Capitolo 13 Il modello di regressione lineare

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1 Captolo 3 Il modello d regressoe leare La fase pù operatva della statstca è dretta alla costruzoe d modell e coè d rappresetazo semplfcate, aalogche e ecessare della realtà attraverso le qual provare a descrvere, prevedere, smulare e cotrollare feome atural, ecoomc, socal, ecc.. Per tal faltà, assume u ruolo cetrale ell aals statstca la struttura logco-formale del modello d regressoe medate l quale s esplcta l esso fuzoale tra cò che s tede spegare (c.d. varable dpedete) e cò che può essere la causa (soltamete, defto come regressore o varable dpedete). Attraverso u modello d regressoe, possamo qud:. rassumere l legame tercorrete tra le varabl osservate (due, el caso della regressoe leare semplce e maggor d due el caso d regressoe multpla) attraverso u uca formula compatta;. effettuare e/o valutare prevso; 3. verfcare ua legge scetfca descrtta term d fuzo. Il modello d regressoe leare è uo strumeto d aals partcolarmete versatle e che, per questa ragoe, può essere dcato come uo de modell maggormete mpegato. La relazoe fuzoale può essere espressa come ( X) e Y f +

2 Defamo e come ua varable casuale che compeda l seme degl effett e delle crcostaze che mpedscoo alla relazoe appea formula d essere u legame teorco d tpo matematco: la compoete erratca stetzza, qud, la ostra goraza rspetto al feomeo che tedamo studare. L agguta della varable casuale e qualfca l modello el seso che, se f(x) è acora ua fuzoe matematca, allora sarà Y ad essere ua varable casuale rsultate dalla somma d ua compoete determstca e d ua stocastca. L aver posto e Y f( X) fuzoale f( X) come errore equvale a defre l legame Y come ua relazoe meda tra X ed Y: se e vale meda zero (e coè se E( e) scarto), avremo allora che - cosa che può drs ragoevole trattados d uo ( ) E( f( X) + e) f( X) + E( e) f( X) E Per specfcare l modello, occorre ora precsare la forma della fuzoe f () ed mporre delle relazo sulla atura e sulle prcpal caratterstche delle varabl casual e. Prma d tutto, lmtamo la fuzoe f(x) assumedo la leartà della relazoe, e coè scrvedo ( X) + h( X) f Nella teora del calcolo delle probabltà, l valore atteso (aspettazoe, attesa, meda o speraza matematca) vee usualmete dcata co la otazoe E (). Il valore atteso d ua varable casuale è u umero che formalzza l'dea eurstca d valore medo d u feomeo aleatoro. Nel lacod ua moeta, ad esempo, sappamo d vcere se scommettamo su Testa ed tale eveto s verfca e el caso verso. Il valore atteso del goco, quetso caso, è par a 5, ovvero la meda delle vcte e perdte pesata base alle probabltà (5% per etramb cas): *,5 + *,5 5, coè l valore d "testa" per la sua probabltà e l valore d "croce" per la sua probabltà.

3 dove h ( X) è ua fuzoe matematca ota della sola X o cotete ulteror parametr. La forma pù semplce ello sceglere, h ( X) X modello d regressoe leare dveta per cu l Y + X + e,,..., N Essa esprme la varable dpedete Y come ua quota proporzoale alla varable dpedete X (coè la quattà + X ) cu s agguge la compoete casuale. I term geometrc questo equvale a defre og puto come la rsultate d ua parte teorca e d ua parte stocastca. ( ; 3 3) ( ) N ; N ( ) + f f ( ) ( ; ) (, f( )) ( ; ) Fgura - Retta d regressoe ed terpolazoe de dat. 3

4 Obettvo dell aals d regressoe è quello d dvduare la retta ottmale, tededo per tale quella che è grado d mmzzare la dstaza tra put teorc e put osservat, dstaza che vee terpretata come realzzazoe ê della varable casuale e. Og varable casuale Y possede, così, ua dstrbuzoe d probabltà attoro al valore medo ( Y) + E, che rappreseta l valore sulla retta corrspodete ad X, e la cu devazoe casuale è stetzzata elle varabl casual e, per,, 3,, N. Fgura - Retta d regressoe e fuzo d destà della Y fuzoe d delta X: le dstrbuzo delle Y soo cetrate sulla retta d regressoe ed hao tutte la stessa varabltà. Che cosa sgfca questa mmage? Le varabl casual el modello d regressoe leare soo v.c. Normal doppe, fuzo d cque parametr, Ua varable casuale s dce doppa quado s rfersce alla probabltà del cotemporaeo verfcars d due evet (assuzoe d zuccher e glcema, reddto e cosumo, ecc.). 4

