Modelli decisionali su grafi - Problemi di Localizzazione

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1 Modell decsonal su graf - Problem d Localzzazone Massmo Paolucc (paolucc@dst.unge.t) DIST Unverstà d Genova Locaton Problems: modell ed applcazon Decson a medo e lungo termne (panfcazone) Caratterstche de modell: Orzzonte temporale (mono-perodo, mult-perodo) Omogenetà de fluss (sngle-commodty, mult-commodty) Lvell de fluss (sngolo lvello, due lvell) Imprese logstche e d servz: Localzzare nod logstc (centr d produzone, magazzn, centr d dstrbuzone) Dmensonare fluss logstc (trasport) Dmensonare le capactà de nod Localzzare servz (ospedal, protezone cvle)

2 Modello sngolo prodotto a un lvello 3 Un lvello: costo trasporto a monte ed a valle del sstema trascurable Esempo: localzzazone d centr d dstrbuzone V V 1 st potenzal punt d domanda G (V 1 V, A) potes: domanda frazonable, cost lnear Modello sngolo prodotto a un lvello 4 Formulazon d j, lvello d domanda n j (dato) q, V 1 capactà del sto (dato) u, V 1 lvello d attvtà del sto (var. decsonale) s j, V 1 quanttà d prodotto nvata da a j (var. decsonale) c j, V 1 costo del trasporto tra e j (dato) f, V 1 costo della produzone nel sto (dato) mn cjsj + fu V 1 V 1 sj u V1 sj dj V 1 u q V1 sj 0 V 1,j V u 0 V1 Cosa rappresentano vncol?

3 Modello sngolo prodotto a un lvello 5 Formulazon Costo della produzone con set-up (attvazone) f set-up, g costo margnale per la produzone nel sto : f + gu F(u ) 0 u u 0 0 y V 1 var.bnara (1 sto attvato, 0 sto non attvato) la formulazone s modfca fu V1 V1 ( f y + g u ) u q u yq V1 Modello sngolo prodotto a un lvello Formulazon Imporre un numero prefssato p d nod da ntrodurre: y p V 1 Varazone: ndvduare tra n possbl localtà quelle n cu osptare p centr d smstamento mnmzzando la dstanza totale Tutt nod n V possono osptare centr Non è mportante la capactà produttva Non c sono cost d set-up... Come s può formulare?

4 Modello sngolo prodotto a un lvello 7 Formulazon Capactà mnma q - e massma q + d un sto: q - y u q + y Cost d eserczo lnear a tratt e concav f f F(u ) f ' + g 'u f " + g "u 0 0 u u ' u u ' u 0 u S sosttusce con due nod e Mnmzzando solo uno de due (quello a costo mnore per la u ottma) sarà selezonato Modello mult prodotto a due lvell Formulazon K prodott dvers ma d classe omogenea V 1 nseme mpant produttv V nseme centr d dstrbuzone potenzal (d cu attvarne p) V 3 nseme de punt d domanda p, V 1 K massma quanttà d realzzable n (cap. mpanto) d r, r V 3 K lvello d domanda d n r non frazonable q j-, q j+ capactà mn e max del centro j c jr, V 1 r V 3 K costo trasporto d da a r va j f j, g j cost fss e margnal del centro j (dato) z j, var. bnara assocata alla selezone del centro j y jr, r V 3 var. bnara assocata alla assegnazone d r a j s jr, V 1 r V 3 K quanttà d nvata da a r va j

5 Modello mult prodotto a due lvell mn c s jr jr V1r V3 K s jr r V3 s d r y jr j V,r V3, K jr soddsf. domanda V1 y jr 1 r V3 forntura non frazonable q z d j j r y jr q + z j j V j r V3 K z j p capactà centr z j B j V numero centr da attvare y jr B j V,r V3 s jr p V1, K capactà mpant 0 V1, j V,r V3, K + f z g d j j + j r y jr r V3 K 9 Localzzazone: centr e medane 10 I problem d localzzazone possono essere modellat come problem d centro e d medana su graf: Problem d medana (mnsum) mnmzzare la meda delle dstanze tra gl utent ed l servzo d afferenza Problem d centro (mnmax) mnmzzare la dstanza tra utente e servzo nel caso peggore (per l clente pù lontano) I problem d centro sono spesso utl nel settore de servz pubblc

6 Localzzazone: centr e medane 11 I punt d servzo possono essere localzzat su nod (problem d vertce) o n un punto qualsas degl arch e de nod (problem assolut) Defnzon è dato un grafo G(V,E) generco è nota d(v,v j ) dstanza tra due vertc per ogn coppa d vertc è noto w(v ) peso d un vertce per ogn vertce s ndca con d(x,y) la dstanza tra due punt generc del grafo 1-medana (assoluta) d G ogn punto x d G per cu è mnma la funzone f(x) 1 V d(x,v ) w(v) v V Localzzazone: centr e medane 1 Teorema (Ham) In un grafo connesso non orentato G esste almeno un vertce v che è anche 1-medana Defnzon dato un grafo G(V,E) generco e le grandezze prma defnte s dce eccentrctà d un punto x la dstanza pesata d x dal vertce pù lontano e(x) max v V { d(x,v )w(v ) } 1-centro (assoluto) d G l punto x avente eccentrctà mnma

