Algoritmi basati sulla tecnica Divide et Impera

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1 Qucksort

2 Algortm basat sulla tecnca Dvde et Impera In questo corso: Rcerca bnara Mergesort (ordnamento) Qucksort (ordnamento) Moltplcazone d nter Moltplcazone d matrc (non n programma) NOTA: nonostante la tecnca Dvde et mpera sembr così «semplce» ben due «top ten algorthms of the 20 century» sono basat su d essa: Fast Fourer Transform (FFT) Qucksort

3 Ordnamento INPUT: un nseme d n oggett a 1, a 2,, a n pres da un domno totalmente ordnato secondo OUTPUT: una permutazone degl oggett a 1, a 2,, a n tale che Applcazon: a 1 a 2 a n Ordnare alfabetcamente lsta d nom, o nseme d numer, o nseme d compt d esame n base a cognome studente Veloczzare altre operazon (per es. è possble effettuare rcerche n array ordnat n tempo O(log n) ) Subroutne d molt algortm (per es. greedy).

4 Algortm per l ordnamento Data l mportanza, esstono svarat algortm d ordnamento, basat su tecnche dverse: Insertonsort Selectonsort Heapsort Mergesort Qucksort Bubblesort Countngsort.. Ognuno con suo aspett postv e negatv. Il Mergesort e l Qucksort sono entramb basat sulla tecnca Dvde et Impera, ma rsultano avere dfferent prestazon

5 Mergesort Dato un array d n element I ) Dvde: trova l ndce della poszone centrale e dvde l array n due part cascuna con n/2 element (pù precsamente n/2 e n/2 ) II) Rsolve due sottoproblem rcorsvamente III) Impera: fonde due sotto-array ordnat usando la procedura Merge T(n) = (1) + 2T(n/2) + (n) La soluzone è T(n) = (n log n)

6 Qucksort Nota: sul lbro d testo trovate solo una versone randomzzata (cap. 13). Potete fare rfermento al lbro d Cormen, Leserson, Rvest, (Sten) Introduzone agl algortm, o ad altr test consglat.

7 Qucksort Dato un array d n element I ) Dvde: scegl un elemento x dell array (detto pvot o perno) e partzona la sequenza n element x ed element x II) Rsolv due sottoproblem rcorsvamente III) Impera: resttusc la concatenazone de due sotto-array ordnat x=

8 Scelta del pvot L algortmo funzona per qualsas scelta (prmo / ultmo / ), ma se voglamo algortmo determnstco devo fssare la scelta; nel seguto scegleremo l prmo. Altrment: scelgo random e avrò algortm randomzzat (ved Klenberg & Tardos, cap. 13)

9 Partzonamento Partzona l array n element x ed element x Banalmente: scorro l array da 1 ad n e nsersco gl element pvot n un nuovo array e quell del pvot n un altro nuovo array Però: 1) avre bsogno d array auslar 2) d che dmensone? I due sotto-array hanno un numero varable d element

10 Partzone n loco Partton: pvot = A[1] Scorr l array da destra verso snstra (con un ndce ) e da snstra verso destra (con un ndce ) : da destra verso snstra, c s ferma su un elemento del pvot da snstra verso destra, c s ferma su un elemento del pvot; Scamba gl element Rprend la scansone fnché e s ncrocano

11 Partton (Hoare 1962) Partton (A, p, r) x = A[p] = p-1 = r+1 whle True do repeat =-1 untl A[] x repeat =+1 untl A[] x f < then scamba A[] A[] else return Esste un dverso algortmo per l partzonamento dovuto a N. Lomuto ed esstono pccole varant d questo (che potreste ncontrare cambando lbro d testo) Attenzone: repeat op untl cond sgnfca che: eseguo op; se cond è verfcata esco, altrment rpeto. s ferma su un elemento x; s ferma su un elemento x.

12 Partzone n loco: un esempo pvot = 5 Scamba 3 con 5 Scamba 1 con 6 Resttusce q =. Gl element < x Resttusce q = staranno a snstra; gl element > x a destra; quell = x possono stare sa a snstra che a destra.