5 µ, µ,,, ρ, defte per < < + e < < + e la cu fuzoe d destà è f (, ) π ρ ep ( ) µ + µ µ µ +ρ ρ La Normale doppa possede ua sere d teressatssme propretà tra le qual rsulta mportate, a ostr f, rcordare la seguete: le v.c. codzoate d ua Normale doppa soo le stesse Normal e precsamete ( X Y ) è N [ µ ( ρ / )( µ ); ( )] ρ + e, aalogamete, ( Y X ) è [ µ ( ρ / )( µ ); ( )] ρ N. + Avedo, qud, posto Y come varable dpedete del ostro modello d regressoe, la retta dsegata ella fgura è apputo data da N [ µ ( ρ / )( µ ); ( )] ρ + : og puto stmato dal modello (e, qud, gacete dalla retta) s dscosta da quello osservato co ua probabltà Normale. Fatte queste dspesabl premesse, è ora ecessaro fare delle assuzo e coè delle potes seza le qual o è possble applcare l modello a dat.. Y + X + e : tale potes euca l modello da stmare e la sua valdtà per og osservazoe del campoe; 5

6 . E ( ) e : è ecessaro che gl scart postv e egatv s compeso meda (la ecesstà matematca s gustfca ache fuzoe della logca che v è alla base e coè del fatto che la compoete erratca vega cosderata accdetale el modello). Da cò dscede che, meda, le varabl casual e o eserctao alcua flueza su Y. 3. Var ( ) e varare delle osservazo. 4. ( ; ) : la varaza della compoete erratca rmae costate al Cov e e j : le varabl casual e soo tra d loro o correlate. 5. X è ua varable determstca: la quta potes (detta ache potes forte) cosdera dat relatv alla varable dpedete X come o soggett a devazo d atura accdetale. 6

7 3.. La stma de parametr: mm quadrat e massma verosmglaza. Dato l carattere prevaletemete applcatvo del modello d regressoe, tutto l captolo verrà corredato d esemp pratc ella speraza che quest possao autare l lettore a compredere la sostaza teorca e la poteza eurstca d uo de strumet pù versatl che la tatstca metta a dsposzoe della rcerca moltssm ambt dscplar. Illustramo, qud, l modello facedo rcorso ad u esempo pratco: s stud la relazoe tercorrete tra la varable X (volume delle vedte d u puto vedta) e la varable Y (prezz pratcat) a partre da dat coteut ella seguete tabella. I altr term, s vuole studare l flueza che prezz (ossa, la varable dpedete) eserctao sul volume delle vedte (c.d. varable dpedete). uppoamo d avere seguet dat TATO VOLUME VENDITE PREZZI A 4 55 B 38 6 C D 4 6 E 44 5 F G H 4 5 Tabella - Aals d marketg per l laco d u uovo prodotto. 7

8 Poché lo scopo d questo lavoro è d trodurre l lettore el vvo della rcerca operatva, rpercorramo tutte le fas dell aals che vegoo fatte elle realtà e che è bee mparare mmedatamete. Prma d procedere alla stma de parametr della retta d regressoe, è buoa orma, fatt, vedere grafcamete la dstrbuzoe de dat, che el ostro caso s presete el seguete modo: prezz pratcat volume vedte Fgura 3 - Dstrbuzoe de dat coteut ella tabella 3.. Aals d marketg per l laco d u uovo prodotto dvers put vedta. Uo degl assut alla base del modello d regressoe è la leartà del legame tra la varable dpedete ed l regressore: attraverso l aals grafca della dstrbuzoe de dat possamo mmedatamete cofermare o cofutare tale potes. Quello proposto è charamete u caso molto semplce, per l quale s tusce co u semplce colpo d occho la leartà de dat, ma o sempre (az qual ma!) la realtà s preseta modo altrettato semplce. E bee però partre da u caso meo complesso per compredere la logca sottesa al modello. Dopo l aals grafca de dat, passamo ora alla stma de parametr del modello d regressoe. I metod a dsposzoe soo due: 8

