Maurizio Piccinini A.A Fisica Generale B. Entropia. Scuola di Ingegneria e Architettura UNIBO Cesena Anno Accademico

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1 Fsca Generale B Scuola d Ingegnera e Archtettura UNIBO esena Anno Accademco

2 δ δ 0 Nel caso d ccl reversbl: = 0 Ogn parte d un cclo reversble è reversble, qund dat due stat ntermed qualunque ed del cclo: 1 δ δ δ + = 0 = δ = ds = S S S 1 1 δ S = unzone d stato: S( A) = A O δ ds δ = Formulazone matematca del secondo prncpo della termodnamca.

3 I rasormazone non reversble: δ δ δ = + < 0 I I I δ δ < = S δ δ S = δ S > I Integral d lausus S Metodo per scoprre se una trasormazone è reversble: 1. S calcola l ntegrale d lausus lungo la trasormazone n esame (N.B.: è la temperatura de termostat con qual s scamba l calore δ ).. S calcola l ntegrale d lausus lungo una trasormazone scuramente reversble, ottenendo S. 3. S conrontano due rsultat. 3

4 Prncpo d aumento dell entropa L entropa d un sstema solato termcamente aumenta se esso esegue una trasormazone rreversble, resta costante se la trasormazone è reversble. δ Sccome δ = 0 S = 0 1. Espansone lbera δ δ = 0 I = 0 Esempo 1: espansone adabatca d un gas peretto. Espansone reversble (non lbera: ad esempo accompagnata con un pstone) δ δ = 0 S = = 0 } = 0 δ S = sot = n U = 0 S 0 p dv V = n ln > 0 p V V 4

5 S 0 Prncpo d aumento dell entropa Esempo : passaggo spontaneo d calore tra due termostat 1 Ipotes: Il conduttore d collegamento non camba l suo stato. Per calcolare S, vsto che 1 e non cambano, s consderno trasormazon reversbl soterme. δ 1 S1 = sot = δ = 1 S = S1 + S = + = > 1 1 S sot Se 1 =, S = 0 Se 1 >>, S δ 1 = sot = δ = sot La varazone d entropa d un sstema solato msura l grado d rreversbltà delle trasormazon avvenute al suo nterno. S = = L 1 1 Lavoro d una macchna d arnot che unzona tra 1 e assorbendo l calore da 1. 5

6 Prncpo d aumento dell entropa Ogn enomeno sco procede n modo da ar aumentare la somma delle entrope d tutt corp che partecpano al enomeno (la somma rmane costante nel caso deale n cu tutte le trasormazon convolte sano reversbl) È utle denre l unverso, ormato dal sstema n esame + tutt sstem con esso nteragent (ambente), tale da costture un sstema solato termcamente. Essendo l unverso solato termcamente, s ha: S U 0 Ulterore ormulazone del secondo prncpo della termodnamca. 6

7 Prncpo d aumento dell entropa S U 0 In una trasormazone cclca d un sstema, ormata da pù trasormazon, la varazone d entropa dell unverso è data dalla somma delle varazon d entropa dell unverso corrspondent alle sole trasormazon rreversbl: cascuno d quest contrbut è la somma delle corrspondent varazon d entropa del sstema e dell ambente. ( ) 0 S = S + S > UI S A I I Sstema Ambente Unverso ( ) 0 S = S + S = U S A S = S + > 0 U U S UI 7

8 Prncpo d aumento dell entropa S U 0 In una trasormazone cclca d un sstema, la varazone d entropa dell unverso è data dalla sola varazone d entropa dell ambente sull ntero cclo, n quanto l sstema non camba la sua entropa (unzone d stato). Unverso I Ambente Sstema S A > 0 = 0 S S S = S + > 0 U S S A 8

9 1 M L L < 0 η = L e rendmento L SU = S1 + S = + 1 L = S 1 U 1 L max 1 1 L SU = 1 η = 1 SU 1 La macchna M scamba calore solo con serbato 1 e, qund l sstema macchna + serbato è solato termcamente. L = Lmax SU Eetto arnot uesto lavoro non atto corrsponde a energa traserta rreversblmente a un termostato a temperatura mnore. Eetto lausus Se quest ultmo è l termostato pù reddo d cu s dspone, questa energa non potrà pù essere trasormata n lavoro! 9

10 e rendmento: macchna reale macchna equvalente 1 1 L 1 1 ' SU = ' 1 1 L = 1 1 ' 1 1 ' Lmax L = = = S 1 ' ' L = Lmax SU Lmax 1 = se osse macchna d arnot 1 Ogn macchna reale che unzona tra due termostat s comporta come un trasermento rreversble del calore dalla temperatura 1 a una temperatura pù bassa 1, seguto da una macchna d arnot che unzona tra 1 e. 1 ' = 1 SU + 1 Il lavoro perso è legato alla varazone d entropa dell unverso n seguto al suddetto trasermento spontaneo e rreversble d calore. U 10

11 e rendmento: macchna reale macchna equvalente 1 L L ' L = 1 1 ' ' SU = L = ' ( ) 1 ' Lmax L = = S 1 L = Lmax SU Lmax 1 = se osse macchna d arnot 1 Ogn macchna reale che unzona tra due termostat s comporta come una macchna d arnot che unzona tra 1 e seguta da un trasermento rreversble del calore resduo L dalla temperatura a quella pù bassa. S 1 U ' = 1+ Il lavoro perso è legato alla varazone d entropa dell unverso n seguto al suddetto trasermento spontaneo e rreversble d calore. U 11

