Compito A1- Soluzioni

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1 Compto A- Soluzo Eserczo (4 put) I ua dage statstca codotta presso 0 rstorat s soo raccolt dat rportat tabella, dove l sgfcato delle varabl è l seguete Spesa: Copert: Stelle: esa a persoa meda (escl. bevade) capeza del rstorate (umero d post) valutazoe del crtco d u oto quotdao Tpo Spesa Copert Stelle Spesa Copert Spesa * Copert Etco - Afrcao Tradzoale Pzzera Tradzoale Lusso Self Servce Pzzera Gappoese Tradzoale Lusso a) S stetzz co u opportua statstca d poszoe l carattere Stelle ( puto) Stelle è u carattere qualtatvo ordale. La sua dstrbuzoe d frequeze è data da: La medaa è par a 3. Stelle Frequeze relatve 0,0 3 0,40 4 0,30 5 0,0 b) S calcol la retta d regressoe d Spesa su Copert (3 put) Post YSpesa e Copert Y N.B. M()55.5, M(Y)39.4, Var()7.45, Cov(Y) Eserczo ( put) Perché l dpedeza statstca mplca l dpedeza regressva? Due varabl e Y s dcoo regressvamete dpedet se le mede delle dstrbuzo codzoate dell ua a valor dstt dell altra soo tutte egual. Se e Y soo statstcamete dpedet, le dstrbuzo codzoate d Y () dat valor dstt d (Y) soo tutte egual, qud avrao tutte la medesma meda.

2 Eserczo 3 (4 put) Il 35% d ua classe d matematca provee dal Lceo Classco, metre l rmaete 65% ha frequetato l Lceo Scetfco. Sapedo che la probabltà d superare l esame al prmo tetatvo per l prmo tpo d studet è del 47%, metre per ch ha frequetato lo Scetfco tale probabltà sale al 56%, s determ a) la probabltà che uo studete scelto al caso all tero della classe super l esame ( put) Sa C l eveto lo studete provee dal Lceo Classco e sa C l eveto lo studete provee dal Lceo Scetfco. S ha C)0.35 e C )0.65. Sa S l eveto lo studete supera l esame al prmo tetatvo. S ha S C)0.47 e S C )0.56. La probabltà da determare è data da: S) S C)C)+ S C ) C ) b) la probabltà che uo studete che ha superato l esame provega dal Lceo Classco ( put). S C) C) P ( C S) 0.3. S) Eserczo 4 ( put) Sa Y ua varable aleatora beroullaa d parametro 0.3. Sa, oltre, ua varable aleatora tale che la dstrbuzoe d Y ( 0,) è beroullaa d parametro 0.4. a) S scrva la dstrbuzoe del vettore aleatoro (,Y). ( puto) Poché le dstrbuzo codzoate d soo tutte ugual tra loro, le due varabl aleatore soo dpedet. Pertato, teedo coto della codzoe d dpedeza, p ( xy, ) p ( x) p( y), s ha Y 0 Total Totale b) S calcol la dstrbuzoe d Z Y. ( puto) Y y Nella prossma tabella vee rportato, per og cella, l valore assuto dalla varable aleatora Z: Y Pertato la dstrbuzoe d Z è la seguete 0 Z

3 Eserczo 5 (6 put) U gruppo d studet d Astrooma ha come obettvo la msurazoe della dstaza fra due corp celest. Gl studet sao ache che l telescopo amatorale loro dotazoe ha (come aturale) u errore d msurazoe, che secodo l mauale delle struzo può essere così quatfcato: og osservazoe dpedete effettuata co l telescopo dffersce dal dato reale per u errore casuale che s dstrbusce ormalmete co meda 0 e varaza 6. Ne segue che la sgola osservazoe è ua varable casuale dstrbuta ormalmete co meda par al valore reale della quattà che s vuole msurare, e varaza par a 6. A questo puto gl studet decdoo d effettuare 8 osservazo dpedet allo scopo d stmare la dstaza fra due corp celest, rportado seguet rsultat: a) I cosderazoe d quato detto sull errore d msurazoe, s stm co u tervallo d cofdeza al 95% la dstaza fra due corp celest. ( put) Le osservazo computo costtuscoo u campoe..d da ua varable Normale co valore atteso µ o oto e varaza eguale a 6. La dstaza cocde co l valore atteso o oto. L tervallo d cofdeza per µ a lvello 0.95 è dato σ σ 4 4 da: z α /, + z α /.96, L tervallo stmato corrodete è dato da: ,38.96,4004, ( 400.6,4007.5). 8 8 b) Determare l umero d osservazo ecessare affché l ampezza dell tervallo d cofdeza al 95% sa more d 0, ( put) La lughezza dell tervallo d cofdeza d lvello 0.95 è data da l.96 4 /, da cu:.96 4 / < 0, > S dovrebbero compere 4587 osservazo. c) Sarebbe stato possble rodere al puto b) el caso d popolazoe co varaza o ota? Motvare la rosta. ( put) Nel caso d varaza o ota, la varaza dovrebbe essere stmata a partre dalle realzzazo sc campoare. La lughezza dell tervallo d cofdeza è data da l t α /. No s potrebbe pervere ad u rsultato esatto.