9 Mm quadrat. Massma verosmglaza. Izamo co l metodo de mm quadrat. Per compredere la flosofa alla basse d tale metodo, cosderamo l caso cu s abba ua popolazoe X co fuzoe d destà par a f ( ;ϑ) stmare) e ( X) g( ϑ), co ϑ cogto (e, qud, da E. e X,..., X è u campoe casuale estratto da X, rsulta evdetemete che ( X ) g( ϑ) E,,,: cò sgfca che, meda le osservazo campoare dvduao g ( ϑ), metre ( ),, e X g ϑ..., rappresetao gl scart casual dalla meda che s rscotrao elle osservazo. Alla luce d quato sora detto, possamo, qud, defre l metodo de mm quadrat el seguete modo: lo stmatore ϑˆ otteuto sarà tale da mmzzare ( ϑ ) e [ X g( ϑ) ] La formulazoe dcotomca appea presetata può essere, faclmete, geeralzzata al caso d pù varabl suppoedo d avere dstte popolazo (o varabl casual) Y, cascua delle qual sa fuzoe d tutt o d alcu fra gl H parametr ot a,..., a e d tutt p parametr cogt da stmare H ϑ,...,ϑ p. uppoedo, oltre, che la -ma popolazoe abba valor medo g ( a ;ϑ,..., ϑ ) a H,..., e che da cascua popolazoe vega estratto u p campoe casuale d ua sola utà, allora quello estratto dalla -ma popolazoe sarà E ( Y ) g ( a a ;ϑ,..., ϑ ) H,..., p 9

10 da cu gl scart dalla meda rsulterao par a ( a a ; ϑ,..., ), e Y g,..., H ϑ p,..., ulla scorta d quato detto e geeralzzado l espressoe ( ϑ ) e [ X g( ϑ) ], possamo dre che lo stmatore determato co l metodo de mm quadrat sarà dato da quella p-pla ϑ,...,ϑ p che mmzza la seguete espressoe ( ϑ,..., ϑ) e [ Y g( a,..., ah ; ϑ,..., ϑ p) ] I motv per cu questo metodo vee così frequetemete mpegato soo d dversa atura. Aztutto, o rchede alcu tpo d coosceza della dstrbuzoe della popolazoe (o varable casuale), cosa che rede questa tecca applcable a umerose stuazo d rlevaza pratca. Per poterla utlzzare è, fatt, suffcete cooscere solo la forma fuzoale delle g ( a ;ϑ,..., ϑ ),..., per,,,. Co gl attual calcolator a H p elettroc, oltre, la determazoe degl stmator OL dvee acora pù semplce e veloce. Ora, suppoedo d avere ua varable casuale, X, co fuzoe d destà f ( ;ϑ), E( ) ϑ e suppoedo oltre d avere u campoe estratto da X del tpo mmzzado X,..., X la stma a mm quadrat d ϑ s ottee

11 ( ϑ ) e [ X g( ϑ) ] e, coè, dervado tale espressoe rspetto al parametro cogto della popolazoe e trovado quel ϑˆ che la rede ulla e verfcado che la dervata secoda ϑˆ sa postva. I tal modo s avrà ( ϑ) d dϑ ( ) X ϑ che s aulla per ˆ ϑ / X X, metre la dervata secoda è maggore d zero. I altr term, qud, lo stmatore L d ϑ è ϑˆ X. Da u puto d vsta strettamete matematco, perché ϑ,..., ˆ ϑ è lo stmatore L, esso deve ecessaramete soddsfare l seguete sstema d p equazo p cogte [ Y g( a,..., ah ; ϑ,..., ϑ p) ]. g ( a,..., a ; ϑ,..., ϑ ), j,,..., p ϑ j H p ˆ p dette equazo ormal. Del metodo de mm quadrat esstoo due cas partcolar: l prmo, s ha el caso cu, relatvamete alla compoete erratca, s suppoga che Var Cov ( e ) ( e ; e ) j j e,..., che oltre E( e ),,...,.

12 Al rcorrere d tal caratterstche, s parla d modello d regressoe. parlerà, vece, d modello d regressoe leare el caso cu s agguga alle precedet codzo ache quella base alla quale le g ( a ;ϑ,..., ϑ ),..., a H p possao essere tutte espresse sotto forma d combazoe leare de parametr cogt e coè g p ( a ah ; ϑ,..., ϑp) h( a,..., ah),..., ϑ j j dove le h soo fuzo ote. Possamo ora stmare parametr della retta d regressoe co l metodo de mm quadrat. Per dvduare la retta che attraversa la ube delle osservazo mmzzado la compoete erratca, è fatt ecessaro stmare parametr della retta d regressoe e coè l tercetta,, ed l coeffcete agolare,, a partre da u campoe d N osservazo ( ) ( X ; Y) sotto le potes del modello d regressoe leare. Applchamo, qud, la [ ( )] Y g a,..., ah ; ϑ,..., ϑp ; delle varabl ed otteamo (, ) ( ) (, ) mmo rspetto a Le cu soluzo s rcavao da ( ) ( )

