Le forze conservative e l energia potenziale.

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1 Ver.0 del /0/08 Le orze conservatve e l energa potenzale. Le orze conservatve La denzone generale d lavoro d (r ) ra un punto nzale ed un punto nale W d sembrerebbe mplcare che n generale l lavoro debba dpendere dal percorso lungo l quale avvene lo spostamento e che per poter essere calcolato sa necessaro conoscere l equazone analtca della curva. Cò non è sempre vero. ) Lavoro della orza peso Voglamo calcolare l lavoro atto dalla orza peso un altezza y ad un altezza y seguendo una curva. W P mg mentre una m è spostata da y y dy d W Notare che: 80 cos cos y x Il lavoro atto dalla orza peso è: WP, P d mgdcos mg d cos mg () WP, mgy mgy dy mg y mgy mgy S trova che: l lavoro atto dalla orza peso è ndpendente dal percorso ma dpende solo da punto nzale ed al punto nale.

2 ) Lavoro della orza elastca Voglamo calcolare l lavoro atto dalla orza elastca el kx, durante uno spostamento lungo l asse x, da un punto nzale (d coordnata x ) ad uno nale (d coordnata x ) d una massa m collegata all estremtà della molla. el m s x x x Wel, el d x kxdx k xdx k kx kx () W el, kx kx S trova che l lavoro atto dalla orza elastca è ndpendente dal percorso ma dpende solo da punto nzale ed al punto nale. 3) Lavoro della orza d attrto (dnamco) Valutamo l lavoro della orza d attrto attr N, durante lo spostamento d una massa m su un pano orzzontale ruvdo da un punto nzale = ad un punto nale = su due percors dvers. d R att d a) lungo una semcrconerenza d raggo R W attr, dove d attr d N d cos N d N R R è la lunghezza della semcrconerenza d raggo R. b) lungo l dametro della crconerenza d raggo R

3 W attr, dove d attr d N d cos N d N R R è la lunghezza del dametro della crconerenza d raggo R. S trova che l lavoro atto dalla orza d attrto è: W N R se l percorso è l dametro attr, Wattr, NR se l percorso è la semcrconerenza ovvero dpende dallo spostamento da punto nzale al punto nale. Conclusone: c sono delle orze per le qual l lavoro compto per spostare un corpo da un punto ad un altro non dpende dal percorso: tal orze sono dette ORZE CONSERVTIVE. Qund la orza peso e la orza elastca sono orze conservatve, l attrto nvece è una orza non conservatva. Per le orze conservatve, l lavoro svolto lungo un dato percorso ra due punt è uguale a quello svolto lungo un qualsas percorso ra gl stess due punt: pertanto per valutare l lavoro svolto possamo usare l cammno ra due punt rspetto al quale l calcolo è pù acle. Denzone equvalente d orza conservatva: Il lavoro atto da una orza conservatva lungo un qualsas percorso chuso è nullo. W d 0 natt: d d ' Il percorso chuso può essere vsto come un percorso da lungo la curva, pù un percorso da lungo la lnea W d W W,, Osservamo che: a) la è conservatva per cu l lavoro da lungo la lnea è uguale a quello lungo la lnea : W, W, b) l lavoro sulla lnea da (spostamento d ) è uguale ed opposto a quello (spostamento d ' ) W, d' d W,, qund d W W W W W W 0 W,,,,,,, 3

4 L Energa Potenzale Per una orza conservatva, l lavoro W svolto per spostare un corpo da un punto nzale ad un punto nale non dpende dal percorso ma è ssato solo da due punt ed ovvero l lavoro non è pù una grandezza che dpende dal percorso ma esso è determnato solo da punt d partenza ed arrvo. Possamo pertanto pensare d costrure una unzone U, denta per ogn punto dello spazo, tale che W possa essere calcolato da valor d questa unzone ne punt ed a prescndere dal percorso seguto. Inatt, se guardamo la relazone () per la orza peso possamo scrvere: W P, mgy mgy U( y ) U( y ) U( y ) con U( y ) mgy + cost (3) la relazone () per la orza elastca possamo scrvere: W, kx + cost (4) el kx kx U( x ) U( x ) U( x) conu( x) Generalzzando dcamo che nel caso del lavoro atto da una orza conservatva (r ) possamo costrure una unzone U( r ) tale che W può essere calcolato da valor che la unzone U( r ) assume ne punt ed e precsamente ponamo: (5) W U ( r ) U ( r ) U La unzone U( r ) deve avere le dmenson d un lavoro, ossa d una energa, ed è chamata ENERGI POTENZILE. L aggettvo potenzale è dovuto al atto che questa è, come vedremo n seguto, un energa posseduta dal sstema che solo n certe condzon (ossa potenzalmente) può trasormars n lavoro. Unendo la denzone d Energa Potenzale (eq. 5) con la denzone generale d lavoro trovamo la ormula (eq. 6) con cu calcolare la unzone U( r ) per ogn specca orza conservatva (r ). W W U( r ) U( r ) U d (6) U d E evdente, dalla (6), che ogn orza conservatva avrà una specca espressone per l energa potenzale ad essa assocable. 4

