Variabili casuali doppie

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1 Varabl casual doppe Ua varable casuale doppa (,) è ua fuzoe defta sullo spazo campoaro che assoca ad og possble rsultato dell espermeto ua coppa d umer real (x,y) S y ω ω 3 ω y y 3 (x, y ) (x, y ) (x 3, y 3 ) Dscrete / Cotue x x x 3 Dstrbuzoe coguta Dstrbuzoe margale Dstrbuzoe codzoata

2 Varabl casual doppe dscrete : x, x,, xk : y, y,, yh A og coppa (x,y ) è assocata ua probabltà p = P = y ( = x ) ( ) Propretà ) p k h 0 ) p = = = Dstrbuzoe d probabltà coguta x x y y p p p p x k p k p k y h p h p h p kh

3 Dstrbuzo margal [ ] [ ] ( = x ) = ( = x ) ( = y ) ( = x ) ( = y ) h ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p. = P = x { } h = P = x = y = x = y ( ) ( ) ( ) ( ) = P = x = y + + P = x = y h = p + p + + p h p p.. h = p per =,, k = = k = p per =,, h N.B. Le probabltà margal soo o egatve e la loro somma è. p. 0 k = p. = p. 0 h = p. =

4 Dstrbuzo d probabltà d ua varable casuale doppa p. y y y h x p p p h x p p p h p. x k p k p k p kh p k. p. p. p.h

5 Mede e varaze margal Le caratterstche delle dstrbuzo margal possoo essere stetzzate medate momet. Mede µ µ k = x p = h =. y p. = Varaze k ( ) = x p = σ µ h ( ) = y p. = σ µ.

6 Esempo 8. Il drettore d u grade magazzo tede verfcare se clet dotat della carta fedeltà hao u comportameto dverso da coloro che e soo sprovvst. A tal fe ha rlevato l umero d acqust comput da clet cogutamete al possesso della carta fedeltà. Sa ua varable casuale che assume valore se l clete ha la carta fedeltà e 0 altrmet e sa ua varable casuale che descrve l umero d acqust. Il drgete ha stmato la dstrbuzoe d probabltà coguta per e rportata ella tabella. Fuzoe d probabltà coguta del possesso della carta fedeltà () e del umero d acqust ()

7 Esempo 8. Dstrbuzoe d probabltà coguta ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P( = 0) = P = 0 = + P = 0 = + P = 0 = 3 = = 0.40, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P( = ) = P = = + P = = + P = = 3 = = ( = ) = P( = 0) P ( ) ( ) ( ) P P P = = = 0.40, = = = 0.40, = 3 = = 0.0. ( = 3) = ( = ) ( = ) P P P E[ ] = =.8 ( ) ( ) ( ) ( ) Var = = 0.56

8 Esempo 8. Ad ua prova scrtta d u esame uverstaro u docete ha sommstrato u questoaro co treta domade a scelta multpla. Per og questo lo studete può sceglere fra tre possbl rsposte, delle qual ua sola è corretta. Se lo studete rspode correttamete ad ua domada acqussce u puto, se o rspode ha zero put, se fe dà ua rsposta errata cosegue ua valutazoe egatva par a /. L esame è sosteuto sa da studet che hao seguto l corso che da studet che o l hao seguto. Dopo u elevato umero d esam l docete ha stmato alcue probabltà. I partcolare la probabltà che uo studete abba seguto l corso rsulta Per cascu questo la probabltà che uo studete rspoda correttamete è 0.50 e la probabltà che o rspoda è 0.0. La probabltà che uo studete abba seguto l corso e rspoda correttamete è 0.40, metre la probabltà che uo studete o abba seguto l corso e da ua rsposta errata è 0.5. Sa ua varable casuale che assume valore se lo studete ha seguto l corso e 0 altrmet e sa ua varable casuale che rappreseta l puteggo coseguto al sgolo questo. S vuole determare la dstrbuzoe d probabltà coguta della,. varable casuale doppa ( )

9 Esempo 8. Dat del problema -/ ?????????? ?? ( ) P ( ) P Probabltà margal = 0 = = = 0.65 = 0.35 ( = / ) = ( = 0) ( = ) P P P = = 0.30

10 Esempo 8. Probabltà cogute?? -/ ???? 0.35???? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P = 0 = = P = P = = = = 0.0. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P = = / = P = / P = 0 = / = = 0.5. ( = 0) ( = 0) = ( = 0) ( = 0) ( = / ) ( = 0) ( = ) P P P P = = 0.0, ( = ) ( = 0) = ( = ) ( = ) ( = / ) ( = ) ( = ) P P P P = = 0.0.