13 che, semplfcado opportuamete, s rduce al sstema d due equazo lear elle due cogte e : N+ + Tal relazo soo equazo ormal e, qud, la loro soluzoe è ˆ ˆ N ( ) N N ( ) Applchamo le formule otteute a dat presetat all zo del paragrafo. Per autare l lettore, lo svolgmeto dell eserczo verrà proposto fas, su cascua delle qual bee che l lettore rfletta attetamete. FAE : PREDIPORRE UN FOGLIO DI CALCOLO O COTRUIRE UNA TABELLA NEL EGUENTE MODO vedte prezz * () () A B C D E F G H TOT

14 FAE : CALCOLO DEI VALORI DA INERIRE NELLE FORMULE PER LA TIMA DEI PARAMETRI CON IL METODO DEI MINIMI QUADRATI. I valor da calcolare soo: MEDIA 43,75 56, , ,5 QUADR. 634, ,5 33 graze alla quale è possble calcolare 43, graze alla quale è possble calcolare 56,5 Calcolamo ora la varaza d, rcordado che essa può essere calcolata tramte la dffereza tra la meda delle quadrato della meda d 4 al quadrato meo l 57 meda d ,75 la varaza della 39 meda d 63987,5 973,44 3 La formula della meda artmetca è 4 Per la formula della meda artmetca s guard la ota precedete. N. 4

15 e la covaraza d ed, che può essere calcolata come la dffereza tra la meda de prodott d per meo l prodotto delle mede d e d 85 meda 56,5 l prodotto delle mede è 79,38 46,875 Iseramo valor otteut elle formule ˆ ˆ N ( ) N N ( ) ed otteamo che ˆ ˆ N N ( ) N ( ) 46,875,4 4843,75 ˆ ( 43,75) [ (,4)( 56,5) ] 64,5 FAE 3: DETERMINAZIONE DELLA RETTA DI REGREIONE. Avedo stmato parametr, ed essedo retta d regressoe, possamo qud otteere ˆ ˆ + ˆ X l equazoe della Y Yˆ 64,5, 4X 5

16 3.. Propretà delle stme otteute co l metodo de mm quadrat. Abbamo gà atcpato alcue delle rago che spegao la dffusoe del metodo de mm quadrat e che c autao a compredere la dffusoe. A quato precedetemete detto, va qu agguto che la retta stmata co l metodo de mm quadrat gode d alcue mportatssme propretà:. aztutto, è l uca retta che rede mma la somma de quadrat degl scart ( ; ) : o è, qud, possble trovare essu altra retta che posseda la medesma somma de quadrat, mma per potes;. passa sempre per l puto d coordate ( ) soddsfa sempre l equazoe ˆ ˆ + ˆ X ; Y ; e l puto X e Y. fe, è tale che e ˆ, posto che e ˆ, la qual cosa mplca che la meda campoara delle Y osservate cocde co la meda delle Yˆ calcolate medate la retta de mm quadrat. ( ˆ ; ˆ ) Il metodo de mm quadrat, c cosete oltre d stmare parametr modo tale che ess godao d talue specfche propretà. Prma d presetarle, è bee fare ua breve leggeda che cotega le otazo relatve alle quattà d ostro teresse. Idchamo co: ( ) valor ver de parametr della relazoe leare ; potzzata; ( ˆ ; ˆ ) le stme de mm quadrat per u campoe specfco; 6

17 ( ) B le varabl casual stmator de mm quadrat. ;B La botà del modello de mm quadrat o può essere gudcata sulla base de valor umerc ( ˆ ; ˆ ) otteut da u solo campoe, ma bsogerà esamare le propretà della varable casuale doppa ( ) B geerata dalla ;B stma de mm quadrat. Cò sgfca che per compredere le propretà delle stme fatte co mm quadrat, sarà ecessaro guardare alle caratterstche d ua varable casuale doppa che soo la meda e la varaza delle varabl casual compoet la loro covaraza oppure l coeffcete d correlazoe. può dmostrare che 5 :. E ( B ) E( B). Var( B ) Var ( B ) 3. Cov( B B ) + e N ( ) N ; 4. Corr( B ; B ) ( ) N ( ) / N N offermamo la ostra attezoe sulla dmostrazoe della prma espressoe. apedo che X è ua varable determstca, che ˆ è u valore osservato per la varable casuale B metre è u valore osservato per la varable casuale Y, gl stmator ( ) B s possoo scrvere come ;B 5 Vd. Johsto e Goldberger. 7

