Dipartimento di Matematica per le scienze economiche e sociali Università di Bologna. Ricerca operativa Lezione # 2 7 maggio 2009

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1 Dpartmento d Matematca per le scenze economche e socal Unverstà d Bologna Rcerca operatva Lezone # 2 7 maggo 2009 professor Danele Rtell 1/14?

2 n presenza d un attvtà produttva lneare l modello d Wlson è modfcato come segue: 2/14?

3 n presenza d un attvtà produttva lneare l modello d Wlson è modfcato come segue: mnmzzare per Q [0, Q/δ] C 1 (Q) = (p δ)q 2p h + δ Q A. 2/14?

4 n presenza d un attvtà produttva lneare l modello d Wlson è modfcato come segue: mnmzzare per Q [0, Q/δ] C 1 (Q) = (p δ)q 2p h + δ Q A. Qund C 1(Q) = 0 se e solo se Q = Q + := 2Aδp h(p δ). 2/14?

5 S tratta d un mnmo: C 1 (Q) = 2Aδ Q 3 > 0. 3/14?

6 S tratta d un mnmo: Il valore mnmato del costo è: C 1 (Q) = 2Aδ Q 3 > 0. C 1 := C 1 (Q + ) = 2Aδh(p δ). p 3/14?

7 S tratta d un mnmo: C 1 (Q) = 2Aδ Q 3 > 0. Il valore mnmato del costo è: C 1 := C 1 (Q + ) = 2Aδh(p δ). p Il modello modfcato resttusce nel modello orgnale d Wlson quando la retta che rappresenta la produzone y = (p δ)t tende all asse delle y coé quando p. Questo fatto s rscontra analtcamente: 3/14?

8 S tratta d un mnmo: C 1 (Q) = 2Aδ Q 3 > 0. Il valore mnmato del costo è: C 1 := C 1 (Q + ) = 2Aδh(p δ). p Il modello modfcato resttusce nel modello orgnale d Wlson quando la retta che rappresenta la produzone y = (p δ)t tende all asse delle y coé quando p. Questo fatto s rscontra analtcamente: lm p (p δ)q 2p h + δ Q A = Q 2 h + δ Q A. 3/14?

9 Una varante per le merc deperbl 4/14?

10 Una varante per le merc deperbl Wess Economc Order Quantty Models wth Nonlnear Holdng Costs European Journal of Operatonal Research (1982) /14?

11 Una varante per le merc deperbl Wess Economc Order Quantty Models wth Nonlnear Holdng Costs European Journal of Operatonal Research (1982) S suppone che cost per la messa n magazzno (holdng costs) sano funzone cumulatva del tempo t 4/14?

12 Una varante per le merc deperbl Wess Economc Order Quantty Models wth Nonlnear Holdng Costs European Journal of Operatonal Research (1982) S suppone che cost per la messa n magazzno (holdng costs) sano funzone cumulatva del tempo t Il costo cumulatvo per t untà d tempo è h(t) := ĥ tγ con ĥ, γ R +, γ 1. 4/14?

13 Una varante per le merc deperbl Wess Economc Order Quantty Models wth Nonlnear Holdng Costs European Journal of Operatonal Research (1982) S suppone che cost per la messa n magazzno (holdng costs) sano funzone cumulatva del tempo t Il costo cumulatvo per t untà d tempo è h(t) := ĥ tγ con ĥ, γ R +, γ 1. S osserv che: h(t) = t esprme la somma de cost stantane. 0 γĥτ γ 1 dτ, 4/14?

14 Consderamo l prmo cclo d magazzno (ntervallo d tempo [0, Q/δ]) legge I(t) = Q δt. I cost med d mmagazznamento sono: (1) 5/14?

15 Consderamo l prmo cclo d magazzno (ntervallo d tempo [0, Q/δ]) legge I(t) = Q δt. I cost med d mmagazznamento sono: µ = δ Q Q/δ 0 I(t) h (t) dt (1) 5/14?

16 Consderamo l prmo cclo d magazzno (ntervallo d tempo [0, Q/δ]) legge I(t) = Q δt. I cost med d mmagazznamento sono: µ = δ Q Q/δ 0 I(t) h (t) dt = δ Q Q/δ 0 (Q δt) γĥtγ 1 dt (1) 5/14?

17 Consderamo l prmo cclo d magazzno (ntervallo d tempo [0, Q/δ]) legge I(t) = Q δt. I cost med d mmagazznamento sono: µ = δ Q = δĥγ Q Q/δ 0 Q/δ 0 I(t) h (t) dt = δ Q ( Qt γ 1 δt γ) dt Q/δ 0 (Q δt) γĥtγ 1 dt (1) 5/14?