12 1 e rendmento M L L = S 1 U 1 η = 1 SU 1 L < 0 L = Lmax SU Eetto arnot Eetto lausus Pur conservandos, n seguto ad ogn processo rreversble l energa s degrada; coè dventa sempre pù dcle (meno ecente) trasormarla n lavoro 1

13 e sstem drostatc δ = ds = ds + 1 S clo d arnot du = δ δ L Per trasormazon reversbl: du = δ δ L du = ds pdv S e V sono varabl natural per esprmere l energa nterna U U = ; p = S V V S ds = pdv + du S rcavano espresson specche per S nel caso d lud termodnamc e, n partcolare, d gas perett. S 13

14 e sstem drostatc U U δ = + p dv + d 1 V o P V 1 U 1 U ds = p dv d o V + + P V S V ds = derenzale esatto S S S = V V V 1 U 1 U = + p V V V 1 U 1 U 1 U p = + p + + V V V V U V p = p V p p p 0 gas peretto pv = n U n = = = V V U = U ( ) 14

15 S rcavano espresson specche per S nel caso d lud termodnamc e, n partcolare, d gas perett. V ( p) Per un gas peretto: δ = ncv d + pdv δ = ncpd Vdp δ ds = = d V ( p) d V ( p) ds = V ( p) d d S Isocora (sobara) reversble = V ( p ) d dv ds = ncv + n V d dp ds = ncp n p V S = n cv ln + n ln V S = ncp ln n ln δ = ds p p p ( γ 1) ( 1 1 γ ) = cv = c ( γ ) V p V p S = nc = nc = nc ( γ ) 1 γ 1 1 V ln ln ln ( γ 1) V γ p 1 1 V pv p ( γ ) 15

16 emperatura assoluta Partendo dal teorema d arnot voglamo trovare esplctamente la dpendenza unzonale del rendmento d una macchna d arnot dalla temperatura msurata da un qualunque termometro. (, ) = 1 ( 1, 0 ) ψ ( 1 ) ϕ( 0 ) = (, ) ψ ( ) ϕ( ) = (, ) L = 1 + S può qund denre una temperatura assoluta 1 ( 1 ) = ψ = ψ ( ) 1 A A η = e acendo la scelta d assegnare l valore A (pta) = alla temperatura del punto trplo dell acqua: A 1 1 A 1 = 0 = 0 (, ) 1 0 (, ) 0 L = A = K 3 Graze al teorema d arnot: A = GP 0 16

17 1 1 + = S c Se e e temperatura assoluta L1 = 1 + = 1 o = 1 o = S c Sc = 0 o 1 L = L10 = S 1 c 1 1 = o S c rappresenta l calore scambato con un serbatoo a 1 K da una macchna d arnot unzonante tra le temperature e 1. 17

18 e temperatura assoluta δ S tot c δ S c δ = = = o = S 1 1 δ S c V La varazone d entropa d una trasormazone rappresenta l calore che verrebbe scambato con un serbatoo a 1 K, qualora l calore scambato durante la trasormazone osse utlzzato reversblmente per produrre lavoro. 18

19 ed energa lbera Energa lbera d Helmholtz Energa lbera d Gbbs F = U S G F = H U = pv G = H S G = F + pv Sstema termodnamco che nteragsce con un termostato (ambente) δ S S U U + L = S S ( ) ( ) U S U S L F L Se la pressone esterna è costante: ( ) F L = p V V F + pv pv 0 ( F pv ) ( F pv ) Se L = 0 F 0 G 0 (Potenzal termodnamc) 19

20 L entropa è assoluta? GP 1 V S = n ln + ln γ 1 V GP 1 S = N k ln + ln V + c γ 1 eorema d Nernst (Impropramente detto erzo Prncpo della ermodnamca) L entropa allo zero assoluto d una sostanza pura allo stato soldo è par a zero Altro enuncato del (cosddetto)erzo Prncpo della ermodnamca Non è possble rareddare un corpo no allo zero assoluto con un processo composto da un numero nto d pass. nestre sulla Meccanca uantstca 0

21 e probabltà È noto l mcrostato d un sstema quando s conoscono gl stat dnamc de sngol costtuent. È noto l macrostato d un sstema quando s conoscono le varabl macroscopche che lo caratterzzano. Ad un unco macrostato possono corrspondere pù mcrostat. Esempo: dsposzone d 4 molecole nelle due metà d un volume w(0,4) = 1 P(0,4) = 1/16 w(,) = 6 P(,) = 6/16 1

22 e probabltà Lo stato d equlbro è l macrostato cu è assocato l maggor numero d mcrostat Se un sstema, costretto nzalmente n un macrostato caratterzzato da un numero rdotto d mcrostat, vene lascato lbero d occupare altr mcrostat, evolve spontaneamente verso l macrostato pù probable, compatble con la conservazone dell energa. Parallelsmo Maggore probabltà Maggore entropa Esempo: espansone lbera del gas peretto. Il volume maggore, pù probable, è quello d entropa maggore S GP = V N k ln V Dalla ermodnamca Statstca: S = k ln w