Thermodyne (articolo) 6pp

Transcript

1 CONCENTRATO DI TERMODINAMICA PHOENIX87 Thermodyne (artcolo) 6pp Zeroth: You must play the game. Frst: You can t wn. Second: You can t break even. Thrd: You can t qut the game. C. P. Snow Forma testuale: Il testo contene concentrato d termodnamca (90%) dluto con fras sconnesse d ogn genere Effett ndesderat: A lettor a cu è stato sommnstato l testo s è verfcato un forte stato d sonnolenza, accompagnata a volte da senso d vertgn, nausea e conat. In rar cas l assunzone del testo lontano da past ha manfestato effett lassatv e provocato allucnazon. Mod e temp d sommnstrazone: Dato l basso dosaggo, s consgla a lettor d assumere l testo n unco sorso, lontano da past, ed eventualmente rpetere la lettura solo n caso d estrema necesstà; non superare le dos consglate od utlzzare n modo dverso da come prescrtto. 1. Introduzone In queste brev note cercherò d fssare alcun concett e rsultat mportant e notevol della termodnamca. Partrò dalla defnzone d alcune grandezze, come la temperatura, passando per l nterpretazone mcroscopca della pressone, prncp della termodnamca, alcun rsultat della meccanca statstca, come la dstrbuzone delle veloctà d Maxwell. 2. Temperatura e prncpo zero Toccando dvers oggett ess produrrano, n generale, delle sensazon tattl dverse, che comunemente classfchamo come caldo e freddo. Ad esempo, un corpo che no dcamo essere caldo, s raffredda, pù o meno lentamente, dando qund una nuova sensazone tattle. É esperenza comune che, due corp che fornscono due sensazon tattl dfferent 1, se mess a contatto, dopo un certo lasso d tempo esse fornranno la medesma sensazone tattle. É allora ragonevole potzzare che corp posseggano una propretà che descrva le sensazon tattl che esse fornscono allo spermentatore: la temperatura. D tale propretà è possble dare una defnzone che rsulta mmedatamente operatva: preso un oggetto A come rfermento, lo s pone a contatto con un oggetto B; se, dopo essere stat mess a contatto, gl oggett A e B fornscono la medesma sensazone, s drà che B ha la stessa temperatura d A, ed A è detto termometro. esperenza fornsce allora un mportante prncpo, noto come prncpo zero della termodnamca: se un corpo A fornsce la stessa sensazone d un 1 non necessaramente sensazon come caldo o freddo, ma anche sensazon come pù caldo e meno caldo, o pù freddo e meno freddo 1

2 2 PHOENIX87 corpo B così come A fornsce la stessa sensazone d un altro corpo C, allora corp B e C fornranno anch ess la medesma sensazone. In termn pù formal, se ndca quella propretà che chamamo temperatura, allora tra le T de corp sussste una relazone d equvalenza T A = T B T A = T C T B = T C operatvtà della defnzone d temperatura rsulta utle allorché s vorrà costrure un termometro: molte grandezze fsche, nfatt, dpendono dalla temperatura 2, e n lontananza dalle transzon d fase, la dpendenza è sostanzalmente lneare. I due prncpal mod per costrure un termometro sono dunque: sceglere due punt d rfermento, come l punto d fusone e d ebollzone dell acqua, e suddvdere l ntervallo d temperature n un fssato numero d part, ad esempo 100; questa è la defnzone della scala Celsus. Un altro modo è sceglere un solo punto d rfermento e l ampezza dell untà d msura; n questo modo s defnsce nfatt la scala Kelvn. 3. Prmo prncpo della termodnamca Per un qualsas sstema meccanco conservatvo, una grandezza fondamentale che s conserva è l energa meccanca totale del sstema. a maggor parte de sstem meccanc real dffclmente possono essere consderat conservatv. Ma questo non sgnfca certo che l energa vada persa; essa puttosto s trasforma. Il prmo prncpo della termodnamca è un prncpo d conservazone, e rguarda propro l energa. Indcando con U l energa che un sstema possede, ovvero quella che vene chamata energa nterna, per un sstema meccanco essa vara n presenza d forze che agscono sul sstema U = Del lavoro computo sul sstema vene dunque mmagazznato da quest ultmo sotto forma d energa nterna. In quest ottca allora sarà preferble scrvere U = Ma fornre lavoro al sstema non è l unco modo per far varare la sua energa nterna: ad esso può essere sommnstrata energa medante una partcolare forma, detta calore, e ndcata con Q. Poché sarà allora necessaro tener conto anche d eventual scamb d calore, l blanco energetco produce U = + Q che esprme l prmo prncpo della termodnamca 3.1. Espansone lbera ed energa nterna. Un rsultato mportante per l energa nterna d un gas perfetto è una dretta conseguenza d un espermento deato da Joule: un recpente adabatco e a paret rgde è suddvso n due scompart solat da un rubnetto. In uno d ess è contenuto un gas perfetto, mentre nell altro è stato fatto l vuoto; ad un certo stante s apre l rubnetto e l gas nza ad espanders nello scomparto vuoto lberamente. Al termne del processo s msura la temperatura del sstema, e s scopre 2 s pens, ad esempo, alla dlatazone termca, alla varazone della resstvtà d alcun metall etc...