18 Consderamo l prmo cclo d magazzno (ntervallo d tempo [0, Q/δ]) legge I(t) = Q δt. I cost med d mmagazznamento sono: µ = δ Q = δĥγ Q Q/δ 0 Q/δ 0 I(t) h (t) dt = δ Q Q/δ ( Qt γ 1 δt γ) dt = 0 (Q δt) γĥtγ 1 dt ĥq γ (γ + 1)δ γ 1 (1) 5/14?

19 Consderamo l prmo cclo d magazzno (ntervallo d tempo [0, Q/δ]) legge I(t) = Q δt. I cost med d mmagazznamento sono: µ = δ Q = δĥγ Q Q/δ 0 Q/δ 0 I(t) h (t) dt = δ Q Q/δ ( Qt γ 1 δt γ) dt = 0 (Q δt) γĥtγ 1 dt ĥq γ (γ + 1)δ γ 1 ertanto l modello d Wlson vene modfcato come segue: (1) C 1 = C 1 (Q) = ĥq γ (γ + 1)δ γ 1 + δ Q A. 5/14?

20 La struttura de cost per ordnatvo è nalterata, camba la descrzone de cost d mantenmento. 6/14?

21 La struttura de cost per ordnatvo è nalterata, camba la descrzone de cost d mantenmento. S rottene l veccho modello per γ 1 : ( ) ĥq γ lm γ 1 (γ + 1)δ + δ γ 1 Q A = ĥq 2 + δ Q A. 6/14?

22 La struttura de cost per ordnatvo è nalterata, camba la descrzone de cost d mantenmento. S rottene l veccho modello per γ 1 : ( ) ĥq γ lm γ 1 (γ + 1)δ + δ γ 1 Q A = ĥq 2 + δ Q A. Vedamo se l modello è correttamente defnto. Dervando trovamo: C 1 (Q) = 0 = ĥγ (γ + 1) δ γ Qγ+1 A = 0, 6/14?

23 La struttura de cost per ordnatvo è nalterata, camba la descrzone de cost d mantenmento. S rottene l veccho modello per γ 1 : ( ) ĥq γ lm γ 1 (γ + 1)δ + δ γ 1 Q A = ĥq 2 + δ Q A. Vedamo se l modello è correttamente defnto. Dervando trovamo: vale a dre: C 1 (Q) = 0 = ĥγ (γ + 1) δ γ Qγ+1 A = 0, Q = ( Aδ γ (γ + 1) ĥγ ) 1 γ+1. (2) 6/14?

24 ) (ĥ(γ C 1 (Q) = δ 1)γ Q 3 (γ + 1) δ γ Qγ+1 + 2A > 0, 7/14?

25 ) (ĥ(γ C 1 (Q) = δ 1)γ Q 3 (γ + 1) δ γ Qγ+1 + 2A > 0, qund Q è effettvamente l punto d mnmo assoluto d C 1. Inoltre: ( Aδ γ ) 1 γ+1 (γ + 1) 2Aδ lm = γ 1 ĥγ h, 7/14?

26 ) (ĥ(γ C 1 (Q) = δ 1)γ Q 3 (γ + 1) δ γ Qγ+1 + 2A > 0, qund Q è effettvamente l punto d mnmo assoluto d C 1. Inoltre: ( Aδ γ ) 1 γ+1 (γ + 1) 2Aδ lm = γ 1 ĥγ h, Il valore del costo mnmo è: C 1 = A γ γ+1 δ 1 γ+1 ĥ 1 γ+1 ( ) 1 γ γ+1 1. γ + 1 7/14?

27 ) (ĥ(γ C 1 (Q) = δ 1)γ Q 3 (γ + 1) δ γ Qγ+1 + 2A > 0, qund Q è effettvamente l punto d mnmo assoluto d C 1. Inoltre: ( Aδ γ ) 1 γ+1 (γ + 1) 2Aδ lm = γ 1 ĥγ h, Il valore del costo mnmo è: C 1 = A γ γ+1 δ 1 γ+1 ĥ 1 γ+1 ( ) 1 γ γ+1 1. γ + 1 lm A γ 1 γ+1 δ γ+1 ĥ 1 γ+1 γ 1 ( ) 1 γ γ+1 1 = 2Aδh γ + 1 7/14?

28 Holdng cost n forma generale Se nel modello d Wess non s fanno specfche potes sulla natura della funzone d costo cumulatvo rpartendo dalla relazone (1) s trova, ntegrando per part, rcordato che I(t) = Q δt e che h(0) = 0: µ = δ Q Q/δ 0 I(t)h (t) dt = δ2 Q Q/δ 0 h(t) dt. (1 ) 8/14?