4 Eserczo 6 (4 put) Sa ua popolazoe ormale co meda cogta e varaza 9. S vuole testare l potes ulla H 0 : µ 5 cotro H : µ 3 Dato u campoe beroullao d ampezza e la regoe d rfuto: R ( x,..., x ) : x < 40 s determo: a) la probabltà d errore d prma ece ( put) P R H P 40 5 < µ P Z < φ ( ) ( ) b) la probabltà d errore d secoda ece ( put) P R H P 40 3 µ P Z φ ( ) ( ) Eserczo 7 (3 put) S cosdero due popolazo e Y che rappresetao le durate ( mut) d due dfferet tp d lampade e s suppoga che e Y sao ormalmete dstrbute co valor attes µ e µ Y cogt e varaze o oteσ e σ Y che suppoamo essere ugual. S cosderao due campo estratt da e da Y, (,,, 5 ) e (Y, Y,.., Y ) che hao dato luogo alle realzzazo: 5 5 x 565 ( x x) y 4344 ( y y) S scrva la regoe d rfuto per verfcare l potes ulla H 0 : µ µ Y cotro l potes alteratva H : µ µ Y suppoedo α0.05 e s decda se accettare o o accettare H 0 sulla base della realzzazoe osservata. Sappamo che la regoe crtca per l problema questoe ha la seguete forma: x y ( + ) R ( x, y): > t α / + Nel ostro caso, 5, e α 0.05, duque ( + t ) (5) α / t Pertato la regoe crtca è x y R ( x, y) : > I corrodeza delle realzzazo campoare forte, s ha oltre

5 pertato x y s p ; x y e duque l potes ulla vee accettata. Eserczo 8 ( put) Nell ambto della regressoe leare, s rport l eressoe aaltca della scomposzoe della devaza e s llustr l dce ad essa collegato. La somma totale de quadrat s scompoe ella somma della somma de quadrat del modello e della somma de quadrat dell errore. ( y y) ( yˆ y) + ( y yˆ ). Il coeffcete d determazoe del modello R è dato dal rapporto tra la somma de quadrat del modello e la somma de quadrat totale e rappreseta la percetuale della varabltà totale egata dal modello. R vara tra 0 e, quato pù è vco a tato mglore è l modello.

6 Compto A-Soluzo Eserczo (4 put) I ua dage statstca codotta presso 0 rstorat s soo raccolt dat rportat tabella, dove l sgfcato delle varabl è l seguete Spesa: Copert: Stelle: esa a persoa meda (escl. bevade) capeza del rstorate (umero d post) valutazoe del crtco d u oto quotdao Tpo Spesa Copert Stelle Spesa Copert Spesa * Copert Etco - Afrcao Tradzoale Pzzera Tradzoale Lusso Self Servce Pzzera Gappoese Tradzoale Lusso a) S stetzz co u opportua statstca d poszoe l carattere Stelle ( puto) Stelle è u carattere qualtatvo ordale. La sua dstrbuzoe d frequeze è data da: La medaa è par a 3. Stelle Frequeze relatve 0,0 0,0 3 0,30 4 0,30 5 0,0 b) S calcol la retta d regressoe d Spesa su Copert (3 put) Post YSpesa e Copert Y N.B. M()59, M(Y)40.5, Var()500, Cov(Y) Eserczo ( put) Perché l dpedeza statstca mplca l dpedeza regressva? Due varabl e Y s dcoo regressvamete dpedet se le mede delle dstrbuzo codzoate dell ua a valor dstt dell altra soo tutte egual. Se e Y soo statstcamete dpedet, le dstrbuzo codzoate d Y () dat valor dstt d (Y) soo tutte egual, qud avrao tutte la medesma meda.

7 Eserczo 3 (4 put) Il 30% d ua classe d matematca provee dal Lceo Classco, metre l rmaete 70% ha frequetato l Lceo Scetfco. Sapedo che la probabltà d superare l esame al prmo tetatvo per l prmo tpo d studet è del 39%, metre per ch ha frequetato lo Scetfco tale probabltà sale al 73%, s determ a) la probabltà che uo studete scelto al caso all tero della classe super l esame ( put) Sa C l eveto lo studete provee dal Lceo Classco e sa C l eveto lo studete provee dal Lceo Scetfco. S ha C)0.3 e C )0.7. Sa S l eveto lo studete supera l esame al prmo tetatvo. S ha S C)0.39 e S C )0.73. La probabltà da determare è data da: S) S C)C)+ S C ) C ) b) la probabltà che uo studete che ha superato l esame provega dal Lceo Classco. ( put) S C) C) 0.7 P ( C S) S) 0.68 Eserczo 4 ( put) Sa Y ua varable aleatora beroullaa d parametro 0.4. Sa, oltre, ua varable aleatora tale che la dstrbuzoe d Y ( 0,) è beroullaa d parametro 0.7. a) S scrva la dstrbuzoe del vettore aleatoro (,Y). ( puto) Poché le dstrbuzo codzoate d soo tutte ugual tra loro, le due varabl aleatore soo dpedet. Pertato, teedo coto della codzoe d dpedeza, p ( xy, ) p ( x) p( y), s ha Y 0 Total Totale b) S calcol la dstrbuzoe d Z Y. ( puto) Y y Nella prossma tabella vee rportato, per og cella, l valore assuto dalla varable aleatora Z: Y Pertato la dstrbuzoe d Z è la seguete 0 Z