11 Esempo 8. Dstrbuzoe d probabltà coguta per la frequeza al corso () e l puteggo () -/

12 Dstrbuzo codzoate Fuzoe d probabltà d codzoata al valore y d ( = x ) = y P ( = y ) = x P = = ( = x ) ( ) = y P( = y ) P = Fuzoe d probabltà d codzoata al valore x d ( = x ) ( ) = y P p = P p. ( = x ) p p. =,,, =,,, k h N.B. Le probabltà codzoate soo o egatve e la loro somma è. p p 0 p. p. 0 p Pr = x = y = = p = p. = k k k ( ) = = p. p. = p. p Pr = y = x = = p = p. = h h h ( ) = = p. p. = p.

13 Valore atteso e varaza delle dstrbuzo codzoate Dstrbuzoe d codzoata a = x h p E [ = x ] = y P( = y = x ) = y p. h = = h ( ) ( ) ( ) [ ] Var = x = y E = x P = y = x = h p = ( y E[ = x ]). p. = Dstrbuzoe d codzoata ad = y k p E = y = x p. = k ( = ) ( ) = = Var y x E y = p p.

14 Esempo 8. Dstrbuzoe d codzoata a =0 Dstrbuzoe d codzoata a = ( ) P ( ) P ( ) P Dstrbuzoe d probabltà coguta ( = = ) P ( = ) ( = = ) P( = ) ( = = ) P( = ) P = = 0 = = = 0.500, P = = 0 = = = 0.375, P = 3 = 0 = = = ( ) P ( ) P ( ) P ( = = ) P ( = ) ( = = ) P( = ) ( = = ) P ( = ) P 0.0 = = = = = 0.333, 0.60 P 0.5 = = = = = 0.47, 0.60 P = 3 = = = =

15 Esempo 8. Mede codzoate e meda margale Dstrbuzoe d probabltà codzoata ad =0 3 P( =0) [ = 0] = ( = = 0) + ( = = 0) + 3 ( = 3 = 0) E P P P = =.65. Dstrbuzoe d probabltà codzoata ad = 3 P( =) [ = ] = ( = = ) + ( = = ) + 3 ( = 3 = ) E P P P = =.97. Dstrbuzoe d probabltà margale 3 P() E[ ] =.8 [ ] [ ] [ ] E = E = 0 P( = 0) + E = P( = ) = =.8.

16 Idpedeza ( = x ) ( = x ) P = y = P = p., P ( = = x ) ( = ) P y = y = p., Le compoet d ua varable casuale doppa soo dpedet se le fuzo d probabltà codzoata soo tutte ugual alla fuzoe d probabltà margale ( = x ) ( = ) = ( = ) ( = ) y x y P P P p = p. p., Le compoet d ua varable casuale doppa soo dpedet quado la fuzoe d probabltà cogute s ottee dal prodotto delle fuzo d probabltà margale

17 Esempo 8.3 I uo studo sull effetto della pubblctà è stato chesto ad u campoe d cosumator se avevao vsto la pubblctà d ua partcolare marca d cereal, ella quale s esaltavao le capactà utrtve, e se avevao acqustato l prodotto. Sa ua varable casuale che assume valore se l cosumatore ha vsto la pubblctà e 0 altrmet e ua varable casuale che assume valore se l cosumatore ha acqustato cereal e 0 altrmet. E stata stmata la dstrbuzoe d probabltà coguta rportata ella tabella Dstrbuzoe d probabltà coguta per la pubblctà () e l acqusto de cereal ()

18 Esempo 8.3 Dstrbuzoe d probabltà coguta per la pubblctà () e l acqusto de cereal () Dstrbuzoe doppa dell esempo 8.3 caso d dpedeza = = = = e soo dpedet!

