Induttori e induttanza

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1 Induttor e nduttanza Un nduttore o nduttanza è un dspostvo elettronco che mmagazzna energa sottoforma d campo magnetco così come l condensatore mmagazzna energa sotto forma d campo elettrco. Il flusso concatenato con l nduttore è drettamente proporzonale alla corrente che lo attraversa e la costante d proporzonaltà è detta nduttanza Φ( B r ) = Il smbolo crcutale è nduttanza s msura n Henry 1henry = 1 T m A

2 alcolo dell Induttanza d un nduttore onsdero un nduttanza d lunghezza l e denstà d spre n. Il flusso concatenato sarà Φ r r r ( B) = ( nl)( B A) Essendo l campo magnetco nterno S avrà Φ r B = µ 0n ( ) ( )( ) ( B = nl µ na = µ n la = n la) 0 0 µ = µ 0 n la

3 alcolo dell Induttanza d un solenode Per un solenode s defnsce l nduttanza per untà d lunghezza e qund l = µ 0 n A

4 Autonduzone Quando n un nduttore vara la corrente che lo attraversa, questa varazone genera una f.e.m. ndotta che s oppone alla varazone stessa V r dφ = ( B) = Questa f.e.m. è detta forza elettromotrce autondotta d A-la corrente aumenta e la f.e.m. autondotta s contrappone all aumento B-la corrente dmnusce e la f.e.m. autondotta sostene la corrente n dmnuzone

5 Effetto selettvo dell nduttore su segnal alternat V r dφ = ( B) = a f.e.m. autondotta è proporzonale alla dervata della corrente e qund alla veloctà d varazone della corrente. Segnal alternat ad alta frequenza fanno pù fatca ad attraversare l nduttore rspetto a segnal a bassa frequenza. d energa mmagazznata nell nduttore è espressa dall equazone E = 1

6 Effetto selettvo delle capactà su segnal alternat () t = dv V 1 () t = t 0 a f.e.m. dpende dall ntegrale della corrente. Segnal alternat ad alta frequenza fanno meno fatca ad attraversare la capactà rspetto a segnal ad alta frequenza. energa mmagazznata nella capactà è espressa dall equazone 1 E = V = 1 Q

7 orrent alternate Quando un generatore d f.e.m. produce n un crcuto una d.d.p. varable nel tempo V = V 0 sn ( ωt) la corrente creata non sarà costante ma varable anch essa nel tempo; parleremo allora corrent alternate. I = I sn t 0 ( ) ω φ Analzzamo var cas d crcut ad una magla contenent un solo elemento crcutale oltre al generatore.

8 rcuto resstvo In un crcuto resstvo, applcando la legge d Krchhoff, ( t) R vr = VR sn ω = avremo da cu vr VR R = = sn( ωt) R R la corrente nel crcuto è qund con la stessa fase del generatore. = I R sn t ( ) ω φ

9 rcuto capactvo In un crcuto capactvo, applcando la legge d Krchhoff, avremo v = V sn ( ωt) e dovremo consderare anche la relazone q v = da cu rsulta ( t) q = V sn ω che dervata c fornsce la corrente del crcuto = ωv cos ( ωt)

10 rcuto capactvo onfrontando questa relazone con quella precedentemente trovata per crcut resstv, ovvero sprandos alla legge d Ohm, avremo avendo posto = ωv V X ( ) ωt cos( ωt) cos = 1 X = ω Arrva dopo al massmo la d.d.p. la corrente nel crcuto è qund sfasata rspetto a quella erogata dal generatore, n partcolare antcpa d e la quanttà X, equvalente nel crcuto alla resstenza, è detta reattanza capactva. π cos ( α ) = sn α + π = V X sn ωt π +

11 rcuto capactvo Segnal a dfferente frequenza ncontrano qund una dfferente reattanza capactva ovvero subscono una dfferente attenuazone X = ω a reattanza capactva cala al crescere della frequenza e qund segnal d frequenza superore potranno passare sul condensatore generando una caduta d potenzale nferore

