v + v 2 ) + C r v 3 3/22?

6 Rcordando l prodotto notevole a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) possamo semplfcare l espressone del van n C a = Cv(1 + v + v 2 ) + C r v 3 Qund la funzone f(v) cu dobbamo applcare l metodo d Newton per trovare l tasso d rendmento del BT è f(v) = (C + C r )v 3 + Cv 2 + Cv C a 3/22?

7 Rcordando l prodotto notevole a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) possamo semplfcare l espressone del van n C a = Cv(1 + v + v 2 ) + C r v 3 Qund la funzone f(v) cu dobbamo applcare l metodo d Newton per trovare l tasso d rendmento del BT è d conseguenza f(v) = (C + C r )v 3 + Cv 2 + Cv C a F (v) = v f(v) f (v) = v (C + C r)v 3 + Cv 2 + Cv C a 3(C + C r )v 2 + 2Cv + C 3/22?

8 Nel caso partcolare n esame C r = 99, C a = 101, C = 5 ottenamo F (v) = v 104v3 + 5v 2 + 5v v v + 5 = 208v3 + 5v v v + 5 4/22?

9 Nel caso partcolare n esame C r = 99, C a = 101, C = 5 ottenamo F (v) = v 104v3 + 5v 2 + 5v v v + 5 = 208v3 + 5v v v + 5 Va notato che se non avessmo semplfcato con l prodotto notevole avremmo ottenuto la funzone d rea f(v) = (C r + C) v 4 C r v 3 (C a + C) v + C a che s annulla n v = 1 che non ha nteresse fnanzaro e che comunque conduce alla funzone d Netwon F (v) = v (C r + C) v 4 C r v 3 (C a + C) v + C a 4 (C r + C) v 3 3C r v 2 (C + C a ) 4/22?

10 Con valor del nostro problema F (v) = v 104v4 99v 3 106v v 3 297v = 312v4 198v v 3 297v /22?

11 Le terazon sono partendo da v 0 = 0, che provene dal tasso nomnale del 4,5% v 1 = F (v 0 ) = 0, ; v 2 = F (v 1 ) = 0, ; v 3 = F (v 2 ) = 0, /22?

12 Le terazon sono partendo da v 0 = 0, che provene dal tasso nomnale del 4,5% v 1 = F (v 0 ) = 0, ; v 2 = F (v 1 ) = 0, ; v 3 = F (v 2 ) = 0, La stablzzazone delle cfre decmal c dce che la rcerca, se c s accontenta d se decmal, può arrestars. Rtornando a s trova: = 1 v 3 v 3 = 0, = 4, 31815%. 6/22?

13 v Fgura 1: van semplfcato 7/22?

14 v Fgura 2: van non semplfcato 8/22?

15 v 5 Fgura 3: grafco d nseme 9/22?

16 In[1]:= Out[1]= In[2]:= Out[2]= In[3]:= Out[3]= Fgura 4: Uso d Mathematca R 10/22?

17 Estensone a un numero qualsas d cedole Se le cedole sono n l van è C a = Ca n + C r (1 + ) n 11/22?

18 Estensone a un numero qualsas d cedole Se le cedole sono n l van è C a = Ca n + C r (1 + ) n o con v = (1 + ) 1 C a = C v vn+1 1 v + C r v n 11/22?

19 Estensone a un numero qualsas d cedole Se le cedole sono n l van è o con v = (1 + ) 1 C a = Ca n + C r (1 + ) n C a = C v vn+1 1 v + C r v n La frazone s semplfca per ogn scelta d n 11/22?

20 n = 4 = v vn+1 1 v = v 4 + v 3 + v 2 + v 12/22?

21 n = 4 = v vn+1 1 v n = 5 = v vn+1 1 v = v 4 + v 3 + v 2 + v = v 5 + v 4 + v 3 + v 2 + v 12/22?

22 n = 4 = v vn+1 1 v = v 4 + v 3 + v 2 + v n = 5 = v vn+1 = v 5 + v 4 + v 3 + v 2 + v 1 v Abbamo qund l equazone del van (semplfcato) nel caso del BT con n cedole C a = Cv + Cv Cv n 1 + (C + C r )v n 12/22?

23 Un BT trennale d valore nomnale 100 rendmento del 4,5% è rmborsato a scadenza con 99,15. Tasso effettvo: a) 4,22832% b) 4,60832% c) 4,00832% d) 3,89832% 13/22?

24 Un BT trennale d valore nomnale 100 rendmento del 4,5% è rmborsato a scadenza con 99,15. Tasso effettvo: a) 4,22832% b) 4,60832% c) 4,00832% d) 3,89832% Uso la relazone C a + Cv + Cv 2 + (C + C r )v 3 = 0 con C a = 100, C r = 99, 15, C = 4, 5, n = 3 con = 0, trovando l valore v = 0, che porta al van d 0, /22?