19 Varabl casual multvarate Ua -pla d varabl casual dscrete,,, ( ) costtusce ua varable casuale dscreta -varata. Le varabl margal soo dpedet se e solo se la fuzoe d probabltà coguta può essere otteuta come prodotto delle fuzo d probabltà margal [( = ) ( = ) ( = )] Idpedeza P x x x per qualuque -pla (x, x,, x ). = P( = x ) P( = x ) P( = x ),

20 Varabl casual doppe cotue (,) f(x,y) Fuzoe d destà coguta y x f ( x, y) = f ( x) f ( y) per qualuque x, y R Idpedeza Le compoet d ua varable casuale doppa cotua (,) soo dpedet quado la fuzoe d destà coguta può essere otteuta come prodotto delle fuzo d destà margal

21 Varabl casual multvarate cotue Ua -pla d varabl casual cotue,,, ( ) costtusce ua varable casuale -varata cotua. Idpedeza Le varabl margal soo dpedet se e solo se la fuzoe d destà coguta può essere otteuta come prodotto delle fuzo d destà margal f ( x, x,..., x ) = f ( x ) f ( x ) f ( x ) per qualuque -pla (x, x,, x ).

22 Valore atteso d ua fuzoe d ua varable casuale doppa (, ) g (, ) Ua fuzoe g(,) d ua varable casuale doppa (,) è, a sua volta, ua varable casuale. Valore atteso (per varabl dscrete) [ ] = k h E g(, ) g( x, y ) p = = Il valore atteso d g(,) può essere terpretato come l valore cu coverge la meda de valor assut da g(,) quado l espermeto è replcato fte volte.

23 Covaraza [ ] Cov(, ) = E ( µ )( µ ) = σ La covaraza è l valore atteso del prodotto degl scart Essa dca se tedezalmete gl scart delle due varabl hao lo stesso sego o sego dverso. σ σ σ > 0 < 0 = 0 cocordaza dscordaza asseza d dpedeza leare Rleva, se esste, l sego del legame leare Varabl casual dscrete k h ( )( ) σ = x µ y µ p = = ( ) = ( µ )( µ ) g,

24 La covaraza s può calcolare come dffereza fra l valore atteso del prodotto delle due varabl casual e l prodotto de valor attes. σ = µ µ µ µ = E[ ] Dmostrazoe k h ( )( ) σ = x µ y µ p = = k h ( µ µ µ µ ) = x y y x + p = = k h k h k h k h µ k h = x y p = = = x y p µ y p µ x p + µ µ p = = = = = = = = k h h k k h k h = x y p µ y p µ x p + µ µ p = = = = = = = = k h h k = x y p µ y p. µ x p. + µ µ = = = = = µ µ µ µ µ + µ µ = µ µ µ

25 Propretà della covaraza [( )( )] σ = E µ µ e d. σ = 0 N.B. No vale l vceversa Cov( a + b, c + d) = acσ Dsuguaglaza d Cauchy Schwarz σ σ σ σ σ = Var( ) = Var( ) Rleva, se esste, l sego del legame leare

26 Propretà Se e soo dpedet la covaraza è ulla. Ifatt µ k h k h = x y p = = = = = k h = x p. y p. = µ µ = = x y p. p. σ = µ µ µ = 0 e soo correlate N.B. Varabl correlate o soo ecessaramete dpedet

27 Propretà Cov(a+b,c+d) = accov(,) Dmostrazoe Cov( a + b, c + d) k h = = ( [ ])( [ ]) = ax + b E a + b cy + d E c + d p Cov( a + b, c + d) k h [ ] µ E a + b = a + b [ ] µ E c + d = c + d ( µ )( µ ) = ax + b a b cy + d c d p = = k h ( µ )( µ ) = ax a cy c p = = k h ( )( ) = ac x µ y µ p = acσ = =.

28 Propretà 3 Dsuguaglaza d Cauchy Schwarz σ σ σ σ σ I caso d perfetto legame leare s ha = a + b σ = σ σ

29 Coeffcete d Correlazoe = E σ µ σ µ ρ ), ( E u dce dell testà del legame leare ( )( ) (, ) (, ) E ρ µ µ σ σ σ ρ σ σ = =

30 Correlazoe curve d lvello ρ = 0 ρ = ρ = 0. 8 ρ =

31 Propretà del coeffcete d correlazoe ) ) 3) 4) 5) ρ(, ) ρ(, ) = = a + b e d. ρ(, ) = 0 ρ( a + b, c + d) = ± ρ(, ) ρ(, ) = ρ(, ) (o vale l vceversa) E u dce dell testà del legame leare E u dce d prevedbltà