29 Holdng cost n forma generale Se nel modello d Wess non s fanno specfche potes sulla natura della funzone d costo cumulatvo rpartendo dalla relazone (1) s trova, ntegrando per part, rcordato che I(t) = Q δt e che h(0) = 0: µ = δ Q Q/δ 0 I(t)h (t) dt = δ2 Q Q/δ 0 h(t) dt. (1 ) Questo porta che la funzone d costo s scrve n forma generale come: C(Q) = Aδ Q + δ2 Q Q/δ 0 h(t) dt. (3) 8/14?

30 Dervando, s trova la condzone generale d ottmo: A Q h (Q/δ) + δ Q/δ 0 h(t) dt = 0. (4) 9/14?

31 Dervando, s trova la condzone generale d ottmo: A Q h (Q/δ) + δ Q/δ 0 h(t) dt = 0. (4) La soluzone esplcta d (4) è n generale dffcle per evdent problem computazonal, però s può dmostrare qualtatvamente che la funzone ntrodotta n (3) raggunge effettvamente l mnmo per un certo valore d Q. Ha, pertanto, senso trattare numercamente l equazone (4). 9/14?

32 Dervando, s trova la condzone generale d ottmo: A Q h (Q/δ) + δ Q/δ 0 h(t) dt = 0. (4) La soluzone esplcta d (4) è n generale dffcle per evdent problem computazonal, però s può dmostrare qualtatvamente che la funzone ntrodotta n (3) raggunge effettvamente l mnmo per un certo valore d Q. Ha, pertanto, senso trattare numercamente l equazone (4). Ad esempo se h(t) = ln(1 + t) s trova 9/14?

33 Dervando, s trova la condzone generale d ottmo: A Q h (Q/δ) + δ Q/δ 0 h(t) dt = 0. (4) La soluzone esplcta d (4) è n generale dffcle per evdent problem computazonal, però s può dmostrare qualtatvamente che la funzone ntrodotta n (3) raggunge effettvamente l mnmo per un certo valore d Q. Ha, pertanto, senso trattare numercamente l equazone (4). Ad esempo se h(t) = ln(1 + t) s trova C(Q) = Aδ Q + (Q + δ) ln ( Q+δ δ δ ) Q 9/14?

34 Consegne rtardate Il modello EOQ non ammette che l lvello del magazzno possa dventare negatvo: non è coè modellzzata la stuazone n cu l grosssta acqussca mpegn senza avere la merce n magazzno. 10/14?

35 Consegne rtardate Il modello EOQ non ammette che l lvello del magazzno possa dventare negatvo: non è coè modellzzata la stuazone n cu l grosssta acqussca mpegn senza avere la merce n magazzno. D altra parte le azende commercal fanno aspettare clent per le consegne 10/14?

36 Consegne rtardate Il modello EOQ non ammette che l lvello del magazzno possa dventare negatvo: non è coè modellzzata la stuazone n cu l grosssta acqussca mpegn senza avere la merce n magazzno. D altra parte le azende commercal fanno aspettare clent per le consegne Il fatto che l lvello d magazzno dvenga negatvo, vene detto sottoscorta 10/14?

37 Consegne rtardate Il modello EOQ non ammette che l lvello del magazzno possa dventare negatvo: non è coè modellzzata la stuazone n cu l grosssta acqussca mpegn senza avere la merce n magazzno. D altra parte le azende commercal fanno aspettare clent per le consegne Il fatto che l lvello d magazzno dvenga negatvo, vene detto sottoscorta backorderng 10/14?

38 Consegne rtardate Il modello EOQ non ammette che l lvello del magazzno possa dventare negatvo: non è coè modellzzata la stuazone n cu l grosssta acqussca mpegn senza avere la merce n magazzno. D altra parte le azende commercal fanno aspettare clent per le consegne Il fatto che l lvello d magazzno dvenga negatvo, vene detto sottoscorta backorderng Andare sottoscorta nduce de cost, dett cost d penura 10/14?

39 Consegne rtardate Il modello EOQ non ammette che l lvello del magazzno possa dventare negatvo: non è coè modellzzata la stuazone n cu l grosssta acqussca mpegn senza avere la merce n magazzno. D altra parte le azende commercal fanno aspettare clent per le consegne Il fatto che l lvello d magazzno dvenga negatvo, vene detto sottoscorta backorderng Andare sottoscorta nduce de cost, dett cost d penura suddvs n: 10/14?