5 Chameremo varazone nntesma du dell energa potenzale l lavoro nntesmo atto da una orza conservatva su un percorso pccolssmo (nntesmo) d : du d e qund U U U du d Osservazon mportant: ) La relazone (5) evdenza che l energa potenzale è posseduta da un corpo n quanto esso occupa una poszone nello spazo: energa assocata alla congurazone del sstema. ) Dalla denzone d U( r ) rsulta charo che solo alle sue varazon U hanno un sgncato sco, ossa sono collegabl al lavoro. 3) Spostamo con una orza applcata appl un corpo m, sul quale agsce anche una orza conservatva cons, da una poszone nzale ed una poszone nale con veloctàv cost. Detto W appl e W cons rspettvamente l lavoro della orza applcata e della orza conservatva, segue dal teorema dell energa cnetca che: K 0 W W 0 W appl, appl, W U, ma W W cons, cons, cons, cons, W appl, U Wcons, ovvero: portando un corpo da una poszone nzale ad una nale, la orza applcata svolge un lavoro che vene mmagazznato nel sstema come U; questa energa può successvamente essere trasormata n lavoro della orza conservatva rportando l corpo da ad. 4) Se è costante su un d d una generca drezone l, abbamo: d l du d U d cos du ( cos ) d du d qund per la drezone du d x x du dx 5

6 L energa potenzale della orza peso. La orza peso è conservatva ed abbamo ga dedotto l espressone della sua energa potenzale (ved eq. 3). Qu la rdscutamo a partre dalla denzone generale d energa potenzale (eq. 6). Consderamo uno spostamento d una massa m da un punto ad altezza y ad un punto ad altezza y. La orza peso è conservatva ed l percorso non è mportante percò sceglamo l percorso vertcale che semplca calcol. y d Dalla denzone d U( r ) e d orza peso scrvamo: U U U mg dy cos 80 mg d mgdy mg( y mg y ) mg U U mg( y y ) y O La varazone d energa potenzale dpende dalla poszone vertcale del punto nale rspetto alla poszone vertcale del punto nzale. Poché solo le derenze d energa potenzale hanno senso sco, per semplcare le relazon, s convene d porre U= 0 quando y =0 e s assume l punto nzale concdere con l orgne 0 ossa y = 0 U = U U = U(y) = mgy. Il punto n cu l energa potenzale è posta uguale a zero è detto punto d rermento. L energa potenzale della orza peso può essere scrtta come U(y) = mgy per un punto ad altezza y dal punto d orgne 0 con U(y=0)=0, (rcordando che è sempre una derenza rspetto al punto d rermento). Sgncato: come detto nell oss. 3, ma anche vsto analtcamente (nell esempo, lez. Lavoro) per portare, con veloctà costante, una massa m ad altezza y da un pano serve una orza applcata che a un lavoro mgy esattamente par all energa potenzale, qund l energa potenzale posseduta n una poszone da un massa per l azone della orza peso è anche l lavoro atto dalle orze applcate per portare la massa nella poszone occupata partendo dal punto d rermento ( a veloctà costante). Questa energa potrà trasormars n lavoro solo se la massa è lascata lbera d muovers altrment resterà mmagazznata nel sstema. 6