13 Partton: un altro esempo pvot = 5 Scamba 5 con 5 Scamba 1 con 6 Resttusce q =. Gl element < x staranno a snstra; gl element > x a destra; quell = x possono stare sa a snstra che a destra.

14 Partton su un array d element tutt ugual pvot = 5 Scamba 5 con 5 Scamba 5 con 5 Scamba 5 con Scamba 5 con Resttusce q = 5 5

15 Correttezza d Partton Perché funzona? Ad ogn terazone (quando raggungo l whle): la parte verde d snstra (da p ad ) contene element 5; la parte verde d destra (da a r) contene element 5. Tale affermazone è vera all nzo e s mantene vera ad ogn terazone (per nduzone) Nota: Partton resttusce p: al massmo s ferma sul prmo elemento, che è pvot. Anals Partton Il tempo d esecuzone è (n)

16 Qucksort (A, p, r) f p < r then q = Partton (A,p,r) Qucksort(A, p, q) Qucksort(A, q+1, r) Correttezza: la concatenazone d due array ordnat n cu l array d snstra contene element mnor o ugual degl element dell array d destra è un array ordnato Anals: T(n) = (n) + T(k) + T(n-k) Se k sono gl element da p a q (e n-k rmanent da q+1 a r) con 1 k n-1. Rcorda: Partton resttusce q p.

17 Anals Qucksort (caso peggore) Un prmo caso: ad ogn passo l pvot scelto è l mnmo o l massmo degl element nell array (la partzone è 1 n-1 ): T(n) = T(n-1) + T(1) + (n) essendo T(1)= (1) T(n) = T(n-1) + (n) La cu soluzone è T(n) = (n 2 ) S può dmostrare che questo è l caso peggore; qund per l Qucksort: T(n) = O(n 2 )

18 Un esempo del caso peggore del Qucksort Un array ordnato x = x = x = x = x = 5 5 6

19 Anals Qucksort (caso mglore) Un altro caso: ad ogn passo l pvot scelto è la medana degl element nell array (la partzone è n/2 n/2 ): T(n) = 2 T(n/2) + (n) La cu soluzone è T(n) = (n log n) (è la stessa relazone d rcorrenza del Mergesort) S può dmostrare che questo è l caso mglore; qund: T(n) = (n log n) Rassumendo, per l Qucksort: T(n) = O(n 2 ) e T(n) = (n log n) Il caso mglore è dverso dal caso peggore qund T(n) non è d nessuna funzone

20 Is Qucksort quck? Il Qucksort non ha un «buon» caso peggore, ma ha un buon caso medo (s può dmostrare che anche nel caso medo s comporta come nel caso mglore), per cu s può consderare una sua versone «randomzzata» Algortmo randomzzato: Introduce una chamata a random(a,b) (che resttusce un numero a caso fra a e b (a<b)) Forza l algortmo a comportars come nel caso medo Non esste una dstrbuzone d nput «peggore» a pror Nota: sul lbro d testo trovate solo una versone randomzzata. Per l resto potete fare rfermento al lbro d Cormen, Leserson, Rvest, (Sten) Introduzone agl algortm, o ad altr test consglat nel programma.

21 QuckSort randomzzato Random-Partton (A, p, r) random(p,r) scamba A[] <-> A[p] return Partton(A, p, r) Random-Qucksort (A, p, r) f p < r then q Random-Partton (A,p,r) Random-Qucksort(A, p, q) Random-Qucksort(A, q+1, r)

22 Qucksort vs Mergesort (entramb dvde et mpera)

23 Da rcordare sulla complesstà dell ordnamento Esstono algortm d ordnamento con tempo nel caso peggore (n 2 ) e (nlogn) Esstono anche algortm d ordnamento con tempo nel caso peggore (n), ma non sono basat su confront e funzonano solo sotto certe potes. Inoltre s può dmostrare che tutt gl algortm d ordnamento basat su confront rchedono Ω(n log n) confront nel caso peggore! S dce che Ω(n log n) è una delmtazone nferore (lower bound) al problema dell ordnamento, coè al numero d confront rchest per ordnare n oggett. Delmtazone nferore (lower bound) = quanttà d rsorsa necessara per rsolvere un determnato problema Indca la dffcoltà ntrnseca del problema.