7 Localzzazone: centr e medane 13 Defnzon dato un grafo G(V,E) generco e le grandezze prma defnte dato un nseme d p punt d G(V,E), X p {x 1, x,...,x p } ed un vertce v, s dce dstanza d v da X p la quanttà d(v,xp ) mn x X d(v,x ) Nota: se v è un clente s assume che s serva dal punto pù vcno p p-medana (assoluta) d G ogn nseme d p punt X p d G per cu è mnma la funzone f(xp) d(xp,v ) w(v ) v V Localzzazone: centr e medane 14 Teorema (Ham) In un grafo non orentato e connesso G(V,E) esste almeno un nseme d p vertc che costtusce una p-medana assoluta Dffcoltà Determnare la 1-medana n graf conness e non orentat è semplce (s scegle l mnmo delle somme pesate delle rghe della matrce delle dstanze tra ogn coppa d nod) Determnare la p-medana su un grafo qualunque è un problema NP-hard Nel caso d alber è un problema polnomale

8 Localzzazone: centr e medane 15 Defnzon dato un grafo G(V,E) generco e le grandezze prma defnte dato un nseme d p punt d G(V,E), X p {x 1, x,...,x p } p-centro (assoluto) d G(V,E) ogn nseme d p punt X p d G per cu è mnma la funzone Dffcoltà r(xp ) max d(xp,v) w(v) v V Determnare l 1-centro vertce n graf conness è semplce (s scegle l mnmo del massmo delle dstanze pesate estratto da ogn rga della matrce delle dstanze tra ogn coppa d nod) In graf non orentat conness l 1-centro s può determnare con un metodo grafco Determnare l p-centro d un grafo qualunque è un problema NP-hard Localzzazone: centr e medane 1 Esempo Ipotes: pes untar v 4 v 1 v 3 4 v 5 v f(v1) f(v) f(v3) f(v4) f(v5) e(v 1) e(v ) e(v3 ) 4 e(v 4) 0 e(v5 ) medana 1-centr Vertce

9 Localzzazone: centr e medane 17 Il metodo grafco d Ham per l 1-centro assoluto S consdera un arco alla volta Per cascun arco (v,v j ) determna l punto x j d eccentrctà mnma Qund tra var punt x j determna l punto d eccentrctà mnma n assoluto v h w(v h ) d(v,v h ) d(v j,v h ) v t y l(v,v j ) l-t v j d(y,v h ) mn { d(v,v h ) + t, d(v j,v h ) + l(v,v j ) - t } S traccano gl andament delle d(y,v h )w(v h ) al varare d y n (v,v h ) rspetto ad ogn nodo v h qund s determna l nvluppo massmo d tal grafc Il punto x j d eccentrctà mnma per l arco corrsponde ad uno de mnm dell nvluppo massmo Localzzazone: centr e medane 1 Il metodo grafco d Ham per l 1-centro assoluto Esemp d andament della dstanza d y n un arco da vertc d (y,v h ) d (y,v h ) d (y,v h ) v y v j v v j y v v j y Sovrapponendo grafc s determna l nvluppo massmo ed l suo mnmo d (y,v h ) max d(y,vh ) w(vh) V v h v x j y v j

10 Localzzazone: centr e medane 19 Tecnche eurstche per la determnazone della p- medana (ottm local) Approcco 1 1. Sceglere arbtraramente p vertc u 1,...,u p. Assegnare ogn altro vertce ad uno de p vertc scelt n base alla mnma dstanza. Sa V l nseme de vertc assegnat ad u. Calcolare la somma S delle dstanze 3. Per ogn V cercarelamedana z e sostturla a u.calcolarela nuova somma S delle dstanze. Se S <S tornare al passo, altrment l algortmo termna. Approcco Sceglere arbtraramente p vertc qund operare degl scamb (un nuovo vertce sosttusce uno tra quell present nell nseme selezonato) n modo che la funzone obettvo abba l massmo decremento Localzzazone: modell d copertura 0 S utlzza l modello del Set-Coverng S deve determnare n qual nod attvare un servzo n modo che gl utent lo rcevano entro un tempo massmo T G(V 1 V, A), V 1 st potenzal, V st utenza, t j tempo (mnmo) tra e j f j, 1 costo d attvazone d j p, V penaltà mancato servzo d A[a j ] matrce d ncdenza utent-st: a j 1 se t j T e a j 0 se t j >T V 1 st potenzal j t j Ta j 1 t j >T a j 0 V punt d domanda

11 Localzzazone: modell d copertura 1 S utlzza l modello del Set-Coverng Varabl decsonal: y j, 1 vettore d ncdenza, attvazone st y j B z, V clente non servto z j B (slac bnara) mn fjyj + pz 1 V ajyj + z 1 1 yj B j V1 z B V V E un problema d set-coverng (NP-hard) Localzzazone: modell d copertura S utlzza l modello del Set-Coverng Se cost d attvazone de st fossero ugual tra loro c s può porre l problema d stablre l numero mnmo d st da attvare per servre clent nel tempo mnmo complessvo x j, V, 1 x j B clente servto dal sto j M costante suffcentemente grande (bg-m) mn Myj + tjxj 1 V 1 ajxj 1 V 1 xj yj V,j V1 yj B j V1 xj B V,j V1