18 8 ( )( ) ( ) B Y B Y Y B I base a ( ) ( ) B E e B E e a quato sora detto, otteamo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E Y Y E Y E Y N N N Y E N Y N E E Y e E e E Y E Teedo coto della propretà del valor medo, possamo otteere ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + B E E Y B E Y B E Y E Y B E Abbamo questo modo dmostrato che gl stmator OL soo o dstort poché, meda, ess equvalgoo a parametr che cercao d stmare. La varaza d tal stmator tede a zero al crescere d N: poché o soo dstort, tale propretà mplca che ess sao ache cosstet. L mportaza d questa osservazoe è d mmedata evdeza: se la o dstorsoe asscura che tal stmator cocdoo meda co parametr ver della popolazoe, l tedere a zero della loro varaza mplca che la precsoe delle stme aumeta co N. A cò s agguga, oltre, che le stme OL soo lear perché possoo essere scrtte come ua combazoe leare delle osservazo Y. Graze al teorema d Gauss Markov, è oltre possble dmostrare che, tra tutte le stme lear o dstorte, gl stmator de mm

19 quadrat soo ache quell pù effcet, ossa co varaza mma. La covaraza dpede, fatt, dal sego d : se è postvo la covaraza è egatv (da cu dscede che, se s sovrastma la pedeza, s sottostma l tercetta e vceversa), se vece è egatvo la covaraza è postva e pertato tedezalmete gl error ella stma d ß e ß hao lo stesso sego. Il rsultato pù mportate sulle propretà degl stmator de mm quadrat è costtuto dal teorema d Gauss Markov. Teorema d Gauss Markov: sotto le potes del modello classco, gl stmator de mm quadrat soo pù effcet ella classe degl stmator lear e o dstort. No è qud possble che essta u altra coppa d stmator per ß e ß che sao lear e o dstort e abbao varaza more degl stmator de mm quadrat. Rguardo alle propretà astotche è possble affermare che gl stmator de mm quadrat soo cosstet meda quadratca. Ifatt soo o dstort e la loro varaza tede a zero, 9

20 lmvar lmvar ( ˆ ) ( ˆ ) lm + lm ( ) ( ) Occorre oltre aggugere che, astotcamete, gl stmator de mm quadrat soo ormal.

21 3.3. Il metodo della massma verosmglaza. U altro metodo per stmare parametr della retta d regressoe è qullo c.d. della massma verosmglaza. Il metodo cosste el massmzzare la fuzoe d verosmglaza, defta base alla probabltà d osservare ua data realzzazoe campoara, codzoatamete a valor assut da parametr oggetto d stma. Nel modello d regressoe leare semplce, ua delle potes fodametal è che E(ε ), da cu E( ) +ε, ossa la retta d regressoe rappreseta la meda codzoale della varable. e a questa aggugamo l potes d ormaltà degl error, ε ~ N(,), otteamo ~ N( +,, ). La dstrbuzoe codzoale d, qud, è ota a meo d u umero lmtato d parametr, (,, ) e la stma de parametr del modello d regressoe equvale alla stma della meda e della varaza d tale dstrbuzoe.

22 Per trovare lo stmatore d massma verosmglaza del vettore d parametr (,, ) occorre costrure e massmzzare la fuzoe d verosmglaza. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L e L e f f e f l,..., ;,...,,, l,..., ;,...,,,,,,,, ;,...,,...,,,, π π π π formula precedete, ossa della sommatora tra paretes. Ma cò equvale esattamete alla mmzzazoe della somma de resdu al quadrato, da cu s ottee lo stmatore de mm quadrat ordar. Ne cosegue, qud, che due stmator soo equvalet ( ) MLE OL ˆ ˆ. osttuedo, però, valor così otteut ella codzoe del prmo orde relatva a, s ottee: ( ) MLE ˆ ˆ ˆ ˆ ε che è, vece, dverso dallo stmatore corretto della varaza calcolato co l metodo de mm quadrat.

