ρ XY risponde alla domanda esiste un associazione lineare tra le variabili X e Y?

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1 Relazoe fra varabl casual X e Y cogutamete dstrbute Test d potes due popolazo Coeffcete d Correlazoe ρ XY (9.5.3) Regressoe ρ XY rspode alla domada esste u assocazoe leare tra le varabl X e Y? Costrure u modello che cosete d spegare Y dato X e studare le propretà. 1

2 C occupamo d ua caso molto partcolare: La relazoe che lega Y a X è d tpo leare e coè Y E Y ) ( Noostate sao potes molto semplfcatve, comuque l modello d regressoe leare rmae uo de pù usat elle applcazo, per la sua robustezza, semplctà e versatltà Errore casuale d meda ulla ), ( F Y ) (0, F

3 Regressoe Leare Regressoe vuol dre arretrameto, questa defzoe fatt vee adoperata per la prma da Fracs Galto a proposto delle legg dell eredtaretà che vevao be rappresetate da ua retta co coeffcete agolare more d 1. Per ua retta d questo tpo s ha fatt che valor molto grad d tedoo a dare rsposte pù pccole e valor molto pccol d tedoo a dare rsposte pù grad, producedo cos ua sorta d «regressoe verso la meda» per valor troppo estrem Padre Fglo Paragrafo

4 Fg

5 Dato u set d dat, y ),(, y ),...,(, y ) ( 1 1 Step 1- dagramma d dspersoe Step 1- calcolo della retta d regressoe Step 3- valdazoe del modello 5

6 Step 1- dagramma d dspersoe Padre Fglo

7 Step - calcolo della retta d regressoe Usamo le seguet otazo Y 1 1 Y 7

8 Step - calcolo della retta d regressoe Lo stmatore B del coeffcete agolare e lo stmatore A della tercetta s ottegoo mmzzado: SS Y A B 1 B S S Y A Y B Per l set d dat delle altezze padre/fglo che stamo aalzzado s ottee: S Y 79.7 S Y B 79.7/ A *

9 SS R Sum Squared Resduals 9

10 la pedeza β rappreseta l cambameto medo stmato Y quado vara d u utà. Il suo sego dpede da S XY- l tercetta α rappreseta l valor medo stmato d Y quado assume valore zero (se zero è tra valor assut da X). y y Y β pedeza β 10

11 Step 3- valdazoe del modello La valdazoe del modello avvee prma d tutto dal puto d vsta grafco E po sotto l potes ulterore che l errore ɛ sa ) Gaussao ) Idpedete ) Varaza costate N(0, ) Rumore BIANCO.. d. S possoo trovare le dstrbuzo degl stmator A,B, SS R duque utlzzarl per codurre de test d potes che valdao maera formale le stme otteute 11

12 B S S Y Y Y 1 ( ) Y Y N(, ) dpedet B N, S provamolo.. 1

13 Y S Y B Y A 1 1 ) ( dpedet N Y ), ( S N A 1, provamolo.. 13

14 R B A Y SS 1 ) ( 1 ) ( Y SS R provamolo.. 14 co A e B stmator d e

15 15 S N B, S N A /, 1 SS R m m t m Z / ) ( ) ( ) ( ) ( R R t A SS S t B SS S provamolo

16 .. co le dstrbuzo delle statstche appea trovate s possoo calcolare stme tervallar oppure fare test d potes per parametr cogt Se, ell esempo che stamo coducedo, volessmo testare l potes H 0 : 1; H1 : 1 Dovremmo: valutare la statstca ( ) S SS R ( B ) e dat a ostra dsposzoe S B 0.46 T SS R

17 e valutare po l p-de-dat P( T ) 0 L potes che l coeffcete agolare sa maggore o uguale ad 1 è da rfutare ad u qualuque lvello d sgfcatvtà 17

18 Step 3- valdazoe del modello u altro modo per valdare l modello è attraverso la msura della botà del ft SS R 1 ( y ( A B )) pccolo meglo la retta d regressoe spega dat Ma esso è ua quattà dmesoata dalle utà d msura della Y, allora azché valutare quato resdu soo pccol modo assoluto s vede quato resdu soo pccol relatvamete alla dspersoe totale de dat 18

19 y y y A B y y A B A B y y 19

20 y B A B A y y y 0 1 ) ( ) ( ) ( YY R YY y y B A y y y S SS S R meglo la retta d regressoe spega dat

