IL GRUPPO SIMMETRICO S n

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1 EMILIO ZAPPA MATRICOLA UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TORINO DIPARTIMENTO DI MATEMATICA ANNO ACCADEMICO 00/00 TESINA PER IL LABORATORIO DI COMBINATORICA IL GRUPPO SIMMETRICO S n IL GIOCO DEL

2 Sa A un nseme fnto d ordne n S voglono contare tutte le possbl funzon bettve da A n se stesso Una funzone s dce bettva se è allo stesse tempo nettva e surettva, ossa element dvers del domno hanno mmagn dvers e ogn elemento del codomno al pù una contrommagne Consderamo l caso n Sa I {,, } e sa f : I I una funzone bettva da I n se stesso Per dare una funzone s devono consderare le mmagn f(), f(), f() Per f() s hanno scelte (,, ), ma per f() ne s hanno solo pù, n quanto bsogna mporre la bettvtà della funzone Per f() s avrà po dunque una scelta obblgata; n totale s hanno dunque possbl funzon Defnzone Dato un numero naturale n, s defnsce fattorale d n l numero n! ( n ) n S pone noltre 0! n Propretà Le bezon da un nseme fnto A d ordne n n se stesso sono n! Dmostrazone (con l metodo delle scelte) Ragonando n modo analogo all esempo precedente, per ndvduare una bezone basta assegnare le n mmagn degl n element del domno Per l mmagne del prmo elemento s hanno n scelte, per l secondo n- e così va Per l prncpo d moltplcazone delle scelte s ha che le bezon sono n tutto n (n-) n! Le bezon d A n se stesso sono dette permutazon In generale ogn nseme A d n element può essere messo n corrspondenza bunvoca con l nseme I n {,,, n } Per studare le permutazon d un nseme fnto d ordne è qund comodo rferrs sempre all nseme I n Per ndcare una permutazone σ s usa una notazone matrcale, attraverso una matrce x n: nella prma rga s scrvono gl element d I n nell ordne naturale, nella seconda rga s scrvono ordnatamente le loro mmagn medante σ σ σ () σ () n σ ( n) Defnzone Un gruppo (G, *) è un nseme G dotato d un operazone bnara * G G G ( a, b) a * b Che verfca le seguent propretà * è assocatva, ossa (a*b)*c a*(b*c) un elemento e G tale che e*aa*ea, a G, detto elemento neutro a G, un elemento ba - tale che a*bb*ae Se l operazone * è commutatva, l gruppo s dce essere commutatvo o abelano

3 Propretà L nseme d tutte le permutazon d un nseme I n con l ordnara operazone d composzone d funzone è un gruppo non commutatvo, detto gruppo smmetrco, d ordne n! Consderamo l caso n I {,,, } Sano σ e τ due permutazon d I Per determnare σ τ è utle ancora una volta usare la notazone matrcale Infatt basterà scrvere nella prma rga l ordne naturale d I, nella seconda la permutazone τ (per comporre le funzon bsogna sempre partre dalla funzone pù a destra), e nfne nella terza rga applcare ordnatamente ad ogn elemento σ, per po cancellare la seconda rga τ σ L elemento neutro è la permutazone dentca Infatt σ σ σ σ L nversa d una permutazone s ottene scambando le due rghe e po rordnando le colonne n modo che la prma rga abba l ordne naturale σ la sua nversa è σ Infatt σ σ σ σ

4 Consderata la permutazone τ Essa manda n, n, n e lasca fsso l Questo fatto s può scrvere nel seguente modo (,, ) In generale dat a, a,, a k I n (k n ) s ndca con (a, a,, a k ) la permutazone che manda a n a + e a k n a e lasca nvarat tutt gl altr element d I n Tale permutazone vene detta cclo d lunghezza k Il cclo non camba se s permutano crcolarmente suo element, coè a, a, a ) ( a, a,, a, a ) ( a, a, a, a, a ) ( k k k Defnzone Un cclo d lunghezza è detto trasposzone o scambo Ad esempo la permutazone θ è l cclo (, ), e cò equvale a dre scambare l con l e vceversa Propretà Data una permutazone σ e preso a I n, le potenze d applcate ad a (per potenza n s ntende la permutazone σ σ σ σ n volte ) formano un nseme fnto d element dstnt d ordne k n k { a, σ ( a), σ ( a), ( n) } A σ k S deve osservare che! scuramente k N tale che σ ( a) a Infatt se esstesse N, con 0 < < k, tale che σ ( a) a, s avrebbe che a sarebbe allo stesso tempo mmagne medante σ d due element dstnt k σ ( a) e σ ( a), contro l potes che σ sa una bezone S not noltre che A è scuramente un nseme fnto, che ha al massmo n element Infatt l nseme d partenza I n è fnto e le possbl mmagn tramte σ d un elemento a I n sono n Propretà Ogn permutazone può essere decomposta nel prodotto d un numero fnto d ccl dsgunt Dmostrazone Sa σ una permutazone d I n Consderato a I n, s ottene una successone fnta d element d k element dstnt a σ ( a),, k e σ ( a) a Se k n, allora { a, a, a n } I n e σ ( a, a, an ) Se k<n, possamo sceglere b I n non compreso tra gl a e costrure un cclo ( b, b b h ) Questo cclo è dsgunto dal precedente Infatt se fosse a b j, tale elemento sarebbe mmagne medante σ d due element dstnt d I n Rpetendo questo procedmento un numero fnto d volte s ottene la decomposzone cercata