7 L energa potenzale della orza elastca. bbamo gà vsto che la orza elastca è conservatva ed abbamo gà dedotto l espressone della sua energa potenzale (ved eq. 4). Qu voglamo rtrovare la suddetta espressone partendo dalla denzone generale (eq. 6). Consderamo uno spostamento d una massa m da un punto d coordnata x ad un punto d coordnata x. el d x = 0 x x x Dalla denzone d U( r ) e d orza elastca kx scrvamo: U U U kx d U U kx kx kx dx kx kx La varazone d energa potenzale dpende dalla poszone del punto nale rspetto alla poszone del punto nzale. Solo le derenze d energa potenzale hanno senso sco, pertanto per semplcare le relazon s scegle l punto d rermento dell energa potenzale della orza elastca quello n cu la molla è a rposo (x = 0) e s convene d porre U(x=0)= 0 Se s assume l punto nzale concde con la poszone a rposo della molla ossa x = 0 U = U U = U(x) = kx L energa potenzale assocata alla orza elastca può essere scrtta come: U( x ) kx per un spostamento x dell estremo della molla dalla poszone d rposo assumendo che nella poszone d rposo sa U(x=0)=0 (rcordando che è sempre una derenza rspetto al punto d rermento). Sgncato: Per allungare (o comprmere) una molla con veloctà costante d una quanttà x (ved oss. 3 e lez. Lavoro, esempo ) serve una orza applcata che a lavoro kx, esattamente par all energa potenzale. Qund l energa potenzale posseduta da un molla allungata (compressa) è l lavoro atto dalle orze applcate per allungarla (comprmerla). L energa potenzale è posseduta dalla molla n quanto essa ha cambato congurazone ed è stata acqustata quando le orze applcate hanno dato la nuova congurazone alla molla portandola nella poszone nale. Questa energa potrà trasormars n lavoro solo se la molla è lascata lbera d muovers altrment resterà mmagazznata nel sstema.. 7

8 Energa meccanca e sua conservazone. Supponamo che una massa m sotto l azone d una orza conservatva, s sposta da uno stato nzale, caratterzzato da una veloctà v e da una poszone r, ad uno stato nale, caratterzzato da una veloctà v e da una poszone r. In ogn caso W = K= K K ma se la orza è conservatva vale anche W = U= U U qund K K = U U K + U = K + U Denamo Energa Meccanca la somma dell energa cnetca e dell energa potenzale. E M = K+U, la precedente può essere scrtta come E M, = E M,. Poché ed sono due punt generc la relazone precedente c dce che: a) E M = K+U= cost, equvalentemente b) E M = K+U= 0, Possamo enuncare l prncpo d conservazone dell energa meccanca: se n un sstema agsce solo una orza conservatva, l energa meccanca s conserva ovvero non può cambare nel tempo. L energa cnetca e quella potenzale possono varare, stante per stante, ma n modo che la varazone dell una sa compensata dalla varazone dell altra. 8

9 Caso: Caduta lbera Massa m lascata da erma da un altezza h da un pano. y =h v = 0 solo energa potenzale E M, = mgh h y = h/ v 0 sa energa potenzale che cnetca E M. = mg mv y =0 v=v Max solo energa cnetca E M,3 = mv Max con E M, = E M, = E M,3 n partcolare usando E M, = E M,3 è possble calcolare mmedatamente la v Max mgh mvmax vmax gh (rsultato gà trovato per va cnematca) Gracamente: U K E T K U 0 Graco dell Energa Potenzale h y 0 Graco dell Energa Cnetca h y 9

10 caso: Energa nel moto armonco Consderamo un sstema massa-molla orzzontale. d un generco stante t abbamo: x(t)= cos(t +) v(t)=- sen(t +) dove x Max =, v Max =, con una energa totale E T = U(t) +K(t) E T kx ( t ) mv ( t ) k cos ( t ) m sen k k cos ( t ) m sen m E k kx costante T Max k( cos( t )) ( m ) ( t ) ( t ) m( sen( t )) (osservando che k (cos m( ) ( t ) sen mv Max k m ) ( t )) Conclusone: n un moto armonco U e K varano con la poszone ma la loro somma è costante ed è par a ET kxmax mvmax U(x) K(x) E T K E T U -x Max 0 x Max Graco dell Energa Potenzale -x Max 0 x Max Graco dell Energa Cnetca In partcolare: d x = 0 molla a rposo, U = 0 e K massma par a mv Max E d x = x Max molla all allungamento massmo, U massma par a d x = -x Max molla alla compressone massma U massma par a T kx Max ET, K =0 kx Max ET, K =0 (s rcorda che x Max e x Max sono le coordnate de punt d nversone del moto) 0

