Istogrammi e confronto con la distribuzione normale

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1 Istogramm e cofroto co la dstrbuzoe ormale Suppoamo d effettuare per volte la msurazoe della stessa gradezza elle stesse codzo (es. la massa d u oggetto, la tesoe d ua pla, la lughezza d u oggetto, ecc.): geerale, rsultat otteut o sarao tutt ugual tra loro a causa degl error casual. Cosderamo valor mm e massm msurat ( m e M ) e dvdamo l tervallo compreso tra ess r part ugual d ampezza M m r Cosderamo u sstema d ass cartesa e rportamo sulle ascsse valor delle msure otteute e ordata l umero d rsultat della msura che cadoo el sotto-tervallo m M

2 f k 40 f k m M f k 00 f k è l ro d msure che retrao ell tervallo m M

3 Fuzoe d dstrbuzoe ormale o fuzoe d Gauss f k 0000 F( ) σ ep π ( ) σ 0 0 Rappreseta, per u determato valore d σ e d 0 che varao d caso caso, la dstrbuzoe delle msure per ua estesa classe d gradezze fsche. N.B. F()/ forsce la probabltà d otteere u dato valore della gradezza seguto ad ua msura.

4 ( ) 0 f ( ) ep è ua destà d probabltà σ π σ ' + per cu f ( ) d rappreseta la probabltà che la msura ' da u valore della gradezza compreso tra e + f() + N.B. f ( ) d

5 f ( ) ep σ π ( ) σ 0 f() f( 0 ) f( 0 )*0.6 f() 0 -σ 0 0 +σ Dvers valor d σ 0

6 Il valore pù probable della msura La msurazoe d ua gradezza o dà ma l suo valore vero. E possble dmostrare che l valore pù probable della gradezza è forto dalla meda artmetca <> degl valor,,, otteut ella sua msurazoe rpetuta < > Qualora l umero delle msurazo sa suffcetemete grade modo che l stogramma vsto prma possa essere approssmato dalla fuzoe d Gauss, l valore medo <> cocde co l valore 0, per cu la gaussaa assume l suo valore massmo.

7 Il valore pù probable della msura I realtà, l valore medo sarà vco al valore cetrale 0, tato pù quato maggore è l umero delle msure esegute. Il valor medo <> rappreseta la mglor stma possble del valore vero della gradezza. La mglore stma per la larghezza σ della dstrbuzoe d Gauss è data dalla devazoe stadard, defta dalla relazoe: σ ( < > )

8 La devazoe stadard σ ( < > ) Rappreseta l certezza ua msura e forsce l cosddetto lmte d cofdeza della msura. S dmostra fatt che: v è l 68.7 % d probabltà che l rsultato d ua msura dffersca meo d σ dal valore vero l 95.4 % d probabltà che la msura cada etro σ dal valore vero l 99.7 % d probabltà che la msura cada etro 3σ dal valore vero f() 0 σ 0 σ 0 3σ 0 0 +σ 0 +σ 0 +3σ

9 S dmostra oltre che l certezza ella stma del valor medo (che rappreseta la mglor stma e qud la mglore approssmazoe al valore vero della gradezza msurata), è data dalla relazoe: < > σ ( < > ) ( ) che defsce la devazoe stadard della meda (errore medo emprco della meda artmetca): co l 68.7 % d probabltà, l valore medo <> s dscosta da quello vero per meo d σ <>, co l 95.4 % <> s dscosta per meo d σ <>, co l 99.7 % <> s dscosta per meo d 3σ <>. < > k σ < > < > + k σ < > < > < > k σ

10 > < > < k σ Qud, la probabltà che è data dalla probabltà d Gauss > < > < + k k d f σ σ 0 0 ) ( ( ) 0 ep ) ( σ π σ f

11 Rassumedo, s potrà dcare come valore d dove < > ± < > ( ) ( < > ) N.B.: Nel caso cu l errore calcolato come sopra sa ferore all errore strumetale, s usa quest ultmo come errore massmo.

12 Metodo de mm quadrat Uo de pù teressat tp d espermeto rguarda la msura d parecch valor d due dverse varabl fsche, per vestgare la relazoe matematca tra le due varabl. Es. lascamo cadere u corpo da ua certa altezza. Tale corpo sarà soggetto all accelerazoe d gravtà g. Nel caso cu per l tempo t0 esso abba ua veloctà zale vv 0, la sua veloctà v dovrebbe essere ua fuzoe leare del tempo t, v(t) v 0 + gt tale relazoe è leare del tpo dove e B soo costat. () + B

13 Se le due varabl soo relazoe come () + B, allora u grafco d fuzoe d dovrebbe essere ua lea retta che ha pedeza (coeffcete agolare) B e terseca l asse. () N.B. I put,,., o soo N msure della stessa gradezza Se s msurassero N dvers valor d,,, e valor corrspodet,,., e se le msure o fossero soggette ad certezze, allora cascuo de put (, ) dovrebbero gacere esattamete sulla retta

14 I realtà, essedo preset delle certezze, put potrao rsultare sparpaglat toro alla retta. () () Caso deale Caso reale Se predamo per garatto che e soddsfao ua relazoe leare, c s può porre l problema d trovare la mglor retta per terpolare u seme d put msurat (, ), (, ),.. (, ), coè trovare u ft leare (regressoe leare o curva de mm quadrat per ua retta). S dovrao trovare qud le mglor stme de coeffcet della retta e B.

15 Il procedmeto è l seguete s eseguoo msure corrspodet alle coppe (, ), (, ),.. (, ). Sapedo che la relazoe è leare s calcolao gl scart v - (+B ), s calcolao quadrat e s sommao Φ ( B ) S cercao valor d e B per cu Φ sa la mma possble. Questo equvale a redere mm quadrat delle dstaze de put (, ) dalla retta, msurate ella drezoe dell asse () (, )

16 ( ) Φ B 0 ( ) Φ B B 0 Per far questo dfferezamo Φ rspetto ad e B e poamo le dervate ugual a zero: Queste due equazo possoo essere rscrtte come equazo smultaee per e B: + B + B equazo ormal

17 + B + B B Mglor stme per le costat e B

18 ( ) B σ ( ) B B σ Mglor stme per le certezze d e B (σ Α, σ Β )

19 Nel caso cu la presumble relazoe tra ed o è leare, geerale f() cò che s fa è sempre mmzzare la somma degl scart quadratc Φ ( f ( )) rcavados u sstema d equazo cu compaoo gl parametr della fuzoe f()