Generalità. Problema: soluzione di una equazione differenziale alle derivate ordinarie di ordine n: ( )

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1 Generaltà Problema: soluzone d una equazone derenzale alle dervate ordnare d ordne n: n n K soggetta alle n condzon nzal: K n Ovvero rcercare la soluzone d un sstema d n equazon derenzal ordnare del prmo ordne medante opportune tecnce numerce

2 Problema d Cauc Problema d Cauc ad una sola equazone: ' condzone nzale Esempo: crescta lmtata d una popolazone: d dt t t t K BΨ t Ψ t ln t B / Ψ t Ct K C B e

3 Problema d Cauc: esempo Esempo: crescta lmtata d una popolazone: C.5 B >> B >> C/ >> >> -logb/- >> tlnspace5 >> PsepC*t >> B*Ps./.Ps >> plott 5 5 5

4 Problema d Cauc: esstenza ed unctà In generale può avere una espressone complcata o tale per cu la soluzone del problema d Cauc non è esprmble n orma cusa n tal caso s mpega n metodo numerco per rcavarne una soluzone approssmata. Prma d cercarne una soluzone approssmata bsognerebbe ceders se la soluzone esste e se è unca!!! Denzone: una unzone s dce lpsctzana n unormemente rspetto ad n D R se esste una costante L> tale ce: L D Nota: condzone sucente ancé una unzone sa lpsctzana n D è ce essta e sa lmtata n D.

5 Problema d Cauc: esstenza ed unctà Teorema : sa denta e contnua n Q: R [ a] [ b b] { } Q e sa lpsctzana n unormemente rspetto a n Q allora esste un unca soluzone C [ β] del problema d Cauc n I[ β] con βmn[ab/m] Mma Q. Teorema : sa denta e contnua n S: R [ β ] { R} S e sa lpsctzana n unormemente rspetto a n S allora esste un unca soluzone C [ β] del problema d Cauc n I[ β].

6 Problema d Cauc: condzonamento Per poter rsolvere numercamente l problema d Cauc è necessaro ce l problema sa ben-posto. Denzone: l problema d Cauc ' con condzone nzale è ben-posto se dette e δ le soluzon con condzon nzal e δ rspettvamente s a: δ < ε [ a ] b dove ε> è una pressata tolleranza purcé δδε sa sucentemente pccolo. Eserczo consglato [GL] 6. Nota: se soddsa le condzon del Teorema allora l problema d Cauc assocato è ben-posto.

7 Metodo d Eulero esplcto Problema d Cauc: ' [ β ] Condzone nzale Dscretzzazone d I: L n / n β Svluppo n sere d Talor n : ' R Trascuro l resto R[ ]. [ ] R[ ] Soluzone approssmata per :

8 Metodo d Eulero esplcto Svluppo n sere d Talor n : ' R [ ] R[ ] Il valore esatto d non è dsponble s usa l valore approssmato ed noltre s trascura l resto R[ ]. Soluzone approssmata per :

9 Noto l generco valore approssmato. Svluppo n sere d Talor n : Metodo d Eulero esplcto [ ] [ ] R R ' Soluzone approssmata per : Uso del valore approssmato. S trascura l resto R[ ].

10 Metodo d Eulero esplcto Algortmo: l metodo d Eulero esplcto ornsce la successone d approssmazon: K n Alla soluzone è assocato l errore globale d troncamento: ε dovuto alla lnearzzazone sosttuzone delle con la retta tangente ossa all errore d troncamento locale e l errore dovuto all accumulo degl error d troncamento local c s muove lungo la retta tangente n con coecente angolare ce è una approssmazone della retta tangente n con coecente angolare.

11 Metodo d Eulero esplcto: esempo Pb. d Cauc: ' [] Condzone nzale Soluzone e Metodo d Eulero: K n Dscretzzazon: K n K n. n.5 n

12 8 7 Metodo d Eulero esplcto: esempo Soluzone Errore e Eserczo consglato [GL] 6.

13 Metodo numerc: generaltà Problema d Cauc: ' [ β ] Condzone nzale Dscretzzazone d I non necessaramente unorme: L n / β La orma dscreta del problema derenzale s può ottenere tramte una ntegrazone d entrambe membr tra due nod qualsas : ' d d n

14 Utlzzando una ormula d quadratura basata su N nod compres tra e : Metodo numerc: generaltà R a N r l l r r r R G K Ovvero n orma sntetca: d d '

15 Trascurando l errore d troncamento ed utlzzando valor approssmat calcolat: Metodo numerc: generaltà n G K K Od analogamente: n c j j j K K φ La unzone φ caratterzza l metodo ed è detta unzone d ncremento essendo una combnazone lneare d valor assunt dalla ne conserva tutte le propretà n partcolare è lpsctzana se lo è la.

16 Problema d Cauc: Metodo numerc: generaltà ] [ ' β Condzone nzale Dscretzzazone d I non necessaramente unorme: n n / β L La orma dscreta del problema derenzale s può ottenere tramte uno svluppo n sere d Talor della unzone :!!!! m m m m m m m m ξ ξ

17 Trascurando l errore d troncamento ed utlzzando valor approssmat calcolat per s a: Metodo numerc: generaltà!! m m m m ξ m! La dervata d ordne della è valutata rcorsvamente: Sosttuendo e rordnando s ottene: n c j j j K K φ

18 Metodo numerc: generaltà K K n G Un metodo numerco è detto esplcto o mplcto a seconda se non compaa o compaa nella unzone G. Un metodo è detto one-step o ad un passo se nella unzone G compare solo la soluzone n coè se. Per > s a un metodo mult-step o a pù pass valor j per j - rcest per la valutazone d sono dett valor d nnesco. In partcolare la relazone: φ K G n rappresenta un generco metodo one-step esplcto.