5 Ad esempo la permutazone ψ s decompone nel prodotto de ccl γ (,) e γ (,), ossa (,) (, ) ψ γ γ, o, per brevtà d scrttura, ψ γ γ Osservazone Ccl dsgunt commutano tra loro Nell esempo precedente ψ γ γ (,)(,) ψ γ γ (,)(,) ψ Propretà Ogn permutazone può essere decomposta n un prodotto d scamb Infatt ogn permutazone può essere decomposta n un prodotto d ccl Consderato un generco cclo ( a, a, ak ) esso può essere decomposto n un prodotto d scamb ( o trasposzon ), nel seguente modo a, a, a ) ( a, a )( a, a )( a, ) ( k k k a La decomposzone precedente non è unca, ma vale questo mportante teorema: Il numero d scamb n cu s può decomporre una permutazone o è sempre par o è sempre dspar Pertanto s possono suddvdere le permutazon n categore: quelle par, se s decompongono n un numero par d scamb, dspar altrment Il goco del Il goco del qundc è un rompcapo classco nventato da Samuel Loyd ( - ) nel Il goco consste d una tabellna d forma quadrata, soltamente d plastca, dvsa n quattro rghe e quattro colonne (qund poszon), su cu sono poszonate tessere quadrate, numerate progressvamente a partre da Le tessere possono scorrere n orzzontale o vertcale, ma l loro spostamento è ovvamente lmtato dall'esstenza d un sngolo spazo vuoto Lo scopo del goco è rordnare le tessere dopo averle "mescolate" n modo casuale (la poszone da raggungere è quella con l numero n alto a snstra e gl altr numer a segure da snstra a destra e dall'alto n basso, fno al seguto dalla casella vuota) Al d là dell aspetto prettamente ludco, l goco del rappresenta un problema matematco che può essere rsolto tramte le permutazon Il problema consste, data una confgurazone nzale del goco, d permutare suo element per poszonarl nell ordne naturale La domanda che c s pone è: è sempre possble fare cò? Per rspondere bsogna analzzare da un punto d vsta matematco lo schema del goco Ogn mossa rappresenta uno scambo tra un elemento e l blocchetto vuoto Ora, all nzo del goco l blocchetto

6 s trova n basso a destra e alla fne deve rtrovars alla medesma poszone: se dunque durante l goco vene spostato verso l alto con n mosse, per rportarlo alla poszone orgnara ne occorreranno altre n, e così se lo s sposta verso snstra Dunque le mosse necessare per rsolvere l goco devono essere n numero par Ma, poché una mossa è uno scambo, cò equvale a dre che la permutazone assocata al goco deve essere par affnché l goco stesso possa essere rsolto Consderamo le seguent confgurazon: 0 / Per tornare alla confgurazone orgnara la permutazone assocata è σ 0 Che s decompone nel seguente modo σ (,,,,,,, ) (,,, 0 ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, 0 ) (, ) (, ) (, ) Dunque s tratta d una permutazone dspar e l goco non è rsoluble 0 / La permutazone assocata è τ 0 0 Che s decompone n τ (,,,, ) (,,,, ) ( 0,,,, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) ( 0, ) ( 0, ) ( 0, ) (0, ) S tratta d una permutazone par, dunque n questo caso l goco è rsoluble

7 Nota Esstono essenzalmente due dverse verson del goco del : una, pù classca, costtuta da una tabella d plastca le cu tessere vengono mescolate manualmente a partre dalla confgurazone naturale per po rordnarle, e un altra, pù moderna, n versone computerzzata, nella quale l computer, tramte un algortmo, genera tutte le possbl permutazon sempre a partre dalla confgurazone nzale Nella prma versone, quella nventata da Loyd, ogn mescolata delle tessere da parte del gocatore corrsponde ad una permutazone: questa permutazone è necessaramente par, poché per portare la casella vuota n basso a destra, qualsas sa la permutazone, l numero d scamb necessar è par Pertanto l goco è sempre rsoluble Nella seconda versone, nvece, l computer genera casualmente le permutazon, dunque non è sempre possble rsolverlo Loyd propose, alcun ann dopo l nvenzone del goco, la seguente varante, con le tessere del e del scambate: 0 / Nella quale lo scopo è quello solto d mettere numer n ordne dall al, e mse n palo un premo d mlle dollar a ch lo avesse rsolto In questo caso la permutazone assocata è semplcemente lo scambo (, ), che è charamente una permutazone dspar, dunque l goco è mpossble da rsolvere ( e Loyd ne era ben al corrente)! BIBLIOGRAFIA [] GMPacentn Cattaneo, Algebra Un approcco algortmco, Decbel Zanchell [] L Pcco Botta, Appunt d Algebra I, Dpartmento d Matematca d Torno, 00 [] DRomagnol, Element d Matematca Dscreta, Quaderno ddattco n, Dpartmento d Matematca d Torno, 00