8 Eserczo 5 (6 put) U gruppo d studet d Astrooma ha come obettvo la msurazoe della dstaza fra due corp celest. Gl studet sao ache che l telescopo amatorale loro dotazoe ha (come aturale) u errore d msurazoe, che secodo l mauale delle struzo può essere così quatfcato: og osservazoe dpedete effettuata co l telescopo dffersce dal dato reale per u errore casuale che s dstrbusce ormalmete co meda 0 e varaza 6. Ne segue che la sgola osservazoe è ua varable casuale dstrbuta ormalmete co meda par al valore reale della quattà che s vuole msurare, e varaza par a 6. A questo puto gl studet decdoo d effettuare 8 osservazo dpedet allo scopo d stmare la dstaza fra due corp celest, rportado seguet rsultat: a) I cosderazoe d quato detto sull errore d msurazoe, s stm co u tervallo d cofdeza al 90% la dstaza fra due corp celest. ( put) Le osservazo computo costtuscoo u campoe..d da ua varable Normale co valore atteso µ o oto e varaza eguale a 6. La dstaza cocde co l valore atteso o oto. L tervallo d cofdeza per µ a lvello 0.95 è dato da: σ σ 4 4 z α /, + z α /.645, L tervallo stmato corrodete è dato da: ,75.645,3406, ( , ). 8 8 b) Determare l umero d osservazo ecessare affché l ampezza dell tervallo d cofdeza al 90% sa more d 0,05 ( put) La lughezza dell tervallo d cofdeza d lvello 0.90 è data da l /, da cu: / < 0,05 > 6974,4. S dovrebbero compere 6975 osservazo. c) Sarebbe stato possble rodere al puto b) el caso d popolazoe co varaza o ota? Motvare la rosta. ( put) Nel caso d varaza o ota, la varaza dovrebbe essere stmata a partre dalle realzzazo sc campoare. La lughezza dell tervallo d cofdeza è data da l t α /. No s potrebbe pervere ad u rsultato esatto.

9 Eserczo 6 (4 put) Sa ua popolazoe ormale co meda cogta e varaza 9. S vuole testare l potes ulla H 0 : µ 3 cotro H : µ 5 Dato u campoe beroullao d ampezza e la regoe d rfuto: R ( x,..., x ) : x > 40 s determo: a) la probabltà d errore d prma ece ( put) P R H P 40 3 > µ P Z > φ ( ) ( ) b) la probabltà d errore d secoda ece ( put) P R H P 40 5 µ P Z φ ( ) ( ) Eserczo 7 (3 put) S cosdero due popolazo e Y che rappresetao le durate ( mut) d due dfferet tp d lampade e s suppoga che e Y sao ormalmete dstrbute co valor attes µ e µ Y cogt e varaze o oteσ e σ Y che suppoamo essere ugual. S cosderao due campo estratt da e da Y, (,,, 5 ) e (Y, Y,.., Y ), che hao dato luogo alle realzzazo: 5 5 x 8 ( x x) y 7 ( y y) S scrva la regoe d rfuto per verfcare l potes ulla H 0 : µ µ Y cotro l potes alteratva H : µ µ Y suppoedo α0. e s decda se accettare o o accettare H 0 sulla base della realzzazoe osservata. Sappamo che la regoe crtca per l problema questoe ha la seguete forma: x y ( + ) R ( x, y): > t α / + Nel ostro caso, 5, e α 0., duque ( + t ) (5) α / t Pertato la regoe crtca è x y R ( x, y) : > I corrodeza delle realzzazo campoare forte, s ha oltre

10 pertato x y s p ; x y e duque l potes ulla vee accettata. Eserczo 8 ( put) Nell ambto della regressoe leare, s rport l eressoe aaltca della scomposzoe della devaza e s llustr l dce ad essa collegato. La somma totale de quadrat s scompoe ella somma della somma de quadrat del modello e della somma de quadrat dell errore. ( y y) ( yˆ y) + ( y yˆ ). Il coeffcete d determazoe del modello R è dato dal rapporto tra la somma de quadrat del modello e la somma de quadrat totale e rappreseta la percetuale della varabltà totale egata dal modello. R vara tra 0 e, quato pù è vco a tato mglore è l modello.