19 Metodo numerc: consstenza ordne Un metodo numerco derva dalla dscretzzazone d una relazone esatta del tpo: R G K Il termne R è detto errore d troncamento locale e per dventa: R G K E rappresenta la derenza tra l valore esatto della soluzone ed l valore approssmato ornto dallo scema numerco descrtto dalla unzone G operante con valor esatt.

20 R Metodo numerc: consstenza ordne G K Un metodo numerco è detto consstente se: lm R Per un metodo essere consstente sgnca ce la orma dscreta tende alla ormulazone contnua se l passo della dscretzzazone tende a zero e per la soluzone????. Il massmo ntero postvo p per l quale: R p O è detto ordne d accuratezza del metodo.

21 Il valore nel nodo ornto dal metodo numerco è valutato mpegando valor approssmat gà calcolat: Metod numerc: errore globale d tron. La derenza tra l valore esatto ed l valore calcolato: G K ε è detta errore globale d troncamento. S può scrvere: [ ] G G R K K ε L errore globale d troncamento è somma dell errore locale d troncamento e d un errore ce dpende dall uso de valor approssmat anzcé de valor esatt nella valutazone d G.

22 Metod numerc: convergenza Un metodo numerco è detto convergente se: lm ma ε n con n β ossa se la soluzone numerca tende al dmnure del passo d dscretzzazone alla soluzone analtca del problema d Cauc.

23 Rcordando ce: Metod numerc: stabltà ε [ G G K ] R K s vede ce la consstenza errore d troncamento locale tendente a zero non asscura la convergenza della soluzone errore globale d troncamento tendente a zero ma è ance ndspensable ce la propagazone degl error dovut all uso de valor approssmat accumulo non vengano amplcat coè ce l metodo sa stable. S dmostra ce teorema d La: stabltà consstenza convergenza

24 Metod numerc esplct one-step R φ è ottenuto dalla dscretzzazone della relazone esatta: φ Un metodo esplcto one-step: e per l errore locale d troncamento s a: R φ Qund un metodo esplcto one-step è consstente se e solo se: ' lm φ

25 Metod esplct one-step: Eulero ] [ '' ξ ξ Il metodo esplcto d Eulero può essere ottenuto dalla ormula d Talor arrestata al prmo ordne: n K Algortmo φ Condzone nzale '' ξ R Il metodo è consstente Il metodo è al prmo ordne S può dmostrare ce l metodo è convergente

26 Metod esplct one-step: Runge-Kutta m m ξ m! Metod numerc con ordne superore al prmo possono otteners consderando pù termn nell espansone n sere d Talor l metodo rsulta laboroso e rcede una certa regolartà per la unzone. Metod Runge-Kutta esplct: vengono rcavat esprmendo la unzone ncremento φ come una combnazone lneare d opportun valor assunt dalla unzone nell ntervallo [] sotto la condzone ce l metodo sa consstente e ce abba l ordne d accuratezza p desderato.! m

27 Metod Runge-Kutta: Heun Metodo d Heun: è un metodo Runge-Kutta esplcto accurato al secondo ordne: [ ] n K S dmostra ce l metodo d Heun è accurato al secondo ordne consstente e convergente. Forma alternatva: Il metodo d Heun è un metodo esplcto ad un passo a due stad. Eserczo consglato [GL] 6.6

28 Metodo Runge-Kutta classco Metodo d Runge-Kutta classco: metodo accurato al quarto ordne esplcto ad un passo a quattro stad: S dmostra ce l metodo d Runge-Kutta classco è accurato al quarto ordne consstente e convergente. Eserczo consglato [GL] 6.7

29 Pb. d Cauc: Metod one-step esplct: esempo [] ' Condzone nzale e Soluzone Metodo d Eulero Metodo d Heun Runge-Kutta classco

30 Metod one-step esplct: esempo >> ttn >> '-t' >> tetlnspacettn >> eteptettet >> [TeuUeu]EULESPttn >> [TrUr]RKttn >> [Tr4Ur4]RK4ttn >> plotteuueutrurtr4ur4tetet >> plotteuet-ueutret-urtr4et-ur4

31 Metod one-step esplct: esempo Soluzone.4 Errore Heun R.K. Classco Eulero Soluzone esatta R.K. Classco Eulero Heun.5.5

32 Metod numerc esplct one-step Per un metodo esplcto one-step n assenza d error d arrotondamento s dmostra ce: ε C p p e L L L: costante d Lpsctz d C p : costante dpendente dal metodo Teorema: sa φ C S lpsctzana n allora un metodo one-step esplcto è convergente se e solo se è consstente. Inoltre se l metodo è d ordne p s a: ε p dove è una costante ndpendente da e da.

33 Metod numerc esplct one-step C L e p p L η ε Detto η l errore d arrotondamento ce s produce nel calcolo d ad ogn passo s può scrvere: se η j η j per l errore globale d troncamento s a: η φ In partcolare per l metodo d Eulero: M L e L η ε [ ] '' ma M β con: Esercz consglat [GL]

34 Metod numerc esplct one-step Metodo d Eulero Errore globale Errore d troncamento Errore d arrotondamento Per < ott η/m l errore d troncamento è uguale a quello d arrotondamento e la maggorazone dell errore globale a un mnmo Per < ott predomna l errore d arrotondamento Per > ott predomna l errore d troncamento ott

35 Formula del punto centrale L algortmo del metodo md-pont o del punto centrale è: con valore d nnesco. Per l errore d troncamento locale nell potes ce C 3 I s a: R 3 ''' ξ ξ [ 3 ] Qund s tratta d un metodo esplcto a due pass del secondo ordne ce rcede ad ogn passo la una sola valutazone della unzone a derenza del metodo d Heun ce necessta d due valutazon unzonal.