3 CONCENTRATO DI TERMODINAMICA 3 che essa concde con quella nzale. In una espansone lbera, dunque, la temperatura rmane costante. Il gas non compe lavoro e nn scamba calore, qund = 0 e Q = 0, e per l prmo prncpo è anche U = 0. Descrvendo l sstema termodnamco con l equazone d stato f(p,v,t) = 0, s può assumere che U sa una funzone d T e d una tra p e V. Consderando Fgura 1. Schema del recpente a paret adabatche rgde. U = U(V,T) s ha 3 du = U U dv + V T dt Ma du = 0 e dt = 0, ed essendo n generale dv 0, dovrà essere U V = 0 In modo analogo s resce a provare che, se U = U(p,T), allora U p = 0 S è così portat ad ammettere che l energa nterna del gas dpenda solo dalla temperatura T, e che qund s abba U = U(T). Una conseguenza mportante d cò è che, n questo modo, U ammette dfferenzale esatto. Infatt, per qualsas trasformazone cclca che parta da un punto a temperatura T 0, la varazone d energa nterna sarà U = U(T f ) U( ) = U(T 0 ) U(T 0 ) = 0 3 dervare parzalmente rspetto ad una varable sgnfca mantenere costant le altre; ad esempo, dervando parzalmente rspetto a V una funzone che dpende anche da T equvale a consderare le varazon d tale grandezza rspetto al voleme, a temperatura costante.

4 4 PHOENIX Prmo prncpo n forma dfferenzale. Se un sstema compe l lavoro δ e scamba l calore δq, per l prmo prncpo la varazone d energa nterna sarà du = δq δ Ora Q e non hanno dfferenzale esatto 4, tuttava la loro dfferenza lo è. Qualora però le trasformazon a cu l cclo va ncontro sano rappresentabl su un dagramma d stato, allora sa Q che ammettono dfferenzale esatto, ed n partcolare dq = TdS d = pdv dove S è l entropa 5 ed è anch essa una varable d stato Equvalente meccanco del calore. A Joule sempre s deve un espermento l quale permette d determnare l equvalenza tra calore e lavoro. Egl pensò d trasformare l lavoro del campo gravtazonale n calore medante un mulnello mmerso n acqua, ed azonato da de pes lber d cadere. Il sstema raggunge subto una veloctà d regme, dovuta agl effett vscos dell acqua sulle palette, scché la forza eserctata dall acqua sulle palette blanca la forza peso; l lavoro fatto sull acqua sarà allora par alla perdta d energa potenzale delle masse. Spermentalmente s nota che l lavoro fatto sull acqua produce n essa una varazone d temperatura; msurato l calore e noto l valore del lavoro, l equvalente meccanco del calore sarà dato da J = Q = J cal 1 4. Secondo prncpo della termodnamca Per un cclo termodnamco, l prmo prncpo s rduce a Q =. S può allora concludere che, dopo un cclo, o tutto l lavoro fornto è stato trasformato n calore, o che tutto l calore è stato trasformato n lavoro, a seconda delle caratterstche della macchna che esegue tale cclo. In vertà, ogn tentatvo d costrure una macchna che converta totalmente del calore n lavoro, senza produrre alcun altro cambamento nell ambente crcostante è fallto, scché è pù che ragonevole supporre che, de due mod d leggere Q =, l secondo proposto debba essere accantonato. I process termodnamc dunque possono avvenre solo unlateralmente, spezzando quella smmetra che è anche fonte d reversbltà de process termodnamc. Queste consderazon portano ad un prncpo fondamentale, noto come secondo prncpo della termodnamca. D esso è possble dare due formulazon del tutto equvalent. Postulato d ord Kelvn: Non è possble ottenere, come unco effetto, la completa conversone n lavoro d calore estratto da una sorgente a temperatura unforme. Postulato d Clausus: Non è possble ottenere, come unco effetto, l passaggo d calore da una sorgente ad una certa temperatura verso una sorgente a temperatura pù alta. 4 e per questo motvo sono stat ndcat con δ 5 ved avant

