Analisi Class Successioni Lezione 6 2 ottobre 2014

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1 CLASS Bologna Anals Class Successon Lezone 6 2 ottobre 2014 professor Danele Rtell danele.rtell@unbo.t 1/17?

2 Successon Una successone d numer real è una funzone a valor real l cu domno è l nseme N de numer natural 2/17?

3 Successon Una successone d numer real è una funzone a valor real l cu domno è l nseme N de numer natural a : N R 2/17?

4 Successon Una successone d numer real è una funzone a valor real l cu domno è l nseme N de numer natural a : N R S usa descrvere questa partcolare funzone con la notazone (a n ) n N o, semplcemente (a n ) 2/17?

5 Successon Una successone d numer real è una funzone a valor real l cu domno è l nseme N de numer natural a : N R S usa descrvere questa partcolare funzone con la notazone (a n ) n N o, semplcemente (a n ) Il termne n esmo della successone è l mmagne dell ntero n N. 2/17?

6 Successon Una successone d numer real è una funzone a valor real l cu domno è l nseme N de numer natural a : N R S usa descrvere questa partcolare funzone con la notazone (a n ) n N o, semplcemente (a n ) Il termne n esmo della successone è l mmagne dell ntero n N. Invece d rappresentare tale termne medante l usuale notazone a(n) s scrve a n 2/17?

7 Successon Una successone d numer real è una funzone a valor real l cu domno è l nseme N de numer natural a : N R S usa descrvere questa partcolare funzone con la notazone (a n ) n N o, semplcemente (a n ) Il termne n esmo della successone è l mmagne dell ntero n N. Invece d rappresentare tale termne medante l usuale notazone a(n) s scrve a n Dremo che a n è l termne n-esmo della successone (a n ) 2/17?

8 Termnologa Una successone (a n ) è detta stazonara (o costante) se esste k R tale che a n = k per ogn n N. 3/17?

9 Termnologa Una successone (a n ) è detta stazonara (o costante) se esste k R tale che a n = k per ogn n N. Una successone (a n ) è detta crescente se, per ogn n N s ha che a n a n+1. 3/17?

10 Termnologa Una successone (a n ) è detta stazonara (o costante) se esste k R tale che a n = k per ogn n N. Una successone (a n ) è detta crescente se, per ogn n N s ha che a n a n+1. Una successone (a n ) è detta decrescente se, per ogn n N s ha che a n a n+1. 3/17?

11 Termnologa Una successone (a n ) è detta stazonara (o costante) se esste k R tale che a n = k per ogn n N. Una successone (a n ) è detta crescente se, per ogn n N s ha che a n a n+1. Una successone (a n ) è detta decrescente se, per ogn n N s ha che a n a n+1. Una successone (a n ) è detta crescente strettamente se, per ogn n N s ha che a n < a n+1. 3/17?

12 Termnologa Una successone (a n ) è detta decrescente strettamente se, per ogn n N s ha che a n > a n+1. 4/17?

13 Termnologa Una successone (a n ) è detta decrescente strettamente se, per ogn n N s ha che a n > a n+1. Una successone (a n ) è detta lmtata nferormente se esste un reale α tale che, per ogn n N s ha che α a n. 4/17?

14 Termnologa Una successone (a n ) è detta decrescente strettamente se, per ogn n N s ha che a n > a n+1. Una successone (a n ) è detta lmtata nferormente se esste un reale α tale che, per ogn n N s ha che α a n. Una successone (a n ) è detta lmtata superormente se esste un reale ω tale che, per ogn n N s ha che a n ω. 4/17?

15 Termnologa Una successone (a n ) è detta decrescente strettamente se, per ogn n N s ha che a n > a n+1. Una successone (a n ) è detta lmtata nferormente se esste un reale α tale che, per ogn n N s ha che α a n. Una successone (a n ) è detta lmtata superormente se esste un reale ω tale che, per ogn n N s ha che a n ω. Una successone (a n ) è detta lmtata se essa è, sa lmtata nferormente, sa lmtata superormente. 4/17?

16 Esemp a n = 4 per ogn n N è una successone stazonara; 5/17?

17 Esemp a n = 4 per ogn n N è una successone stazonara; a n = n è una successone crescente strettamente e lmtata; n + 1 5/17?

18 Esemp a n = 4 per ogn n N è una successone stazonara; a n = n è una successone crescente strettamente e lmtata; n + 1 a n = 1 n è una successone decrescente strettamente e lmtata; 5/17?

19 Esemp a n = 4 per ogn n N è una successone stazonara; a n = n è una successone crescente strettamente e lmtata; n + 1 a n = 1 n è una successone decrescente strettamente e lmtata; a n = n 2 è una successone crescente strettamente e lmtata nferormente; 5/17?

