Spostamento, velocità, accelerazione

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1 Spostamento, veloctà, acceleraone Posone e spostamento Due stan assegna t 1 e t, con t t 1 >0 Posone al tempo t 1 : r r t ) ( ( t ), ( t ), ( 1 ( t1 Posone al tempo t : r r t ) ( ( t ), ( t ), ( ( t )) )) P 1 r 1 r P Spostamento: Δr r r1 r( r( t1) 1

2 Spostamento Δr r r1 r( r( t1) Nota: Lo spostamento esprme la varaone d posone nello spao. In un percorso chuso, lo spostamento (ve?orale) è nullo!! [S potrebbe defnre anche uno spostamento (scalare) lungo una trae7ora assegnata. Questo lo vedremo pù avan<.] Veloctà Idea ntu9va: corp n movmento lungo la stessa trae?ora possono superars o essere supera, a seconda della loro veloctà. Potremmo defnre un campone basato su questa dea (ma è poco praco).

3 Veloctà Procedura pù effcace, ma equvalente: corp che s muovono velocemente percorrono dstane pù grand a partà d ntervallo d tempo. Defnamo la veloctà meda d una parcella che compe uno spostamento nel tempo : Δr v M Δr Esempo: due fotografe successve d N persone che escono da una stana 3

4 Δr v Essendo l prodo?o d un ve?ore per m uno scalare (1/), la veloctà è un ve?ore. Conene nformaon anche su dreone e verso del moto. S msura n metr al secondo (m/s) Non necessta d un propro campone. Δr Non fornsce alcuna nformaone su cosa succede al moto negl stant ntermed tra t e (t +)!! 4

5 Δr Non fornsce alcuna nformaone su cosa succede al moto negl stant ntermed tra t e (t +)!! traettora t + t Δr Per avere questa nformaone s può dvdere l ntervallo d tempo n tant ntervall pù pccol e calcolare la veloctà meda n quell. traettora t + t 5

6 Δr Per avere questa nformaone s può dvdere l ntervallo d tempo n tant ntervall pù pccol e calcolare la veloctà meda n quell. traettora Δr Per avere questa nformaone s può dvdere l ntervallo d tempo n tant ntervall pù pccol e calcolare la veloctà meda n quell. r(t + ) 5 4 r( 3 1 O 6

7 Usando le regole per le somme d ve?or s può scrvere lo spostamento totale nella forma Δr Δr Δ v m t avendo usato la precedente defnone d veloctà meda n ogn ntervallo - esmo: v Δr / m r(t + ) 5 4 r( 3 1 O Usando le regole per le somme d ve?or s può scrvere lo spostamento totale nella forma Δr Δr Δ v m t avendo usato la precedente defnone d veloctà meda n ogn ntervallo - esmo: v Δr / m Noamo che, se l numero d ntervall n cu dvdamo è molto grande, tendente all nfnto, sa l numeratore che l denomnatore tendono a ero. Chamamo veloctà stantanea nell ntervallo - esmo l lmte della veloctà meda - esma: Δr v( t ) lm 0 7

8 Veloctà stantanea Nel lmte à0 la varable dscreta t può essere rmpaata dalla varable connua t, la veloctà meda corrsponde al rapporto ncrementale della funone r (, e l lmte del rapporto ncrementale concde, nel lnguaggo matemaco, con la dervata della funone rspe?o a t: v( lm 0 Δr( dr Veloctà stantanea Lo spostamento totale nell ntervallo fnto t -t 1 dventa v( dove abbamo sostuto la somma d spostamen fn con l ntegrale degl spostamen nfntesm d r v( t t 1 8

9 Veloctà stantanea v( d r Dal punto d vsta fsco la veloctà stantanea può essere vsta come la veloctà meda n un ntervallo d tempo pccolo a?orno all stante t, molto pù pccolo della scala de temp entro cu la veloctà vara sensblmente. Dal punto d vsta matemaco la veloctà stantanea è la dervata prma della posone rspe?o al tempo. [S<amo assumendo che sa possble conoscere la posone d una par<cella come funone (ve7orale) del tempo e che questa funone sa con,nua e dervable. È un assunone ragonevole nell ambto de fenomen descrc dalla fsca classca, ma potrebbe non esserlo nel contesto d teore dverse]. Veloctà stantanea v( d r È facle vedere che la veloctà stantanea è sempre dre<a lungo la tangente alla trae<ora, punto per punto. La veloctà è dre?a come lo spostamento per defnone e pù è pccolo pù lo spostamento tende ad allnears con la tangente. v 9

10 Veloctà stantanea v( d r Possamo esprmere ve?or usando le coordnate cartesane r (,, ) uˆ + uˆ + uˆ d r ( d, d, d) uˆ d + uˆ d + uˆ d v ( v, v, v ) uˆ v + uˆ v + uˆ v,, sono funon del tempo, mentre versor û, û, û sono fss. Allora la defnone d veloctà stantanea dventa: d d v ( ; v ( ; v ( d Acceleraone Anche la veloctà può cambare nel tempo. Assumamo che s compor come una funone connua e dervable d t. Idenfchamo la dervata della veloctà rspe?o al tempo con una nuova grandea che chamamo acceleraone: Possamo defnre anche dv d r a( l acceleraone meda: Δv a m ( 10

11 Acceleraone Consderamo un ntervallo fnto d tempo t -t 1 e suddvdamolo n tan ntervall. In cascuno d ess la varaone d veloctà è data, per defnone d acceleraone meda, da Δv am e la varaone totale sarà Δv a m Nel lmte n cu gl ntervall sono nfn ma d ampea nfntesma, la somma dventa un ntegrale e l acceleraone meda dventa quella stantanea, così che t Δv a( t 1 Acceleraone dv a( d r Per come è stata defnta, l acceleraone ha dmenson d lunghea su tempo al quadrato e s msura n m/s [nota sul controllo dmensonale delle equaon] 11