5 CONCENTRATO DI TERMODINAMICA Macchna reversble d Carnot. Una macchna reversble che realzza due trasformazon soterme e due adabatche, operando tra due sorgent d calore a temperature dverse, è detta macchna reversble d Carnot. Essa gode della propretà d avere un rendmento par a η = 1 Q 1 Q 2 = 1 T 2 < T 2 dove e T 2 sono le temperature delle due sorgent, e Q 1 e Q 2 rspettv calor scambat con esse dal sstema. Alla luce de postulat del secondo prncpo della termodnamca è possble mostre che, per ogn altra macchna termca che oper tra due temperature, l rendmento è al pù quello d una macchna reversble d Carnot che oper tra le medesme temperature. Se nfatt così non fosse s potrebbe utlzzare una macchna d Carnot che lavor al contraro, utlzzando l lavoro prodotto dalla macchna termca, con rendmento però pù basso. Sano le grandezze della macchna d Carnot prmate, allora Q 2 > Q 2 Q 2 > Q 2 da cu segue anche che, essendo lavor ugual Q 2 Q 1 = Q 2 Q 1 Q 1 > Q 1 Il rsultato è quello d una macchna che ha come unco effetto quello d T 2 T 2 Q 2 Q 2 Q 2 + Q 2 Q 1 Q 1 Q 1 + Q 1 Fgura 2. Macchna termca e d Carnot nversa che lavorano tra le medesme temperature trasferre del calore dalla sorgente pù fredda a quella pù calda, volando così l postulato d Clausus. Ne segue allora che l rendmento d ogn macchna termca non può essere superore a quello d una equvalente macchna d Carnot che lavor tra le stesse temperature Equvalenza de due postulat del secondo prncpo. equvalenza de due postulat del secondo prncpo della termodnamca può essere mostrato verfcando che la volazone dell uno comporta la volazone dell altro e vceversa. Supponendo d poter costrure una macchna che vol l postulato d ord Kelvn, è possble utlzzare l lavoro, da questa prodotta per conversone

6 6 PHOENIX87 completa d calore estratto da una sorgente a temperatura T 2 unforme, per far funzonare al contraro una macchna d Carnot che oper tra le temperature e T 2, con < T 2. Il rsultato è quello d una macchna che, come unco effetto, ha l trasfermento d calore dalla sorgente a temperatura verso quella a temperatura maggore T 2, volando così l postulato d Clausus. Vceversa, supponendo d poter realzzare una macchna termca che T 2 T 2 Q 2 Q 2 Q 2 + Q 2 Q 1 Q 1 Fgura 3. Una macchna termca che vola l postulato d ord Kelvn (a snstra) comporta una macchna termca che vola l postulato d Clausus (a destra) vol l postulato d Clausus, è possble utlzzare una macchna d Carnot che lavor tra le medesme temperature e che fornsca alla sorgente pù fredda la stessa quanttà d calore che le vene sottratta dalla prma macchna. In questo modo la sorgente a temperatura pù bassa non subsce modfcazon, e l rsultato complessvo del cclo è la trasformazone completa n lavoro d calore estratto da una sorgente a temperatura unforme, n contrasto con l postulato d ord Kelvn. T 2 T 2 Q 2 Q 2 Q 2 + Q 2 Q 1 Q 1 Fgura 4. Una macchna termca che vola l postulato d Clausus (a snstra) comporta una macchna termca che vola l postulato d ord Kelvn (a destra)