11 Consderazon general su grac dell energa potenzale Consderamo una energa potenzale U(x) unzone della sola coordnata x. L energa meccanca per una partcella d massa m che sente questo potenzale e ha veloctà v n una poszone x è: E M mv U( x ). Possamo da essa, calcolare la veloctà: v ( E U( x )) m M che è reale solo se U(x) E M qund l moto d una partcella avente energa meccanca E M può aver luogo solo nella regone d spazo n cu s ha U(x) E M. lcun cas: a) Per E M = E (g a), la partcella può muovers solo nella regone per x < x < x e n un punto generco x d tale regone essa ha energa cnetca K ed energa potenzale U. I punt x ed x, dove E M = U(x ) = U(x ) e d conseguenza K = 0, s ha l nversone del moto. U(x) K U E x x x x g a) b) Per E M = E (g b), la partcella può muovers nella regone x < x < x oppure x 3 < x < x 4, a seconda del punto d partenza del moto, ma non può passare da una regone altra perché dovrebbe transtare nella regone x < x < x 3 ; regone non permessa perché n essa U(x) > E M (s dce, n questo caso, che esste una barrera d potenzale). Per poter passare da una regone all altra, la partcella deve avere una energa maggore (caso c). In un punto generco x delle regon permesse la partcella ha energa cnetca K ed energa potenzale U

12 U(x) E K x U x x x 3 x 4 x g. b) c) Per E M = E 3 > E (g c), la partcella può muovers n tutta la regone ra x < x < x 4. In un punto generco x della regone permessa la partcella ha energa cnetca K ed energa potenzale U. U(x) K E 3 U x x 4 x x g. c) d) Per E M = E 4 la partcella può muovers lberamente n tutt punt nella regone x > x e n un punto generco x essa ha energa cnetca K ed energa potenzale U. U(x) K E 4 U x x x g. d)

13 Rcordamo che data una unzone U(x), punt d massmo o d mnmo relatv sono quell n cu du U du rsulta 0. Sappamo che, qund ne punt d massmo o d mnmo dx x dx relatv della energa potenzale U(x) abbamo = 0 e qund (da = ma, a =0 ) punt d massmo o d mnmo relatv della energa potenzale U(x) sono punt d equlbro. Punt d equlbro stabl e nstabl C è una sgncatva derenza però ra punt d massmo e d mnmo dell energa potenzale. x m = punto d mnmo Spostamento da x m verso x x = x x m < 0 U(x) Spostamento da x m verso x x = x x m > 0 U =U(x ) U(x m ) > 0 U =U(x ) U(x m ) > 0 U x 0 0 x x m x x x U x 0 0 Conclusone: se la partcella è spostata d una quanttà x da x m, poszone d mnmo d U(x), s generano delle orze, opposte allo spostamento x, che rportano la partcella nella poszone d mmno e pertanto x m è un punto d equlbro stable. x M = punto d massmo Spostamento da x M verso x x = x x m < 0 U(x) Spostamento da x M verso x x = x x m > 0 U = U(x ) U(x m ) < 0 U = U(x ) U(x m ) < 0 U x 0 0 x x M x x x U x 0 0 Conclusone: se la partcella è spostata d una quanttà x da x M, poszone d massmo d U(x), s generano delle orze, concord con lo spostamento x, che anno allontanare sempre pù la partcella nella poszone d massmo e pertanto x M è un punto d equlbro nstable. 3

14 Generalzzazone del prncpo d conservazone dell energa meccanca a) Caso d N orze tutte conservatve. Supponamo ora che una massa m evolve da uno stato nzale ad uno stato nale sotto l azone N orze conservatve. Sa v la veloctà nello punto nzale, (poszone r ) e v quella nello stato nale (una poszone r ). In ogn caso, l lavoro totale atto da tutte le orze può scrvers: W T, = K = K K (*) mentre per ogn sngola orza conservatva l lavoro può essere calcolato dalla corrspondente espressone dell energa potenzale per la orza per la orza per la orza W, = -U = U, U, W, = -U = U, U, W 3, = -U 3 = U 3, U 3, 3 ecc, con W T, = W, + W, + W, = U, U, + U, U, + U 3, U 3,, per (*) K K = U, U, + U, U, + U 3, U 3, K + U, + U, + U 3,... = K + U, + U, + U 3,... N Generalzzando la denzone d Energa Meccanca E M K U (somma dell energa cnetca e d tutte le energe potenzal) possamo scrvere la precedente come E M, = E M,. Poché ed sono due punt generc, la relazone precedente c dce che: a) E M = K+U= cost, equvalentemente b) E M = K+U= 0, Se n un sstema agscono solo orze conservatve, l energa meccanca s conserva, ovvero non può cambare nel tempo. L energa cnetca e var termn d energa potenzale possono varare, stante per stante, ma n modo tale che le varazon s compensano ra loro. 4

