), mentre l unico intero che divide 0 è 0. Enunciamo alcune proprietà di ovvia dimostrazione.

Transcript

1 Dvsbltà e umer prm Sao a,b elemet dell seme Z degl ter relatv Dcamo che a dvde b, smbol a b, se b è multplo d a, ossa se esste u tero h Z tale che b ha Og tero a dvde 0 ( 0 0a ), metre l uco tero che dvde 0 è 0 Eucamo alcue propretà d ovva dmostrazoe d Se a b e b c allora a c d 2 Se d a e d b allora d (ha+k, per og d 3 a b a b a b d 4 Se a b e b 0 allora a b d 5 Se a b e b a allora a b h, k Z Defamo dvsore d b Z u tero postvo a tale che a b I dvsor d u tero b soo compres tra e b Og tero postvo a è dvsble per ed a (dvsor baal) Sao a,b elemet, o etramb ull, d Z Il pù grade de dvsor comu ad a e b è detto massmo comue dvsore e s dca col smbolo MCD ( a, o, pù semplcemete, co ( a, S osserv che la defzoe d MCD è be posta perché l seme S de dvsor comu ad a e b è o vuoto ed è fto, duque esste ed è uco l massmo d S Valgoo le seguet propretà: m ( a,0) a m 2 ( a, a a b m 3 ( a, ( a, ( a, ( a, a b m 4 Se ( a, d, allora (, ) d d Dmostrazoe Le prme tre propretà seguoo mmedatamete dalla defzoe Provamo m 4 a b Posto (, ) d' d d a hdd' e kdd' a, d dvsore a b, allora d ' dvde sa che e duque esstoo d d h, k Z tal che b Ne segue che dd ' dvde sa a che b e, qud, l massmo comue ( Ma cò è possble solo se d ' Damo adesso u procedmeto, oto come algortmo d Euclde, per l calcolo del massmo comue dvsore

2 2 Premettamo, a tal proposto, l seguete Lemma Sao a b, q, r Z, tal che a qb r, allora (, ( b, r) a Dmostrazoe Essedo r a qb, og tero che dvde sa a che b dvde ache r, partcolare ( a, dvde r, e poché ( a, dvde, ovvamete, ache b rsulta ( a, ( b, r) Vceversa, og umero che dvde sa r che b, dvde ache a, pertato (, r) b dvde sa a che b e, qud, ( a,, pertato (, r) ( a, b Algortmo d Euclde Sao a, b Z, co b 0 Per l algortmo della dvsoe (ved 2 43), esstoo q, r Z tal che a bq r, co 0 r b Se r 0, esstoo q, r Z tal che 2 2 b r q2 r2, co 0 r2 r Se r 2 0, esstoo q r Z 3 3 tal che r r2 q3 r3, co 0 r3 r2 Così cotuado s ottee ua sequeza d dvso: r r q r, co 0 r r Essedo r r, s arrva ad r 0, per u opportuo, r 2 r q Se, applcado volte l lemma, s ottee ( a, r Se ( a, b Il teorema che segue forsce ua otevole caratterzzazoe del MCD Teorema 2 (Teorema d Bézout) Sao a,b ter o etramb ull e sa d ( a, Allora esstoo h, k Z tal che d ha kb Dmostrazoe Sa S l seme degl ter postv della forma xa yb, co x, y Z Possamo supporre, seza ledere la geeraltà, l tero a dverso da zero Se a è postvo allora a S, se è egatvo allora a S, quato a a I og caso, S è o vuoto e, duque, ammette u mmo che dcheremo co d, e dcheremo co h e k due ter tal che d ha kb Per l algortmo della dvsoe esstoo due ter q ed r, co 0 r d, tal che a dq r, da cu r a dq a ( ha k q ( h) a kqb Ma essedo 0 r d rsulta r 0 e, qud, d dvde a I modo aalogo s dmostra che d dvde b Essedo d u dvsore comue ad a e b, allora d ( a, D altra parte ( a, dvde sa a che b e qud, per la d 2, dvde ache d, pertato ( a, d