25 Un BT trennale d valore nomnale 100 rendmento del 4,5% è rmborsato a scadenza con 99,15. Tasso effettvo: a) 4,22832% b) 4,60832% c) 4,00832% d) 3,89832% Uso la relazone C a + Cv + Cv 2 + (C + C r )v 3 = 0 con C a = 100, C r = 99, 15, C = 4, 5, n = 3 con = 0, trovando l valore v = 0, che porta al van d 0, Allora passo al valore pù alto = 0, per cu v = 0, che porta al valore d van 0, che va bene 13/22?

26 Grafco del van n funzone d /22?

27 CCT/CCTEu S tratta d un ttolo a cedola varable: s ha l esborso d un captale nzale C a seguto da n cedole, che s solto sono ndczzate al rendmento de BOT, e dalla resttuzone del captale C r contestualmente all ultma cedola. L esborso nzale ed l rmborso fnale per svarat motv possono non essere concdent. Sono ttol d credto al portatore o all ordne, con rendmento a tasso varable. Gl nteress sono corrspost tramte cedole semestral postcpate (v sono stat cas, n passato, d emsson con cedola annuale), l cu rendmento è par al rendmento de BOT semestral nell ultma asta che precede l godmento della cedola, aumentato d uno spread che dal 1996 è stato fssato a 15 punt base (0,15%). Il rmborso avvene alla par n un unca soluzone alla scadenza. 15/22?

28 Nel 2010 CCT sono stat modfcat e sosttut dal CCTEu. Il ttolo è sempre a tasso varable ma è ndczzato al tasso d nteresse nterbancaro Eurbor 6 mes. La prma emssone d questa tpologa d ttol era d 5 ann, successvamente d 7. Il mnstero del Tesoro non esclude la possbltà d cambament al rguardo, n base alle preferenze espresse dal mercato. C a C 1 C 2 C n 1 CnC r n1 n 16/22?

29 Nel 2010 CCT sono stat modfcat e sosttut dal CCTEu. Il ttolo è sempre a tasso varable ma è ndczzato al tasso d nteresse nterbancaro Eurbor 6 mes. La prma emssone d questa tpologa d ttol era d 5 ann, successvamente d 7. Il mnstero del Tesoro non esclude la possbltà d cambament al rguardo, n base alle preferenze espresse dal mercato. C a C 1 C 2 C n 1 CnC r n1 n R() = C a + n C s (1 + ) s + C r (1 + ) n s=1 16/22?

30 Nel caso de CCT non c sono semplfcazon nel calcolo: occorre rsolvere la corrspondente equazone algebrca d grado n (= numero delle cedole) n cu compaono tutt termn. Tale equazone n termn d v = (1 + ) 1 s scrve C a = C 1 v + C 2 v C n 1 v n 1 + (C n + C r )v n 17/22?

31 Consderazon teorche La rcerca del tr, è, n generale, un problema mal posto, nel senso che non è dato sapere, a pror, se l rea s annull n corrspondenza d un tasso fnanzaramente sgnfcatvo. Il problema pù semplce Un nvestmento C 0 è effettuato al tempo zero, po seguono n entrate, C 1,..., C n a temp, t 1 = 1,..., t n = n. 18/22?

32 Teorema. Sa assegnato l flusso d cassa C 0, C 1,..., C n. Supposto che sa: (a) C 0 < 0, C 1,..., C n 0 (b) C C n > C 0 allora esste un solo tale che R( ) = 0. 19/22?

33 Dmostrazone. onamo v = (1 + ) 1. Consderamo la funzone: f(v) = n k=0 C k v k. ( ) 20/22?

34 Dmostrazone. onamo v = (1 + ) 1. Consderamo la funzone: f(v) = n k=0 C k v k. ( ) er le potes (a) e (b) la funzone ntrodotta n ( ) ammette una radce nell ntervallo aperto ]0, 1[: f(0) = C 0 < 0, f(1) = n C k > 0. k=0 20/22?

35 Dmostrazone. onamo v = (1 + ) 1. Consderamo la funzone: n f(v) = C k v k. ( ) k=0 er le potes (a) e (b) la funzone ntrodotta n ( ) ammette una radce nell ntervallo aperto ]0, 1[: n f(0) = C 0 < 0, f(1) = C k > 0. Resta da far vedere l unctà d tale radce. La dervata f (v) è strettamente postva: n f (v) = k C k v k 1 k=1 20/22? k=0

36 Crtero d Nostrøm A Suffcent Condton for a Unque Internal Rate of Return The Journal of Fnancal and Quanttatve Analyss, Vol. 7 No. 3 (1972) /22?

37 Teorema. Dato l flusso d cassa a 0, a 1,..., a n consderamo l flusso cumulato non attualzzato all stante 0 t n A t = t k=0 a k Dremo flusso d cassa cumulatvo l flusso A 0, A 1,..., A n. Allora l flusso a 0, a 1,..., a n ha unco tr se l flusso d cassa cumulatvo camba segno una sola volta e A n 0. 22/22?