20 Esemp a n = 4 per ogn n N è una successone stazonara; a n = n è una successone crescente strettamente e lmtata; n + 1 a n = 1 n è una successone decrescente strettamente e lmtata; a n = n 2 è una successone crescente strettamente e lmtata nferormente; a n = cos n è una successone lmtata; 5/17?

21 Esemp a n = 4 per ogn n N è una successone stazonara; a n = n è una successone crescente strettamente e lmtata; n + 1 a n = 1 n è una successone decrescente strettamente e lmtata; a n = n 2 è una successone crescente strettamente e lmtata nferormente; a n = cos n è una successone lmtata; a n = ( 1) n n è una successone non lmtata. 5/17?

22 Defnzone Dcamo che (a n ) converge a a per n, se per ogn ε > 0 esste un ndce n ε N tale che per ogn n N, n n ε s ha: a n a < ε (L) 6/17?

23 Fgure 1: a n = n n + 1 7/17?

24 Teorema Se (a n ) è una successone convergente, l suo lmte è unco. 8/17?

25 Teorema Se (a n ) è una successone convergente, l suo lmte è unco. Dmostrazone. Supponamo, per assurdo, che esstano a, b con a b tal che a n a e a n b. Allora s ha, usando la dsuguaglanza trangolare a b = a a n + a n b a a n + a n b ( ) 8/17?

26 Teorema Se (a n ) è una successone convergente, l suo lmte è unco. Dmostrazone. Supponamo, per assurdo, che esstano a, b con a b tal che a n a e a n b. Allora s ha, usando la dsuguaglanza trangolare a b = a a n + a n b a a n + a n b ( ) a b (a n ) converge, dunque preso ε = per defnzone esste n ε N 2 tale per cu per ogn n N, n > n ε s ha a n a < a b, a n b < 2 a b 2 8/17?

27 tornando ad ( ) trovamo: a b < che è una contraddzone. a b 2 + a b 2 = a b 9/17?

28 Teorema Se la successone (a n ) converge a a allora la successone ( a n ) converge a a. 10/17?

29 Teorema Se la successone (a n ) converge a a allora la successone ( a n ) converge a a. Teorema Ogn successone convergente è lmtata. 10/17?

30 Teorema della permanenza del segno Se (a n ) è una successone convergente con lmte a > 0 allora esste un ndce n 0 N tale che per ogn n N, n > n 0 resce a n > 0. 11/17?

31 Teorema della permanenza del segno Se (a n ) è una successone convergente con lmte a > 0 allora esste un ndce n 0 N tale che per ogn n N, n > n 0 resce a n > 0. er potes a n a > 0. reso ε = a/2 esste n 0 N tale che per ogn n N, n > n 0 a n a < a 2 a a 2 < a n < a + a 2 a 2 < a n < 3a 2 Ma essendo per potes a > 0 la tes è dmostrata. 11/17?

32 Successon nfntesme Se la successone convergente (a n ) ha lmte zero, dremo che la successone è nfntesma. Dalla defnzone d lmte segue che la successone (a n ) è nfntesma se e solo se per ogn ε > 0 esste n ε N tale che se n N, n > n ε rsulta a n < ε. Inoltre (a n ) è nfntesma se e solo se ( a n ) è nfntesma. 12/17?

33 Osservazone Se (a n ) è una successone nfntesma e non negatva allora per ogn α > 0 la successone (a α n) è nfntesma. 13/17?

34 Defnzone Sano (a n ), (b n ) due successon. Dremo che (b n ) domna (a n ) se esste n 0 N tale che per ogn n N, n > n 0 s ha a n b n 14/17?

35 Defnzone Sano (a n ), (b n ) due successon. Dremo che (b n ) domna (a n ) se esste n 0 N tale che per ogn n N, n > n 0 s ha a n b n Teorema Se (b n ) domna (a n ) e (b n ) è nfntesma, anche (a n ) è nfntesma. 14/17?

36 Defnzone Sano (a n ), (b n ) due successon. Dremo che (b n ) domna (a n ) se esste n 0 N tale che per ogn n N, n > n 0 s ha a n b n Teorema Se (b n ) domna (a n ) e (b n ) è nfntesma, anche (a n ) è nfntesma. Ad esempo la successone a n = n è domnata da b 2 n = n. 14/17?

37 Teorema Sano (a n ) e (b n ) due successon nfntesme allora () (a n + b n ) è nfntesma () se λ R allora (λa n ) è nfntesma () (a n b n ) è nfntesma 15/17?

38 Teorema Le seguent successon sono nfntesme: () ( ) 1 n α con α > 0 () (r n ) con r < 1 () (n α r n ) con α > 0 e r < 1 ( ) c n (v) n! ( ) n α (v) n! con c R con α > 0 16/17?

39 Teorema Se allora lm a n = a, n lm b n = b, n () lm n (a n + b n ) = a + b () lm n (λa n ) = λa per ogn λ R () lm n (a n b n ) = ab a n (v) lm = a n b n b posto che sa b 0 17/17?