7 CONCENTRATO DI TERMODINAMICA Integrale d Clausus ed entropa. Se s scamba una certa quanttà d calore Q con una sorgente a temperatura costante T, s può pensare d defnre una grandezza data dal rapporto tra Q e T e chamarla S S = Q T Se un sstema scamba calor Q con le sorgent a temperatura, l rsultato complessvo sarà S cclo = Q T Per un cclo qualsas, reversble o meno, è possble mostrare che vale la seguente dseguaglanza Q 0 Per dmostrarlo s possono consderare, accanto al sstema, tante macchne d Carnot quante le sorgent, con la propretà che l calore scambato con la - esma sorgente dal sstema sa uguale ed opposta a quella scambata da dalla sorgente con l corrspondente cclo d Carnot. In altre parole s fa n modo che le sorgent abbano uno scambo d calore netto nullo, e che qund l loro stato termodnamco rmanga mmutato. S ha dunque mmedatamente che S (Q ) S S (Q ) C C T 0 T 0 Q Fgura 5. Il sstema composto dalle macchne S e C (Q ) S = (Q ) C. Il lavoro che compete a S sarà dato da S = (Q ) S meltre l lavoro che compete alle macchne d Carnot sarà dato da C = (Q ) C + Q Per queste ultme vale anche l teorema d Carnot: essendo tutte macchne reversbl, l loro rendmento è dato dal rendmento d Carnot tra le temperature e T 0 ; poché la coppa d calor (Q ) C e Q sono dscord, ne segue

8 8 PHOENIX87 che T 0 = (Q ) C Q = (Q ) S Q Il lavoro totale del sstema complessvo è dato dalla somma de lavor S e C tot = S + C = (Q ) S + (Q ) C + Q = Q Il rsultato complessvo è allora quello d una macchna che scamba l calore Q con la sorgente T 0 e che eguagla n qualche modo l lavoro. Se fosse > 0 s sarebbe realzzata una macchna che vola l postulato d ord Kelvn, qund deve necessaramente essere 0, che comporta Q 0 T 0 (Q ) S 0 Per una qualsas macchna termca deve allora essere Q 0 (Q ) S 0 Se essa opera tra le temperature e T 2 s può supporre che essa scamb, durante le trasformazon a cu va ncontro, la quanttà d calore dq alla temperatura T, con T eventualmente varable lungo le trasformazon. In questo caso la somma vene sosttuta con la somma ntegrale, e s avrà dq T 0 noto come ntegrale d Clausus. S 4.4. Integrale d Clausus per macchne reversbl. Se la macchna S consderata precedentemente è, per potes, reversble, allora tutt calor (Q ) S cambano d segno, scché l rsultato è l nversone del segno d dsuguaglanza (Q ) S 0 e qund deve necessaramente essere (Q ) S = 0 Relazone analoga vale anche per l ntegrale d Clausus dq T = 0 S Defnta una varable S per mezzo dell ntegrale d Clausus, s ha che, per ogn macchna reversble, la varazone complessva d S lungo le trasformazon, su un cclo completo della macchna, è nulla. Essa dunque non dpende dalle partcolar trasformazon esegute, ma solo dallo stato del sstema e percò essa è una varable d stato. Data una trasformazone reversble che

9 CONCENTRATO DI TERMODINAMICA 9 porta l sstema dallo stato A allo stato B, la corrspondente varazone d entropa sarà allora data da S = S(B) S(A) = 4.5. Prncpo dell aumento dell entropa. Una macchna termca rreversble esegue un cclo composto da due trasformazon: la prma, rreversble, porta l sstema dallo stato A allo stato B; la seconda, reversble, rporta l sstema dallo stato B allo stato A. Sano I e R rspettvamente le due trasformazon, allora dq T = dq I T + dq R T 0 Ora essendo R una trasformazone reversble, l ntegrale d Clausus concde con la varazone d entropa tra B ed A I dq T B A S(B) S(A) Se l sstema consderato è adabatco, esso non scamba calore, scché dq = 0 e qund S(B) S(A) 0 Pù n generale, consderando come sstema l ntero unverso, esso rsulta solato, e per esso varrà, per quanto detto S unverso 0 Quest ultma esprme n modo pù ampo e generale tutto l secondo prncpo della termodnamca, ed è nota come prncpo dell aumento dell entropa dell unverso. dq T 5. Dstrbuzone delle veloctà d Maxwell Dalla teora cnetco-molecolare per un gas perfetto è noto che la veloctà quadratca meda delle partcelle dpende dalla temperatura nel modo seguente 3RT v 2 = M dove R è la costante unversale de gas e M la massa molecolare. Ovvamente non tutte le molecole avranno tale veloctà, ma saranno queste dstrbute secondo una funzone d dstrbuzone. Per poterla rcavare è necessaro mporre delle condzon, n partcoalre due Partcelle unformemente dstrbute nello spazo ordnaro Isotropa nello spazo delle veloctà Tutto cò equvale a rchedere che le partcelle sano unformemente dstrbute su una superfce sferca d centro l orgne nello spazo delle veloctà. Sa f(ẋ) la funzone d dstrubuzone delle partcelle con veloctà lungo x par a ẋ. Il numero d partcelle con veloctà compresa tra ẋ e ẋ + dẋ è allora dnẋ = Nf(ẋ)dẋ

