Matematica e Fisica. I modelli della teoria cinetica dei gas. Filippo Martelli. Dipartimento di Scienze Pure e Applicate Università di Urbino

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1 Matematca e Fsca I modell della teora cnetca de gas Flppo Martell Dpartmento d Scenze Pure e Applcate Unverstà d Urbno

2 La matematca è l lnguaggo della fsca Scenza spermentale ESPERIMENTO Grandezze fsche (es. lunghezza, massa, tempo, temperatura, ) Msura y x yx ( ) Legge fsca Legge fsca Legge fsca T E O R I A

3 F Esempo + F F Q F Q F R F Q Q R F Q Q rˆ R Legge d Coulomb

4 I modell Termodna LEGGI mca Modello Modello cnetco fsco-matematco del gas deale TEORIA Meccanca Statstca

5 Un po d termodnamca Gas deale T costante p Le molecole non nteragscono Le molecole sono puntform F S V pv costante Boyle V T Dlatazone termca pv pv T mol T 73.5 K nt V Gas rarefatto.4 ltr pv nrt Equazone d stato de gas deal J R 8.34 mol K

6 L F h ps h p V h p Il gas che s espande compe lavoro T 3 T T < T < T3 B T A Isoterma V A Pano d Clapeyron V B p nrt V V

7 Energa potenzale Epot mgh Dove è fnta l energa cnetca? Le forze conservatve conservano l energa meccanca Energa cnetca Ecn mv

8 Funzona sempre? L attrto è una forza dsspatva e non s conserva l energa meccanca Che brutta cosa!!!! Energa cnetca Non c è Energa potenzale

9 Q mc( T T ) f Q s msura n calore cal porta g H O da 4.5 a 5.5 C L Q L Q L3 Q3 Q(cal) L(J) James Prescott Joule Il lavoro computo su un sstema da una forza dsspatva equvale al calore che bsogna prelevare per rportarlo allo stato nzale

10 Conseguenze Calore e lavoro sono due forme dverse d energa E possble trasformare calore n lavoro meccanco (e vceversa) Calore Macchna Termca Lavoro Quando l calore fornto non vene nteramente trasformato n lavoro s accumula energa nterna nel gas E E E Q L fn n D accordo! Ma questa energa cos è???

11 Modello cnetco d un gas deale James Cler Maxwell Ostwald (895): «L asserzone che tutt fenomen natural sono n ultma anals rducbl a fenomen meccanc non può neppure essere presa n consderazone come utle potes d lavoro: è semplcemente sbaglata» [W. Ostwald, Rev. Gén. Sc. 6, 956 (895)] Mach (90): «Non sarebbe confacente alla scenza fsca l consderare gl strument mutevol ed economc da essa stessa creat, qual le molecole e gl atom, alla stregua d realtà sottostant a fenomen [ ] l atomo deve restare uno strumento [ ] come la funzone della matematca» [E. Mach, Popular Scentfc Lectures, p. 07, Open Court, Chcago, 90]

12 v x F x p L v v ( v ) mv Fx max m m t t t x x x x tra un urto e l altro L vx t F mvx mvx L x mv Fx + Fx +... p L S S SL Approssmo la v d ogn molecola con la veloctà meda N mv N Avogadro 6.0 x 0 3 x mvx + mvx +... nn Amvx SL V V v v x x N v x L N x pv nn A mv x x

13 R N A Termodnamca pv nrt E le altre drezon? nrt nn m A J/K x v 3 z v z v x v Costante d Boltzmann v y y 3T Modello cnetco pv v v + v + v x y z Non c è ragone per predlgere una drezone vx vy vz v 3v x pv mv nn mv A x v nn Am 3 3 Ecn mv T E nt 3 mol RT

14 Cosa abbamo mparato? 3 Ecn mv T La temperatura msura l energa meda delle molecole. Le molecole d un oggetto caldo s muovono pù velocemente d quelle d un oggetto pù freddo. Se mettamo n contatto due corp, gl urt tra le molecole trasferranno parte dell energa cnetca delle molecole pù veloc (calde) a quelle pù lente (fredde). Questo flusso d energa è quello che a lvello macroscopco chamamo calore.

15 Ma c è un altro mstero Macchna Termca NON FUNZIONA!!!! Calore Macchna Termca Calore Lavoro prncpo della termodnamca: non è possble trasformare nteramente n lavoro meccanco l calore assorbto da una sorgente termca.