23 3.4. Propretà degl stmator d massma verosmglaza. Nella sezoe precedete abbamo vsto che lo stmatore d massma verosmglaza cocde co quello de mm quadrat. Rspetto ad esso, però, pccol campo, l stmatore MLE o ha talue proretà, qual ad esempo la o dstorsoe, d cu gode vece lo stmatore determato co l metodo de mm quadrat. Vao comuque rcooscute a ˆ MLE alcue fodametal propretà astotche. Dato u vettore d parametr, è fatt possble dmostrare che ˆ MLE è cosstete, astotcamete effcete 6 ed astotcamete dstrbuto secodo ua ormale 7. Affché lo stmatore d massma verosmglaza goda delle suddette propretà è ecessaro che la fuzoe d verosmglaza sa correttamete specfcata e, qud, che l potes sulla dstrbuzoe degl error sa corretta. Cò o è evdete el caso del modello leare co potes d ormaltà qu trattato perché lo stmatore d massma verosmglaza cocde co quello de mm quadrat (almeo per quato rguarda coeffcet delle varabl esplcatve) e qud e assume le propretà astotche d cossteza e ormaltà, ache se la dstrbuzoe degl error o è ormale. Tale potes rsulta duque essere crucale. 6 tra tutt gl stmator cosstet, lo stmatore d massma verosmglaza è quello co varaza pù pccola. Per questo motvo, sotto l potes d ormaltà, lo stmatore OL è BUE (best ubased estmator) e o semplcemete BLUE, poché cocde co lo stmatore MLE. 7 Abbamo, fatt, che 3

24 3.5. Itervall d cofdeza per coeffcet d regressoe. Assumedo che la varable dpedete Y s dstrbusce come ua ormale, la dstrbuzoe degl stmator de mm quadrat tede ad approssmars ad ua varable casuale ormale. Ioltre, dal mometo che B è ua combazoe leare delle varabl casual Y, ache B s dstrburà ormalmete co meda e /. Ache B, al varare delle osservazo campoare, tederà a dstrburs secodo ua ormale co e varaza /. Data questa premessa, ache le quattà ( B ) Z ( B ) e / Z tederao a dstrburs come legg ormal stadardzzate. Poché le formule mpegate cotegoo varaza cogta, questa adrà stmata utlzzado ME*E*/(-). osttuedo elle precedet espresso l valore cogto co quello stmato, otteamo t ( B) / ME * / ; t ( B) / ME *( / ) due t d tudet che s dstrbuscoo co - grad d lbertà. otto l potes d ormaltà, ( ME * / )( ) 8, e coè ha ua dstrbuzoe co - grad d lbertà e s può oltre dmostrare che ( ME * / )( ) B soo dpedet. otto queste codzo, χ e 8 Nella rcerca emprca, accade spesso che la varaza,, sa cogta. rede, qud, ecessaro stmare la varaza corretta, che qu dchamo co la sgla ME. 4

25 t ME * ( B ) / ( ) / ( ) B ME * ( B ) E * è ua v.c. pvot co ua dstrbuzoe t d tudet co - grad d lbertà. U tervallo d cofdeza per co u lvello d cofdeza par a ( α) è dato da P ( B t ME * / ) B + t ME * / α α /, α /, metre per è dato da P B t ( ) ( ) / B tα /, ME * / α α /, ME * Molto spesso, può esser utle determare u tervallo d cofdeza toro alla vera retta d regressoe. Per poterlo fare, al (-α%), s rcorre alle seguet quattà: L Yˆ t L Yˆ + t α /, α /, ME * + ME * + ( ) ( ) ( ) ( ) Tal valor possoo essere rappresetat su d u pao fuzoe d, seme alla retta d regressoe. 5

26 Nel seguto, propoamo u quadro d stes relatvamete a tutt gl tervall d cofdeza el modello d regressoe leare. Parametro Itervallo d cofdeza ± tα /, ME * b b t ± α /, ME * µ / E( Y ) ( ) Yˆ t ± α /, ME * + Y Yˆ ± tα /, ME * + + ( ) log + ρ ρ + r * log ± z r * α / 3 co r* stmatore d r (coeffcete d correlazoe) ME* stmatore della varaza. 6

