Variabili casuali. Variabili casuali

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1 Varabl casual Assegnato uno spazo d probabltà (S, A, P[.]) s densce varable casuale una unzone avente come domno lo spazo de campon (S) e come codomno la retta reale. S Le varabl casual s ndcano con lettere mauscole Varabl casual Denamo una varable casuale dscreta se questa assume valor dscret Denamo una varable casuale contnua se questa può assumere con contnutà tutt valor d R (asse reale)

2 Funzone d dstrbuzone cumulatva Data una varable casuale, s densce unzone d dstrbuzone cumulatva F() la unzone che ha per domno l asse reale e per codomno l ntervallo chuso [0,] così denta: F ( ) = P[ ] Funzone d denstà dscreta Data una varable casuale dscreta con codomno=(,, 3, n), s densce unzone d denstà dscreta () (o unzone d probabltà) la unzone così denta: ( ) P = [ = ] 0 j se se = j j

3 Funzone d denstà dscreta La unzone d denstà dscreta () ha le seguent propretà: ( ) 0 ( ) = F ( ) = ( ) ( ) : F = ( ) lm F ( h) h se se = Funzone d denstà d probabltà Data una varable casuale contnua, s densce unzone d denstà d probabltà d () la unzone tale per cu: F ( ) ( t) dt = P[ ] =

4 Funzone d denstà d probabltà Analogamente a quanto appena vsto, la unzone d denstà d probabltà () ha le seguent propretà: + ( ) ( ) b [ b] = ( )d P a 0 d = a sempo Consderamo l lanco d un dado e l estrazone d una pallna da un urna contenente pallne rosse, 3 blu e 5 verd. Attrbuamo all estrazone della pallna l valore 5 se questa è rossa, 3 se blu e se verde. Consderamo la varable casuale data dalla somma del rsultato del dado con l valore della pallna estratta. pallna 5 3 R R B B B V V V V V d a d o N P()=() F()

5 sempo N P()=() F() () () F() F() Meda S densce meda, o valore atteso, della varable casuale la unzone: [ ] = ( ) [ ] ( ) + = d

6 Varanza S densce varanza della varable casuale con meda µ la unzone: σ σ = ( µ ) ( ) + ( µ ) ( ) = d sempo Consderamo nuovamente l problema legato al lanco d un dado e all estrazone d una pallna da un urna contenete pallne rosse, 3 blu e 5 verd. Consderata la varable casuale come prma denta. S ha: σ [ ] = n = pallna 5 3 R R B B B V V V V V d a d o ( [ ]) = n = ( ) = 5.9 ( ) = N P()=() F()

7 Devazone Standard S densce come devazone standard o scarto quadratco medo o scarto tpo (della della varable casuale ) la radce quadrata della varanza, coè: σ = σ Varable casuale unzone d varable casuale In molt cas s a uso d trasormazone d varabl casual. Sa varable casuale con unzone d denstà d probabltà () assegnata. Sa Y una varable casuale unzone d con Y=g(). Ovvamente è possble calcolare meda e varanza d Y nota la sua unzone denstà d probabltà Y(y).

8 Varable casuale unzone d varable casuale S densce valore atteso della della varable casuale Y=g() la unzone: [ g( )] = g( ( ) ) [ g( )] g( ) ( ) + = d Propretà dell operatore [.] L operatore [.] è un operatore lneare, coè: [ c g ) + c g ( )] = c [ g ( )] + c [ g ( )] (

9 Dsuguaglanza d Tchebyche Corollaro della dsuguaglanza d Tchebyche Sa varable casuale a varanza nta. Allora s ha: P o equvalentemente: P λ [ µ λ σ ] λ [ µ λ σ µ + λ σ ]