3 3 E possble dmostrare l teorema d Bézout ache drettamete dall algortmo d Euclde Basta partre dalla peultma equazoe r 3 r 2q r, dello schema d dvso rportato ella dmostrazoe dell algortmo d Euclde, e rsalre alla prma S otterrà r xa yb, per opportu x, y Z U umero tero a è detto umero prmo, o semplcemete prmo, se è dvsble solo per e per a Eserczo Calcola prm compres tra e 00 Teorema 3 Og tero ammette u dvsore prmo Dmostrazoe Suppoamo per assurdo che essta u umero tero maggore d prvo d dvsor prm, e dcamo m l mmo d tal umer L tero m o è prmo, altrmet ammetterebbe se stesso come dvsore, allora m è composto e, percò, esstoo due ter postv a e b tal che m ab Essedo a m, esste u prmo che dvde a e qud m Ma cò cotraddce l potes Due ter a e b soo dett coprm o prm tra loro se l loro massmo comue dvsore è, ossa ( a, I altre parole due umer soo coprm se o hao comue dvsor dvers da U tero o prmo è detto composto Ovvamete, u tero composto è ecessaramete prodotto d due ter a e b, co 0 a, b Teorema 4 Sao dvde b a b Z, e d u umero prmo che dvde ab, allora d o dvde a o Dmostrazoe Suppoamo che d o dvde a Allora essedo d prmo, rsulta ( a, d) Per l teorema d Bézout, esstoo h, k Z tal che ha kd, da cu, moltplcado ambo membr per b, s ha b hab kdb D altra parte, poché d ab, esste u x Z tale che ab xd Mettedo seme le due relazo s ha b hab kdb hxd kdb d( xd k, da cu d b La propretà eucata el teorema 3 vale, effett, per l prodotto d u qualuque umero d fattor Ifatt, ragoado per duzoe sul umero d fattor, segue faclmete che: se u umero prmo p dvde l prodotto d ter a a 2 a, allora ecessaramete dvde qualche fattore, ossa esste u dce tale che p a

4 4 Teorema 5 (Teorema fodametale dell artmetca) Og tero può essere espresso modo uco ella forma =p p k, co p,, umer prm p k Dmostrazoe Poché l asserto è baalmete vero per prm umer atural, possamo procedere per duzoe Suppoamo l asserto vero per og tero more d Se è prmo l asserto è baalmete vero, se è u umero composto, allora esstoo due ter a,b, co a, b, tal che ab Per l potes duttva, a,b e qud soo prodott d umer prm Dmostramo l uctà Sa =p p k = q q h, co p,, pk, q,, qh umer prm Per l teorema 3, cascu p dvde uo de fattor q,,qh e qud, essedo quest prm, cocde co uo d ess S osserv che fattor d cu al teorema precedete possoo o essere dstt tra d loro Raggruppado fattor cocdet s ottee la seguete formulazoe equvalete del teorema precedete: t Og tero può essere espresso modo uco ella forma p pt, co p,, p t, umer prm dstt tra loro Il teorema fodametale dell artmetca sottolea l mportaza de umer prm affermado che og altro tero s può otteere moltplcado umer prm La teora de umer prm ha eserctato e secol, az e mlle, u fasco partcolare su matematc, quas ua attrazoe mstca Noostate l apparete semplctà, le loro propretà soo estremamete elusve Soo stat dagat per geerazo ma acora alcue propretà fodametal, alcue cogetture rmagoo seza rsposte, seza dmostrazo (per esempo la cogettura d Goldbach del 742, e la cogettura de prm gemell) Ne secol scors problem collegat a questa teora vevao cofat esclusvamete ell ambto della matematca pura Attualmete, vece, gl algortm basat sulla teora de umer soo ampamete utlzzat ella costruzoe d schem d crttografa, la cu realzzazoe s foda sulla capactà d determare umer prm suffcetemete grad Metre la scurezza d quest schem s foda sulla dffcoltà d fattorzzare u umero grade el prodotto d due umer prm V soo vare dmostrazo che provao l essteza d ft umer Rportamo quella dovuta ad Euclde Teorema 6 I umer prm soo ft Dmostrazoe Suppoamo per assurdo che essta solo u umero fto k d umer prm che deotamo co p p2 pk Posto p p2 pk, essedo pk, tale umero o è prmo e, per l teorema 2, ammette u dvsore prmo Esste allora u