27 3.6. Verfca delle potes de parametr del modello d regressoe. Dopo aver stmato parametr della retta d regressoe (fas, e 3), cotuamo lo svolgmeto dell eserczo proposto all zo del captolo, dedcadoc ora alla verfca delle potes. Attraverso la verfca delle potes s vuole verfcare l essteza d u legame leare tra la varable dpedete e quella dpedete. Le potes soo H H : : o esste alcua relazoe leare tra varable dpedete e regressore esste ua relazoe leare tra le due varabl Per stablre se la relazoe leare verfcata a lvello campoaro medate l valore b (b coeffcete d regressoe campoaro) possa essere cosderata valda ache per la popolazoe, occorre fare fereza su parametr della retta d regressoe: facedo fereza su parametr della popolazoe s vuole, fatt, verfcare se la retta d regressoe campoara (retta CAM) possa essere rteuta ua buoa espressoe della vera relazoe leare esstete ella popolazoe (retta POP). ot aztutto che l rcercatore è chamato a verfcare l potes ulla (H ) e o l potes alteratva: quest ultma, qud, vee accettata o rfutata solo come cosegueza d cò che verrà fatto della prma potes Rfutare H sgfca ammettere che ella popolazoe v è dpedeza leare. La relatva statstca test è 7

28 b t b co b. La regola d decsoe da adottare è t tα /, s rfuta l potes ulla e s coclude che la varable X, l regressore, ha u sgfcato statstco ello spegare le varazo della varable dpedete. FAE 4: PER VERIFICARE L EITENZA DI UNA RELAZIONE LINEARE TRA VARIABILE DIPENDENTE (Y) E VARIABILE INDIPENDENTE (X) FAE 4.. PREDIPORRE UN ADEGUATO FOGLIO DI CALCOLO O PREPARARE UNA TABELLA NEL EGUENTE MODO: vedte prezz vedte stmate resdu quadrat () () co l modello A ,5,975,9565 B ,95-7,95 6,8565 C ,85-6,85 83,863 D ,95,75 45,8563 E ,5 9,875 97,5565 F ,85 3,75 73,5863 G ,5 -,5,565 H ,5 -,5,5563 TOT ,755 Il valore delle vedte stmate è stato calcolato seredo ella Yˆ 64,5, 4X dvers lvell d prezzo. può mmedatamete otare 8

29 che la somma de valor osservat e d quell stmat dal modello è la stessa. I questo caso, calcolare tutt valor teorc è stato possble poché abbamo u 8. I molt cas, vece, questa operazoe rsulta probtva perché la umerostà campoara è molto pù cosstete. I tal caso, possamo rcorrere alle seguet formule * ( ) b b γ γ, da cu s ottee γ bγ b γ. FAE 4.. CALCOLARE I REIDUI. Dopo aver calcolato valor teorc, possamo calcolare l resduo base alla formula eˆ ˆ (s ot che la somma de resdu, coeretemete co le potes assute alla base del modello d regressoe leare, è ulla). FAE 4.3. DETERMINAZIONE DEL TET EMPIRICO. Dopo aver calcolato resdu, elevamo al quadrato tutt valor otteut modo da poter determare l valore del test crtco applcado la seguete formula: b t b 9

30 co b lo stmatore a mm (tercetta della retta d regressoe) e co b e * ( ) volgamo calcol partedo dall'ultma formula, che el ostro caso appare ella seguete forma 867,755 8,3 Otteamo, così b, ,9 Il valore del test emprco è, qud, par a t (,4),9, 3

31 Per accettare o rfutare l potes ulla, la regola d decsoe è: se t tα allora s rfuta l potes ulla e s coclude che la varable X ha >, sgfcato statstco ello spegare le varazoe della varable dpedete. Per calcolare l valore crtco del test per α/ ed (-) g.l., rcorramo alle tavole della t d tudet. uppoedo d aver fssato α/,5, l valore del test è,447. Essedo,447 >, 943 rfutamo l potes ulla e verfchamo, qud, che l prezzo pratcato cde sul volume delle vedte. Rfutamo l'potes ulla perché l valore del test emprco cade oltre la sogla crtca, e coè ella zoa d rfuto dell'potes ulla. Possamo, qud, verfcare che l prezzo pratcato cde sul volume delle vedte. 3

32 3.7. Msura della botà d adattameto Og modello statstco è u approssmazoe della realtà e, come tale, qud, assolutamete mprecsa: tutt modell soo sbaglat (el seso che o rproducoo esattamete l feomeo oggetto d studo) e deve, qud, essere obettvo del rcercatore quello d dvduare l modello che meglo s accosta rappreset la realtà. Per ruscre ell teto, v soo dvers strumet. Tra quest, rcordamo:. dce d determazoe;. coeffcete d correlazoe; 3. aals de resdu. L dce d determazoe è u dce attraverso l quale poter verfcare l lvello d accostameto tra valor teorc (gacet sulla retta d regressoe) e quell osservat. La formula attraverso cu determarlo è devaza d regressoe r R / devaza totale Per verfcare quato valor teorc stmat medate la retta d regressoe sao vc a valor osservat, e coè per avere ua msura della botà d accostameto, occorre rcordare che 3