12 rcuto nduttvo Fne In un crcuto nduttvo, applcando la legge d Krchhoff, avremo v = V sn ( ωt) e dovremo consderare anche la relazone che v = fornsce la tensone a cap d una nduttanza percorsa da corrente varable nel tempo. Rsulta qund d = V sn( ωt) che ntegrata c fornsce la corrente del crcuto d V d ω ( t) = sn

13 rcuto nduttvo Fne S avrà = V ω cos ( ωt) onfrontando questa relazone con quelle precedentemente trovate per crcut resstv e capactv, ovvero sprandos alla legge d Ohm, avremo V = cos ω avendo posto X = ω ( ωt) = cos( ωt) = sn ωt e V X cos la corrente nel crcuto è qund sfasata rspetto a quella erogata dal generatore, n partcolare rtarda d π e la quanttà X, equvalente nel crcuto alla resstenza, è detta reattanza nduttva. V X π ( α ) = sn α π Arrva dopo al massmo la corrente

14 rcuto R Per un crcuto R n carca avrò R d d = V 0 R + = V0 Per un crcuto R n scarca avrò d d R = R + = 0

15 rcuto R I crcut R vengono rsolt con le stesse procedure utlzzate per crcut R. Per un crcuto R n scarca avrò R d + = 0 d R d R = = 0 t 0 ln 0 = R t V R τ () t = 0 e t τ = R V d τ t 0 τ 0 τ = = e = e = R0 R t e t τ

16 rcuto R Per la carca avrò un rsultato smle al crcuto R d R = + () t V 0 τ = R 1 e t = τ 0

17 orrente nel crcuto arca Scarca () t 1 e t V = 0 τ R V R τ () t = 0 e t

18 Numer compless x + 1 = 0 equazone non ha soluzon nel campo reale anche se formalmente non pare dffcle potzzare che esstano e sano Infatt x 1, = ± 1 ( ± 1) + 1 = 0 Defnsco l untà mmagnara = 1 = 1

19 Numer compless Rappresentazone algebrca z = x + y Rappresentazone cartesana z = r( cos θ + snθ ) r = x + y θ = arctg y x

20 Impedenza onsderamo un crcuto almentato da una f.e.m. alternata V = V sn( ω t +φ) Esste una grandezza vettorale che tene conto della dpendenza dagl element crcutal e dalla frequenza de segnal r Z = 1 R + ω ω mpedenza è un numero complesso 0 r Z = 1 R + ω ω

21 rcuto R-Formalsmo complesso Per rsolvere l crcuto R tenendo conto degl sfasament dovut a dfferent element crcutal s rcorre al formalsmo complesso r r r r ωt ωt d 1 () t = 0e V ( t) = V0e R + + = V () t d d + R + = dv r r r ω + ωr + = r ωv

22 rcuto R-Formalsmo complesso r r r r ω + ωr + = ωv Dvdendo per ω avrò r 1 r R + ω = V 14 4 ω he scrveremo nfne come una nuova forma della legge d OHM generalzzata r Z r r Z r = V

23 Induttvo X > X apactvo X < X Resstvo X = X

24 Frequenza d rsonanza ω 1 = 0 ω X = X ω = 1 Il crcuto R presenta un comportamento resstvo: tensone e corrente sono n fase

25 rcuto Il crcuto è costtuto da una magla contenente un condensatore e un nduttore. Per rsolvere quanttatvamente l crcuto s deve consderare la conservazone dell energa: 1 E = + 1 Q Da cu s ha, dervando d d Q 1 + Q dq 1 + Q = = 0 0

26 rcuto Posto ω = a soluzone sarà della forma Q 1 = Q sn t 0 ( ) ω +φ E per la corrente avrò dq = = Q0ω cos t + ( ω φ ) energa osclla tra condensatore e nduttore modfcando l suo mmagazznamento ma non la sua quanttà

27 rcuto rcuto rcuto