5 5,2,,k tale che p dvde Poché p dvde ovvamete l prodotto qud, per la d 2, p p 2 pk, s ottee che p, ma cò è mpossble p p 2 pk e Duque esstoo umer prm grad quato s vuole No s coosce, però, u procedmeto logco, ua regola matematca per calcolare la sequeza de umer prm L evetuale coosceza d uo schema matematco per l calcolo d ua tale sequeza faclterebbe la possbltà d scomporre fattor prm, ed avrebbe ua rcaduta su alcue tecche utlzzate crttografa per la scurezza degl scamb d formazo Artmetca modulare Fssato u aturale 2, troducamo Z la relazoe d cogrueza modulo Due ter relatv s dcoo cogru modulo se e solo se la loro dffereza è dvsble per I smbol, per due ter relatv a,b s ha a b (mod ) a b k co k Z E facle dmostrare che la relazoe d cogrueza è rflessva, smmetrca e trastva, ossa è ua relazoe d equvaleza Pertato, l seme Z vee rpartto class d equvaleza che vegoo dette ache class resto mod (l ome è gustfcato dal teorema 7), e s deotao co a, o a, se la soppressoe d o dà luogo ad equvoc semplcemete co L seme delle class resto mod s deota co Z Z a, x Z : a x mod a Z a Teorema 7 Og tero relatvo a è cogruete mod al resto della dvsoe d a per Dmostrazoe Basta semplcemete osservare che deotat co q ed r, rspettvamete l quozete e l resto della dvsoe d a per, rsulta a q r, qud a r q Poché l resto della dvsoe d a per è compreso tra 0 ed -, allora og tero appartee ecessaramete ad ua delle class 0,,, e poché queste ultme soo tutte dstte tra loro, possamo cocludere dcedo che Z è composto da Z 0,, elemet dstt, coè:

6 6 Teorema 8 Se a a' (mod ) e b b' (mod ), allora a) a b a' b' (mod ) a b a' b' (mod ) Dmostrazoe Per potes esste u tero h tale che a' a h ed u tero k tale b' b k a) ( a ' b') ( a ( a' a) ( b' ( h k), qud a b a' b' (mod ) ( a ' b') ( a ( a h)( b k) ( a ( ka hb hk), qud a b a' b' (mod ) Il precedete teorema rede lecto trodurre ell seme delle class resto mod le seguet operazo: a b a b, a b a b, a b Z, Lo studo delle propretà relatve a tal operazo va sotto l ome d artmetca modulare Teorema 9 ( Z, ) è u gruppo abelao Teorema 0 ( Z,, ) è u aello commutatvo utaro Se cosderamo l seme Z 4 osservamo che l elemeto prodotto Ifatt, 3 3 = Metre l elemeto 3 è vertble rspetto al 2 è prvo d verso quato o esste alcu tero x tale che 2x- sa multplo d 4 I altre parole, Z esstoo elemet vertl ed elemet o vertbl rspetto al prodotto Il teorema seguete forsce ua caratterzzazoe d tal elemet Teorema L elemeto ( a, ) a è vertble se e solo se a ed soo coprm, ossa Z Dmostrazoe Suppoamo x a vertble, coè che esste u x Z tale che a Per u opportuo tero h, rsulta allora ax h, qud ax h, se esstesse u dvsore prmo d comue ad a ed,esso dovrebbe dvdere ache, ma cò è assurdo Vceversa, se ( a, ) allora esstoo x, y Z tale che ax y, da cu ax y, a x qud

7 7 * Deotamo co Z l seme degl elemet vertbl d Z : * Z a Z : ( a, ) Teorema 2 ( Z *, ) è u gruppo abelao fto Dmostrazoe E suffcete provare che l prodotto d elemet vertbl è vertble, ossa che l prodotto d ter prm co è prmo co Sao a, b Z tal che ( a, ) e ( b, ) Se, per assurdo, esstesse u dvsore prmo d comue ad e ad a b, allora d dvderebbe a o b (teorema 4), ma cò è mpossble, essedo sa a che b prm co I partcolare, se l modulo è u umero prmo allora tutt gl elemet o ull d Z soo vertbl e qud ( Z 0, ) è u gruppo Vceversa, se ( Z 0, ) allora tutt gl ter maggor d e mor d soo prm co e qud u umero prmo Ne cosegue, teedo coto del teorema 0, l seguete Teorema 3 ( Z, ) è u campo se e solo se è u umero prmo La fuzoe d Eulero La fuzoe : N ( ) N, dove (), ( ) N :, (, ) è detta la fuzoe d Eulero se, I altre parole, () è l umero degl ter, compreso, che soo coprm co Per esempo, se è u umero prmo allora ( ) * Osservamo esplctamete che () cocde co la cardaltà d Z Questa semplce osservazoe c cosetrà, come vedremo tra poco, d dmostrare l famoso teorema d Fermat-Eulero, su cu s basao fodametalmete alcu codc a chave pubblca Teorema d Fermat-Eulero ( ) Sao a, Z, co Se ( a, ) allora a (mod ) Premettamo l seguete

