PROVA SCRITTA DI MECCANICA RAZIONALE (15 gennaio 2016) ( C.d.L. Ing. Energetica - Prof. A. Muracchini)

Transcript

1 PRV SRITT DI MENI RZINLE (15 gennao 2016) (.d.l. Ing. Energetca - Prof.. Muracchn) Il sstema n fgura, moble n un pano vertcale, è costtuto d un asta omogenea (massa m, lunghezza 2l) l cu estremo è vncolato a scorrere lungo l asse senza oltrepassare l punto d ordnata q = l. ltre alla forza peso, agscono sul sstema: ) la forza elastca el. = k (k > 0); ) la forza = ( > 0, costante; versore dell asse ) applcata nel punto ; ) la forza d resstenza vscosa Ψ = hv (h > 0), che s esercta sul punto. ssunt come parametr lagrangan l angolo e l ordnata q del punto (ved fgura) e ntrodotto l parametro admensonale postvo λ = mg/2 s chede: 1) Rcavare le confgurazon d equlbro ordnare e dscuterne la stabltà; 2) Determnare, n funzone della costante elastca k della molla, le eventual confgurazon d equlbro d confne; 3) Usando le equazon cardnal della statca, rtrovare le confgurazon d equlbro gà determnate nella domanda (1) e calcolare la reazone vncolare che s esercta n nelle poszon d equlbro; 4) alcolare la reazone vncolare che s esercta n durante l moto; 5) Rcavare le equazon d Lagrange del moto. q q= - l

2 PRV SRITT DI MENI RZINLE (4 febbrao 2016) (.d.l. Ing. Energetca Prof.. Muracchn) Il sstema n fgura, moble nel pano vertcale, è costtuto d un asta rgda, (lunghezza l) la cu massa (m) è nteramente concentrata nell estremo P. L altro estremo Q è vncolato a muovers, senza attrto, lungo l asse non potendo superare punt M = (-l/2, 0) ed N = (2l, 0). ltre alla forza peso, agsce sull asta la forza elastca el. = (mg/2l) P [ = (0, 2l) ]. Suppost vncol deal e ntrodott parametr lagrangan (ascssa dell estremo Q dell asta) e rappresentat n fgura, s chede: 1) Dopo avere rappresentato grafcamente lo spazo delle confgurazon del sstema, determnare le confgurazon d equlbro ordnare ed esamnarne la stabltà. Studare po l eventuale equlbro delle confgurazon d confne; 2) alcolare l valore della reazone vncolare che s esercta sul punto Q nella poszone d equlbro stable; 3) Scrvere l energa cnetca del sstema e determnare eventual ntegral prm del moto; 4) Studare le pccole oscllazon del sstema nell ntorno della confgurazone d equlbro stable. -2l P l -l/2 2l Q M N

3 PRV SRITT DI MENI RZINLE (15 aprle 2016) (.d.l. Ing. Energetca - Prof.. Muracchn) In un pano vertcale, una crconferenza omogenea γ (raggo R, massa m) rotola senza strscare sull asse e un punto P (massa 2m) è vncolato a muovers, senza attrto, su d essa. Su P agsce, oltre al peso, la forza elastca el. = kp che s mantene sempre orzzontale (ved fgura). lla crconferenza è applcata nel suo punto pù alto una forza costante = (>0). ssunt come parametr lagrangan gl angol, ϕ rappresentat n fgura e ntrodott parametr admensonal s chede: λ = kr 2mg R+, µ = mg R+, 1) Determnare, n funzone d λ e µ, le confgurazon d equlbro del sstema. Supposto d ora n po, per semplctà d calcolo, che sa λ = 2 e µ = 1, s chede: 2) Studare la stabltà delle confgurazon d equlbro trovate nella domanda (1); 3) alcolare la reazone vncolare che s esercta n all equlbro; 4) Scrvere la funzone lagrangana L del sstema e rcavare le equazon lnearzzate del moto nell ntorno della poszone d equlbro stable. P G ϕ γ R

4 PRV SRITT DI MENI RZINLE (16 gugno 2016) (.d.l. Ing. Energetca - Prof.. Muracchn) In un pano vertcale, è moble un asta rgda omogenea (massa m, lunghezza 2l) cu estrem e sono vncolat a scorrere, senza attrto, lungo gl ass e, rspettvamente. Il barcentro G dell asta è collegato, medante una molla deale d costante elastca k = mg/4l, ad un punto P (massa m) vncolato a muovers, anch esso senza attrto, su una guda crcolare γ (raggo l, centro ). ssunt come parametr lagrangan gl angol, ϕ rappresentat n fgura e mponendo che sa k = mg/4l, s chede: 1) Determnare le confgurazon d equlbro del sstema e studarne la stabltà; 2) alcolare le reazon vncolar che s eserctano n, n e n P nella poszone d equlbro stable; 3) Rcavare le equazon d Lagrange del moto; 4) Scrvere le equazon lnearzzate del moto nell ntorno della poszone d equlbro stable. γ G ϕ P

5 PRV SRITT DI MENI RZINLE (6 luglo 2016) (.d.l. Ing. Energetca - Prof.. Muracchn) In un pano vertcale, è moble un asta rgda omogenea (massa m, lunghezza 2l) l cu estremo è vncolato a scorrere, medante un cursore lsco, sulla bsettrce del prmo quadrante senza oltrepassare l orgne del sstema d rfermento. ltre al peso, sono applcate, agl estrem e dell asta, due forze elastche (, ) dovute all azone d due molle deal d eguale costante k (ved fgura). ssunt come parametr lagrangan, e ξ rappresentat n fgura s chede: 1) Determnare le confgurazon d equlbro ordnare e d confne esamnando la stabltà delle prme; 2) Rappresentare, sulla base tn (ved fgura), la reazone vncolare che s esercta sull estremo dell asta nelle poszon d equlbro stable; 3) alcolare: a) l energa cnetca dell asta e b) l momento della quanttà d moto rspetto al polo ; 4) Scrvere le equazon d Lagrange del moto. D ξ n t

6 PRV SRITT DI MENI RZINLE (7 settembre 2016) (.d.l. Ing. Energetca Prof. Muracchn) Il sstema n fgura, moble nel pano vertcale, è costtuto d due punt materal P 1 e P 2, entramb d massa m, saldat agl estrem d un asta d massa trascurable e lunghezza 2l. Il punto P 1 è vncolato a muovers lungo l asse vertcale mentre l asta è vncolata a passare entro l cursore fsso Q (d,0). Suppost tutt vncol deal e ntrodotto l parametro lagrangano rappresentato n fgura, s chede: 1) Dopo avere prelmnarmente ndvduato l ntervallo d valor entro cu vara la coordnata, determnare n funzone del parametro admensonale λ = d/l (> 0), le confgurazon d equlbro ordnare dscutendone, po, la stabltà; 2) alcolare la reazone vncolare che s esercta sul punto P 1 n condzon statche e rtrovare, usando le equazon cardnal della statca, le poszon d equlbro gà determnate nella domanda precedente; 3) Scrvere l energa cnetca del sstema. P 1 d Q 2P