40 Consegne rtardate Il modello EOQ non ammette che l lvello del magazzno possa dventare negatvo: non è coè modellzzata la stuazone n cu l grosssta acqussca mpegn senza avere la merce n magazzno. D altra parte le azende commercal fanno aspettare clent per le consegne Il fatto che l lvello d magazzno dvenga negatvo, vene detto sottoscorta backorderng Andare sottoscorta nduce de cost, dett cost d penura suddvs n: cost real: penal per l rtardo o per l nterruzone del processo produttvo; 10/14?

41 Consegne rtardate Il modello EOQ non ammette che l lvello del magazzno possa dventare negatvo: non è coè modellzzata la stuazone n cu l grosssta acqussca mpegn senza avere la merce n magazzno. D altra parte le azende commercal fanno aspettare clent per le consegne Il fatto che l lvello d magazzno dvenga negatvo, vene detto sottoscorta backorderng Andare sottoscorta nduce de cost, dett cost d penura suddvs n: cost real: penal per l rtardo o per l nterruzone del processo produttvo; cost fguratv: ndott dalla perdta d mmagne presso la clentela. 10/14?

42 Il costo untaro d penura sarà ndcato con b > 0. 11/14?

43 Il costo untaro d penura sarà ndcato con b > 0. Analzzamo l prmo cclo d magazzno. 11/14?

44 Il costo untaro d penura sarà ndcato con b > 0. Analzzamo l prmo cclo d magazzno. La quanttà Q d merce ordnata ad ogn cclo ha due dstnt mpegh: una parte serve per coprre la domanda nevasa nel cclo precedente, 11/14?

45 Il costo untaro d penura sarà ndcato con b > 0. Analzzamo l prmo cclo d magazzno. La quanttà Q d merce ordnata ad ogn cclo ha due dstnt mpegh: una parte serve per coprre la domanda nevasa nel cclo precedente, mentre la parte rmanente, che ndcheremo con R entra n magazzno n modo che la quanttà nevasa vale Q R. 11/14?

46 Il costo untaro d penura sarà ndcato con b > 0. Analzzamo l prmo cclo d magazzno. La quanttà Q d merce ordnata ad ogn cclo ha due dstnt mpegh: una parte serve per coprre la domanda nevasa nel cclo precedente, mentre la parte rmanente, che ndcheremo con R entra n magazzno n modo che la quanttà nevasa vale Q R. La struttura della funzone del costo espressa dalla formula vene modfcata: 11/14?

47 Il costo untaro d penura sarà ndcato con b > 0. Analzzamo l prmo cclo d magazzno. La quanttà Q d merce ordnata ad ogn cclo ha due dstnt mpegh: una parte serve per coprre la domanda nevasa nel cclo precedente, mentre la parte rmanente, che ndcheremo con R entra n magazzno n modo che la quanttà nevasa vale Q R. La struttura della funzone del costo espressa dalla formula vene modfcata: C(Q, R) = A δ Q + h R2 2Q + b (Q R)2 2Q 11/14?

48 Fgura 1: Sottoscorta 12/14?

49 La funzone che esprme l lvello d magazzno è modfcata n I(t) = R δ t e l costo per l mantenmento della merce n magazzno vene a sua volta modfcato per l fatto che la merce è presente n magazzno solo dal tempo t = 0 fno al tempo R/δ mentre l cclo d magazzno è [0, Q/δ] ; 13/14?

50 La funzone che esprme l lvello d magazzno è modfcata n I(t) = R δ t e l costo per l mantenmento della merce n magazzno vene a sua volta modfcato per l fatto che la merce è presente n magazzno solo dal tempo t = 0 fno al tempo R/δ mentre l cclo d magazzno è [0, Q/δ] ; cò sgnfca che l rempmento medo del magazzno 13/14?

51 La funzone che esprme l lvello d magazzno è modfcata n I(t) = R δ t e l costo per l mantenmento della merce n magazzno vene a sua volta modfcato per l fatto che la merce è presente n magazzno solo dal tempo t = 0 fno al tempo R/δ mentre l cclo d magazzno è [0, Q/δ] ; cò sgnfca che l rempmento medo del magazzno µ h = 1 Q/δ R/δ 0 I(t) dt = R2 2Q. 13/14?

52 Anche cost d penura dpendono dalla penura meda, che s manfesta nell ntervallo [R/δ, Q/δ] ma vanno rapportat alla durata dell ntero cclo. Dunque la penura meda è: 14/14?

53 Anche cost d penura dpendono dalla penura meda, che s manfesta nell ntervallo [R/δ, Q/δ] ma vanno rapportat alla durata dell ntero cclo. Dunque la penura meda è: µ b = 1 Q/δ Q/δ R/δ I(t) dt = (Q R)2 2Q 14/14?