16 C è anche d peggo Process reversbl Process rreversbl Calore In natura avvengono n pratca solo process rreversbl Macchna Termca Lavoro Calore Carnot S Q T Varazone d entropa Macchna Termca S S In un sstema solato process rreversbl portano sempre ad un aumento d entropa S Lavoro S

17 Raffnamo l modello v v x x y??? e g o l p c j q b h n u s d r w a x f v m z t n ne N E C sono tant mod d soddsfare quest vncol E n Qual è la dstrbuzone pù probable? (,6) (,5) (3,4) (4,3) (5,) (6,) 6 (,) 8 (,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,) 5 3 (,) (,) 9 (3,6) (4,5) (5,4) (6,3) 4 4 (,3) (,) (3,) 3 0 (4,6) (5,5) (6,4) 3 5 (,4) (,3) (3,) (4,) 4 (5,6) (6,5) 6 (,5) (,4) (3,3) (4,) (5,) 5 (6,6) E mv

18 Esponenzal e Logartm y e x y ln x

19 Un po d calcolo combnatoro N... Permutazon: n quant mod s possono ordnare? N ( N ) ( N ) 3 N! N N ( N ) ( N ) ( N + ) Dsposzon: n quant mod se ne possono sceglere? N! ( N )! La prma La seconda La terza La ma

20 N molecole dstngubl Tornamo al gas raggruppament n energa n e g N! n N n z n n3 u t n b ( N n )! f ( N n n )! N! ( N n )!!( )! n!( N n n)! n3!( N n n n3)! 3 Ma le molecole sono ndstngubl qund dvdamo per le N! permutazon Bsogna scoprre per quale nseme d valor n W sarà massma: questa è la confgurazone pù probable Astuze W n N! n! n! n! n! n! n! Approssmazone d Strlng lnw ln ln n! n n ln n N n ln n n! E Trovamo l massmo d lnw N n ln n n N ne E

21 y y f( x) Come fare? z f( xy, ) y y z x x x x x y lnw N n ln n È una funzone delle varabl n, con molto grande. Usando le dervate s ottengono valor d n corrspondent al massmo, n un solo passaggo. Ma non è così semplce! C sono de vncol: n ne N E

22 I moltplcator d Lagrange Massmo della funzone Il vncolo è smle al sentero da segure durante una passeggata n montagna: non passa necessaramente per la vetta, ma certamente raggunge una quota massma. Nel massmo sono parallel Vncolo Massmo da trovare Moltplcatore d Lagrange MPendenza f( xy, ) Se c sono pù vncol, s ntroducono altrettant moltplcator Massma pendenza d f(x,y) α MPendenza gxy (, ) Massma pendenza del vncolo MPend f( xy, ) + αmpend (v) + βmpend (v) + 0

23 lnw N n ln n n ne ln n N E Vncolo α βe La soluzone Funzone Vncolo n e α β ( ln n + α + βe ) 0 Massma pendenza della funzone E Massma pendenza vncolo Massma pendenza vncolo ln W N + Nα + βe ( N + ) α + βe E lnw α ( N + ) β β

24 Termodnamca Modello cnetco Q E Q T S T quas costante E S lnw L entropa è una msura del numero d stat accessbl al sstema. Il sstema evolve statstcamente verso la confgurazone pù probable, massmzzando qund l entropa. lnw α ( N + ) β β lnw E N α β β Possono varare β ; α µ T T n e ( E µ ) T Dstrbuzone d Maxwell-Boltzmann Non s aggunge gas

25 Partendo da questa defnzone d entropa è possble rcavare tutte le legg della termodnamca (meccanca statstca). La probabltà e la statstca entrano prepotentemente nelle legg della natura, ntroducendo aspett d aleatoretà estrane ad una vsone meccancstca del mondo. La tomba d Boltzmann (Venna) La matematca del calcolo combnatoro non descrve solo goch, ma anche una delle pù profonde legg della fsca: l Secondo Prncpo della termodnamca.

26 Esempo: l espansone lbera Gas Vuoto Non avvene: perché?

27 N snstra destra W 0 0!!0!!!!! 0!! N 4 N!!( N )! 4 4

28 N!!( N )! 6 64 N6 snstra destra W

29 N0 snstra destra W

30 L energa della palla vene dstrbuta tra le altre 5 Non è mpossble, ma MOLTO mprobable Perché questo avvenga, ognuna delle 5 palle dovrebbe nzare l moto con veloctà e drezon guste per concorrere a fornre energa alla palla banca

31 Concluson Un semplce modellno meccanco c ha permesso d capre una realtà mcroscopca altrment naccessble. Suffcentemente arrcchto, l modello molecolare de gas permette lo svluppo d una nuova teora, la meccanca statstca. La naturale tendenza d un sstema ad occupare tutt gl stat accessbl è alla base del secondo prncpo della termodnamca Questa è la pù antpatca e la pù crudele delle legg della natura: c costrnge a spendere, ma soprattutto c fa nvecchare. A no pare che l tempo «scorra» solo per l rreversbltà de process. Ma senza l II prncpo l Unverso sarebbe un luogo affollato e davvero un po nooso.