33 dev. totale ( ) ( ˆ ) ( ˆ ) dev. resdua E meo dev. d regressoe R Il coeffcete d determazoe è, qud, terpretable come la porzoe della devaza totale pegata dal modello d regressoe prescelto. Il calcolo dell dce d determazoe è molto semplce ed è ( eˆ ) ( ˆ ) ( ) N R. Dev / r Dev N Questo rsultato dmostra che l dce d determazoe o è altro che l quadrato della stma del coeffcete d correlazoe leare ρ ( X,Y), ache detto coeffcete d correlazoe leare d Pearso. Esso vara tra - e + ed assume le seguet sfumature d sgfcato: > le varabl e s dcoo drettamete correlate, oppure correlate postvamete (ad ua varazoe della varable dpedete corrspode ua varazoe dello stesso sego della varable dpedete). le varabl e s dcoo dpedet (le varazo della varabl dpedete o fluezao reazo della varable dpedete). < le varabl e s dcoo versamete correlate, oppure correlate egatvamete (ad ua varazoe della varable dpedete corrspode ua varazoe d sego opposto della varable dpedete). 33

34 Nel caso d dpedeza leare l coeffcete assume valore zero, metre o vale la coclusoe opposta, ovvero dal coeffcete ullo o s può desumere l'dpedeza leare: tale codzoe può, qud, drs ecessara ma o suffcete per l'dpedeza delle due varabl. La verfca delle potes può essere codotta ache sul coeffcete d determazoe e sul coeffcete d correlazoe. Illustramo etramb el seguete specchetto rassutvo, el quale verrà rcordata ache la verfca delle potes fatta sulla potes d relazoe leare tra varable dpedete e varable dpedete. Vedamo u applcazoe facedo rcorso a ostr dat. FAE 5: MIURA DELLA BONTÀ DI ADATTAMENTO DEL MODELLO AI DATI FAE 5.. PER PRIMA COA, OCCORRE PREDIPORRE NUOVAMENTE LA TABELLA DI CALCOLO NEL EGUENTE MODO. vedte prezz * () () A B C D E F G H TOT MEDIA 43,75 56, , ,5 QUADR. 634,6 3646,5 34

35 Per msura la botà d adattameto del modello a dat, useremo l'dce d determazoe leare e la sua radce quadrato, l coeffcete d correlazoe leare. L dce d determazoe leare è calcolato tramte la formula R b b co b ( ) ( ) ( ) cod( ; ) dev( ) e b ( ) ( ) ( ) cod( ; ) dev( ) Il coeffcete d correlazoe è, qud, dato da r ± b b. 35

36 Iseredo dat elle formule, otteamo cod (,) dev () 3875 dev () 7787,5 b -,4586 b -,787 E, qud: R, r,9464 FAE 5.. COTRUZIONE DEL TET U ρ. Le potes da formulare soo le seguet H : ρ H : ρ Il test emprco per verfcare le potes formulate vee determato rcorredo alla seguete formula r T R 36

37 Che el ostro caso rsulta par a 6,9. Quale test utlzzamo per la verfca delle potes? Utlzzamo ua t d tudet co (-)g.l. 9, l cu valore, questo caso, è par a t,5;8g. l.,447 La regola d decsoe è la stessa vsta precedeza: se l test emprco è maggore del test crtco allora s rfuta l potes ulla. 9 Quado (umerostà campoara) è grade, lo stmatore r* approssma ua Normale N[;/(-)]. 37

38 Nel seguto, propoamo u quadro d stes relatvamete alla verfca delle potes el modello d regressoe leare: H tmatore tatstca test Dstrbuzoe sotto H B b ME t t d tudet B b t ME t d tudet ρ ρ ρ ρ r * MR * ME * r * r * r r * * * + r + ρ ρ r log log * + ( e e r ρ ) * 3 F *, F d Fscher - edecor t t d tudet Z Normale co B stmatore del coeffcete agolare della retta d regressoe r * stmatore del coeffcete d determazoe MR*R*/stmatore della varaza d regressoe 38