21 Il coeffcete è detto coeffcete d DETERMINAZIONE e spega, term percetual, quata della varabltà d Y sa dovuta alla varabltà della : R R Se è prossmo a 1 allora quas tutta la varabltà è spegata dalle e duque la retta d regressoe ha ua buoa adereza a dat, coè resdu pccol R Se è prossmo a 0 allora quas per ete la varabltà è spegata dalle e duque è dovuta a resdu, che c aspettamo essere grad Nell esempo che stamo aalzzado abbamo SS R 1.54 S YY 38.5 R 0.96 Per cu s evce che l 96% della varabltà delle rsposte Y è dovuta alla varabltà degl gress e duque la retta d regressoe è molto aderete a dat 1

22 Dalle dettà: r SY SSYY e SSR SYY S S S Y R S SS S S S S Segue: YY R Y YY YY r R Duque per valutare s può ache valutare la correlazoe emprca e po elevarla al quadrato. Nell esempo che stamo aalzzado partcolare r r 0. 96

23 y y R 1 Relazoe leare perfetta tra X e Y: 100% della varazoe Y è spegata dalla varazoe X 3

24 y y 0 R 1 Relazoe leare debole tra X e Y: parte della varazoe d Y è spegata dalla varazoe d X ma o tutta!! 4

25 y R 0 Nessua relazoe leare tra X e Y: Y è dpedete da X (essua varazoe Y è spegata dalla varazoe d X). 5

26 Step 3- valdazoe del modello U altro modo per valdare l modello leare è l aals de resdu stadardzzat ( y A B ) ( y SS A B ) R /( ) N(0,1) Scop Valutare l assuzoe d leartà Valutare l assuzoe d varaza costate per tutt valor d X Valutare l assuzoe d ormaltà Aals grafca de resdu Effettuare u plot de resdu versus valor assut da X stogramma per valutare la ormaltà 6

27 resdu resdu Aals de resdu per la leartà y y No Leare Leare 7

28 resdu resdu Aals de resdu per la varaza costate y y Varaza o-costate Varaza costate 8

29 Aals de resdu per la ormaltà 9

30 Esempo Voglamo esamare la relazoe tra l prezzo d vedta d ua casa e la sua gradezza (msurata m ) Abbamo a dsposzoe u campoe d 10 case Varable dpedete Y = prezzo della casa mglaa d euro Varable dpedete X = metr quadr prezz mglaa d euro (Y) m (X)

31 scatter plot e lea d regressoe Pedeza= 0,10977 Itercept= 98,48 prezzo 98,4833 0,10977(m ) 31

32 Iterpretazoe dell tercept b 0 e della pedeza b 1 prezzo 98,4833 0,10977(m ) b 0 è l valore medo stmato d Y quado l valore d X è zero (se = 0 è fra valor osservat). Qu essua casa ha 0 m, qud b 0 = 98,4833 dca che, per le case osservate, 98.48,33 euro è la porzoe d prezzo della casa o spegata da m. b 1 rappreseta l cambameto medo stmato Y quado X vara d u utà. Qud b 1 = 0,10977 dca che l prezzo medo d ua casa aumeta d 0,10977(mglaa d euro)=109,77 euro per u metro quadro aggutvo. 3

33 R 18934, ,5000 0,5808 Ifereza sulla pedeza b 1 : la gradezza della casa metr quadr spega l prezzo? 58.08% della varazoe e prezz delle case è spegata dalla varazoe e metr quadr H H b : 1 0 : 0 1 0,10977 b 1 s β 1 β 1 ~T ( ) a/=0,05 3,39 s b 1 0,0397 df 8 T 3,39 Rfuto H 0 c è suffcete evdeza che la metratura della casa spegh l prezzo t,8 -,3060 t,8,

34 Itervallo d cofdeza per la pedeza b t s 1 / b 1 Co u grado d fduca del 95%, l tervallo d cofdeza per la pedeza è (0,0337, 0,1858) Samo cofdet al 95% che l mpatto medo sul prezzo d vedta sa fra 33,70 euro e 185,80 euro per metro quadro Nota Bee Tale tervallo d cofdeza o clude 0!! Coclusoe: c è ua relazoe sgfcatva tra prezz delle case e la metratura co u grado d fduca del 95%!! 34

35 Route d Matlab per la regressoe [r,beta,alpha]=regresso(,y) 35

36 Eserczo peso kg (Y) altezza cm (X) Cosdero la seguete tabella che forsce dat d peso e altezza relatv ad u campoe d 13 dvdu d sesso femmle. Voglamo studare la relazoe esstete