10 10 PHOENIX87 Ma per l sotropa nello spazo delle velctà sarà anche dnẏ = Nf(ẏ)dẏ dnż = Nf(ż)dż Il numero d partcelle con veloctà par a v = (ẋ,ẏ,ż) sarà allora dato dall ntersezone delle probabltà. Essendo queste ndpendent tra loro s avrà: dn v = Nf(ẋ)f(ẏ)f(ż)dẋdẏdż a denstà d partcelle nell untà d volume nello spazo delle veloctà può essere defnta n manera analoga all ordnara denstà come ρ = dn v dẋdẏdż = Nf(ẋ)f(ẏ)f(ż) Per le potes addotte s avrà che ρ sarà costante su qualsas sfera del tpo ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = costante Dovrà allora essere soddsfatto l sstema { Nf(ẋ)f(ẏ)f(ż) = costante ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 = costante Per elmnare le costant è suffcente dfferenzare rspetto alle component della veloctà {( ) f (ẋ) f(ẋ), f (ẏ) f(ẏ), f (ż) f(ż) = 0 (ẋ,ẏ,ż) = 0 Moltplcando l secondo gradente per l moltplcatore d agrange mβ e sommando al prmo s ottene f (ẋ) f(ẋ) f (ẏ) f(ẏ) = mβ ẋ ẏ ż f (ż) f(ż) Poché le equazon s presentano nella stessa forma è suffcente rsolvere la prma. Per essa s ha f (ẋ) f(ẋ) = mβẋ ln f(ẋ) = 1 2 mβẋ2 + ln A Ogn componente è dunque dstrbuta secondo una funzone d dstrbuzone d tpo gaussano 6 f(ẋ) = Aexp mβẋ2 f(ẏ) = Aexp mβẏ2 f(ż) = Aexp mβż2 6 la costante d ntegrazone A è la stessa per tutte le component per va dell sotropa nello spazo delle veloctà

11 CONCENTRATO DI TERMODINAMICA 11 Integrando la denstà s ottene l numero totale d partcelle. ascando la veloctà v come parametro s ottene N(v) = NA 3 exp mβv2 dẋdẏdż = v ( = v 2 NA 3 exp ) mβv2 sn θdφdθ dv = 0 v = 4πNA 3 v 2 exp mβv2 dv 0 a funzone N è molto smle ad una funzone cumulatva, essendo essa monotona crescente con mmagne n [0, N]. a funzone d dstrbuzone cercata è allora f(v) = 1 dn N dv = 4πA3 v 2 exp mβv I parametr A e β. a funzone d dstrbuzone trovata dpende da parametr, ancora ncognt, A e β. Il prmo è una costante d ntegrazone, l secondo un moltplcatore d agrange. Per poterl determnare occorrono allora due equazon ndpendent che sano funzone soltanto d A e β. Esse possono essere trovate tenendo conto che + f(v)dv = 1 condzone d normalzzazone v 2 f(v)dv = 3kT m veloctà quadratca meda Utlzzando però la funzone f(v) s hanno degl ntregral d semplce calcolo, ma lungh. S possono allora utlzzare le equvalent condzon su una delle funzon d dstrbuzone per le component della veloctà, ad esempo f(ẋ) + f(ẋ)dẋ = 1 + ẋ 2 f(ẋ)dẋ = kt m Gl ntegral suddett s rsolvono rapdamente rcordando che + ) exp ( x2 2σ 2 dx = 2πσ