8 8 Lemma 4 Se ( G, ) è u gruppo fto d orde ed a u elemeto d G, allora a e Dmostrazoe Detto r l orde d a, per l teorema d Lagrage, esste u tero h r h h tale che hr Ne segue che a ( a ) e e Dmostrazoe del teorema d Fermat-Eulero Applcado l lemma 4 al gruppo ( * * Z, ) a, da cu l asserto Z s ha: Pccolo teorema d Fermat Sa p u umero prmo ed a u tero o dvsble per p Allora a p (mod p) Dmostrazoe Immedata cosegueza del teorema d Fermat-Eulero Test d prmaltà Il seguete famoso rsultato forsce u crtero per stablre se u umero è prmo: Teorema d Wlso Sa p N Allora p è u umero prmo se e solo se ( p )! (mod p) Al fe d dmostrare l teorema d Wlso premettamo l seguete: Lemma 5 Se p è u umero prmo, allora l equazoe cogruezale x 2 (mod p), ammette come uche soluzo x (mod p) Dmostrazoe Per potes, esste u tero h tale che x ( x )( x ) hp L asserto segue dal fatto che l tero p, essedo prmo, dvde ( x ) o ( x ) 2 Dmostrazoe del teorema d Wlso L asserto è vero per p 2 e p 3 Sa p 3 ed a u tero tale che a p Essedo p u umero prmo, a ha u verso (mod p) a ' tale che a ' p Per l lemma precedete gl uc ter cocdet co loro vers soo e - Ne segue che per og tero a tale che 2 a p 2 esste u tero a ' tale che 2 a ' p 2 e aa ' (mod p) Moltplcado gl elemet a, compres tra 2 e p-2, co loro vers s ottee: 2 ( p 2) ( p 2)! (mod p), Da cu moltplcado ambo membr per p-, s ha ( p )! (mod p) Vceversa, sa per potes ( p )! (mod p) Suppoamo, per assurdo, p o prmo e cosderamo u suo dvsore prmo, o baale, a L tero a, essedo compreso tra 2 e p-, dvde ( p )! Ioltre, per potes, p e qud a dvde ( p )! Percò a dvde ( p )! ( p )! M tale relazoe è possble solo s a

9 9 Equazo cogruezal lear Sa u tero postvo e sao a b Z, L equazoe ax b (mod ) co x determata è detta equazoe cogruezale leare x modulo Studare u equazoe cogruezale sgfca, ovvamete, determare evetual soluzo, coè ter s tal che as b, e dre come soo legate tra loro Teorema 6 Se a, e soo prm tra loro, allora l equazoe () ax b (mod ) ammette ua sola soluzoe a meo d cogrueze modulo Coè esste che b z Z : az b mod s as, oltre rsulta s Z tale Dmostrazoe Essedo, per potes, a,, a è vertble Z, coè esste u tero a ' tale che aa ' (mod ) Da cu s ha aa' b b, duque s a' bè ua soluzoe d () Sa z s (mod ), allora as az qud az b (mod ) Ne segue che tutt gl elemet s soo soluzo Vceversa, se t è soluzoe d (), allora at as (mod ), da cu, essedo a vertble (mod ), rsulta t s (mod ) Il precedete teorema forsce ua codzoe suffcete per l essteza d soluzo, ma o ecessara Basta fatt cosderare, ad esempo, l equazoe 4x 2 (mod 2) e osservare che essa ammette soluzo pur o soddsfacedo le potes del teorema Il prossmo teorema, vece, forsce u crtero, ossa ua codzoe ecessara e suffcete, per l essteza d soluzo Teorema 7 Sa ( a, ) d, allora l equazoe () ax b (mod ) ammette soluzo se e solo se d dvde b I tal caso l seme S delle soluzo s rpartsce d class d cogrueza modulo Pù precsamete: S x 0, x 0,, x 0 2,, x 0 ( d ),, co x 0 soluzoe della equazoe cogruezale