15 Esempo d energa meccanca totale con pù orze conservatve Massa m sospesa ad una molla vertcale deale d costante elastca k l = lunghezza a rposo della molla x v 0 x x 3 v 3 0 x = 0, rermento energa potenzale elastca v y y y 3 y = 0, rermento energa potenzale della orza peso poszone, sstema n equlbro stable poszone, massa n movmento E M E M kx kx mgy poszone 3, molla alla massma compressone E M mgy kx 3 mv mgy 3 5

16 ) Presenza d una orza non conservatva ra N tutte conservatve. Supponamo ora che una massa m s sposta da uno stato nzale ad uno stato nale sotto l azone N orze conservatve ed una non conservatva. Sa v la veloctà nello punto nzale, (poszone r ) e v quella nello stato nale (poszone r ). In ogn caso, l lavoro totale atto da tutte le orze può scrvers: W T, = K = K K (*) ssumamo sa la orza non conservatva; l suo lavoro sarà calcolable solo come: per la orza W, = W nc,, = d mentre per ogn sngola orza conservatva l lavoro può essere calcolato dalla corrspondente espressone dell energa potenzale per la orza per la orza W, = -U = U, U, W 3, = -U 3 = U 3, U 3, 3 ecc, con W T, = W nc, + W, + W, = W nc, + U, U, + U 3, U 3, per (*) K K = W nc, + U, U, + U 3, U 3, K + U, + U 3, = K + U, + U 3, + W nc, con E K N M U E M, = E M, + W nc, E M = K+U= W nc, Poché ed sono due punt generc, la relazone precedente c dce che n presenza d una orza non conservatva a) E M = K+U non è costante, equvalentemente b) E M 0 n partcolare E M = W nc, Se n un sstema agscono delle orza non conservatve, l energa meccanca totale non s conserva e la sua varazone è par al lavoro atto dalle orze non conservatve. Poché s trova che l lavoro atto dalle orze conservatve sul sstema è negatvo (come vedremo ra poco), l energa meccanca totale n presenza d orze non conservatve dmnusce. 6

17 Verchamo che l lavoro atto dalla orza d attrto (orza non conservatva) su un sstema è negatvo. att v h d att v h W att d att d cos80 att d ( mgcos ) d 0 (negatvo come detto) E M W nc, K U mgdcos mv mv mgh mgh mgdcos mv mgh mgdcos mv mgh EM, mgd cos EM, L energa meccanca dmnusce; quella nale sommata al lavoro della orza conservatva n valore assoluto è par all energa meccanca nzale. Generalzzazone della conservazone dell energa. bbamo appena osservato che n caso d presenza d orze non conservatve l energa meccanca E M = K+U non s conserva. S possono denre, come vedremo n seguto, molte orme d energa: energa termca, energa potenzale elettrostatca, energa nucleare e altre ancora. Cò che s osserva spermentalmente è che la somma d tutte le orme d energa d un sstema solato, detta ENERGI TOTLE (E T ), s conserva. Un sstema è tenuto nseme da orze d nterazon dverse e ad ognuna d esse è assocata una energa specca; pertanto possamo dre che un sstema possede, per l solo atto d avere una certa congurazone, una ENERGI INTERN (E INT ) data dalla somma d tutt quest termn d energa. L energa totale d un sstema sarà data da: E T = E M + E INT = K+U + E INT = cost, sempre E T = 0, sempre. Se, per la presenza d orze non conservatve, E M = K + U 0 E T = E M + E INT =0 E M = E INT ovvero se n un sstema solato s osserva una varazone dell energa meccanca, c sarà d conseguenza una varazone d segno opposto dell energa nterna. Inatt, quando samo n presenza d attrto c è una dmnuzone dell energa meccanca e s osserva un rscaldamento del sstema coè un aumento d energa termca (nterna) del sstema. 7