10 0 (2) a' x b' (mod ' ), co a b a', b' e ' d d d Dmostrazoe Suppoamo prma che d sa u dvsore d b Ha seso allora a d b d cosderare l equazoe (2) x ) Essa ha le stesse soluzo (mod d a b (mod d d d dell equazoe ax b (mod ) Ifatt, as b (mod ) se e solo se s ) Per la propretà M 4, ( a ', ') e, duque, per l teorema 6, l equazoe (2) e qud l equazoe () ammette soluzo Se x 0 è ua soluzoe, soo soluzo della (2) ache gl ter x0 d Z L equazoe (2) ammette fte soluzo tutte cogruet tra d loro modulo ' Queste fte soluzo rspetto alla cogrueza modulo s rpartscoo vece d class d cogrueze Ifatt, x0 x0 j (mod ) h Z : j hd d d Pertato le soluzo dell equazoe () soo x 0, x0, x0 2,, x0 ( d ) d d d Suppoamo ora che l equazoe () abba ua soluzoe x 0 e dmostramo che d dvde b Per potes esste u tero h Z tale che ax0 h b Da cu, poché d dvde sa a che, segue che d dvde b Esempo S cosder l equazoe 2x 8 (mod 6) Essa ammette soluzo poché (2,6)=4 dvde 8 Possamo cosderare allora l equazoe 3x 2 (mod 4), d cu ua soluzoe, uca a meo d cogrueze modulo 4, è x 0 2 Scchè le soluzo dell equazoe 2x 8 (mod 6) soo: I vrtù del teorema 7, se l equazoe ax b (mod ) ammette ua sola soluzoe a meo d cogrueze modulo, allora ecessaramete a e soo prm tra loro Coè s ha l vceversa del teorema 6 Per sstem d equazo cogruezal lear abbamo l seguete:

11 Teorema cese del resto Sao b, b, 2, b ter, co 2, e m, m, 2, m ter postv a coppe prm tra d loro, ossa ( m, m j ), j,2,, Allora l sstema d cogrueze x b (modm ) x b 2 (modm 2 ) x b (mod m ) Ha ua uca soluzoe modulo m m, 2, m M Dmostrazoe Sa M m m 2 m e, per,2,, M Gl ter M ed m m soo prm tra loro, per og per,2, Pertato, per og, l equazoe M x (mod m ) ha ua soluzoe che deotamo co x Poamo Essedo M multplo d z M xb M xb M xb M xb m h, per og h, rsulta: M M x b x b 0 b (mod m ), h (mod m ), h se h se h Pertato s ha z 0 b 0 b (mod m ),2,,, ossa z è soluzoe del sstema dato Se z' z (mod M ) allora z' z è multplo d M e qud d m,,2,, Ne segue che z' z (mod m ),,2,,, e qud che z ' è ach essa soluzoe Rmae da dmostrare l uctà della soluzoe modulo M Sa z ' ua soluzoe del sstema dato d cogrueze Allora z' b (mod m ), e duque z' z (mod m ) Cò vuol dre che og m dvde z' z, ed essedo gl m prm tra loro, ache l loro prodotto M dvde z' z, ossa z' z (mod M ) La dmostrazoe del teorema precedete forsce u metodo per l calcolo della soluzoe Esempo Cosderamo l seguete sstema d cogrueze lear: x 2 (mod3) x (mod 4) x 3 (mod 5) Usado le otazo del teorema precedete otteamo

12 2 M 60, M 20, M 5 e M 2 Rsolvedo le cogrueze M x (mod m ), per =,2,3, otteamo x 2, x2 3, x3 3 Pertato z M x b M x b M x b (mod 60) S osserv fe che la codzoe, posta el teorema cese del resto, su modul delle equazo d u sstema, o è ecessara perché l sstema abba soluzoe Basta fatt cosderare l sstema: x (mod0) x 9 (mod2) e osservare che esso ammette la soluzoe 8, pur o essedo 0 e 2 prm tra loro A tal proposto eucamo, seza dmostrare, l seguete: 3 Geeralzzazoe del cogrueze teorema cese del resto S cosder l sstema d x b (modm ) x b 2 (modm 2 ) x b (mod m ) Co 2, b, b, 2, b ter e m, m, 2, m ter postv Tale sstema ha soluzo se e solo se ( m, m j ) dvde b b j, per og, j,, co j