32 Esempo 8.4 U ateeo sommstra abtualmete agl studet frequetat u questoaro per rlevare le loro opo su cors. Nel questoaro gl studet devoo esprmere ua valutazoe sulla charezza espostva del docete e sulla sua capactà d susctare teresse per la matera. I etramb cas l gudzo può essere (suffcete), (suffcete) e 3 (buoo). Sa la varable casuale che rappreseta la valutazoe sulla charezza espostva del docete e la varable casuale che rappreseta l gudzo sulla capactà del docete d susctare teresse verso la matera. E stata stmata la dstrbuzoe d probabltà coguta rportata ella tabella. S vuole calcolare l coeffcete d correlazoe. Dstrbuzoe d probabltà coguta della valutazoe degl studet sulla charezza espostva del docete () e sulla sua capactà d susctare teresse ()

33 Esempo 8.4 µ = µ = Dstrbuzoe d probabltà coguta della valutazoe degl studet sulla charezza espostva del docete () e sulla sua capactà d susctare teresse () µ 3 3 x= y= ( ) = x yp = x = y = = σ = µ µ µ = = σ = σ = ρ σ = = = σ σ

34 Esempo 8.5 Dstrbuzoe d probabltà coguta ¼ 0 ¼ ½ 0 ½ 0 ½ ¼ ½ ¼ µ = / µ = 0 µ = σ = Le varabl soo correlate ma dpedet! 0 0

35 Combazo lear d due varabl casual (, ) a + b Esemp a = b = + a =, b = Valore atteso e varaza E a b a b [ + ] = µ + µ µ µ [ ] [ ] = E = E Var a + b = a σ + b σ + abσ ( ) ( ) ( ) (, ) σ σ σ = Var = Var = Cov Se le varabl soo correlate s ha Var a + b = a σ + b σ ( )

36 Valore atteso k [ + ] = ( + ) E a b ax by p = = = ax p + = = = = = a x p + b y p = = = = = a x p. + b y p. = = = aµ + bµ h k h k h k h h k k h by p g (, ) = a + b

37 Varaza k h ( ) Var( a + b ) = ax + by E[ a + b ] p = = k h ( µ µ ) = = k h = = k h = = = ax + by a b p ( µ ) ( µ ) = a x b y + p = a x + b y + ab x y p ( µ ) ( µ ) ( µ )( µ ) k h k h k h ( µ ) ( µ ) ( µ )( µ ) a x p b y p a = + + = = = = k h h k ( ) ( ) = a x µ p + b y µ p + abσ k h ( ) ( ) = = = = = = µ. µ. σ = = = a x p + b y p + ab = a σ + b σ + abσ. b x y p

38 Somma e dffereza d varabl casual Var Var E[ + ] = µ + µ, E[ ] = µ µ, ( + ) = + +, ( ) = +. σ σ σ σ σ σ Se e soo correlate s ha Var( ± ) = σ + σ

39 Esempo 8.6 U vesttore ha mpegato metà delle rsorse a sua dsposzoe u fodo azoaro e l altra metà u fodo obblgazoaro. I redmet del fodo azoaro hao meda 6 e scarto quadratco medo 3, metre redmet del fodo obblgazoaro hao meda 4 e scarto quadratco medo. La covaraza fra redmet de due fod è. S vuole calcolare l valore atteso e lo scarto quadratco medo del redmeto medo degl vestmet. : redmeto degl vestmet azoar : redmeto degl vestmet obblgazoar µ = 6 σ = 3 µ = 4 σ = Redmeto medo [ ] + E = 0.5µ + 0.5µ = = 5 Var σ σ σ ( ) = = + + = σ =.87 +

40 ,,, Combazo lear d [ ] E W varabl casual W = a = a + a + + a = = ( ) = a µ σ σ = = Var W = a + a a E Var [ ] = µ ( ) = σ Cov(, ) = σ N.B. ( ) = correlate Var W a σ =

41 Meda d varabl casual,,, [ ] µ ( ) = σ E =, Var, correlate = = = a = ) ) E = µ ( ) Var σ =

42 Valore atteso e varaza della meda = = = = µ + µ + + µ = µ = µ. [ ] [ ] [ ] E E E E E Var [ ] µ, ( ) = σ correlate =, Var Var Var Var = σ + σ + + σ σ = σ = ( ) = ( ) + ( ) + + ( )

43 Meda d varabl casual detcamete dstrbute ma dpedet,,, E[ ] = µ, Var ( ) σ ( ) =, Cov, = τ,, = = ) ) E = µ ( ) Var σ = + τ

44 Somma d varabl casual,,, E Var [ ] µ, ( ) = σ correlate =, = = = ) ) [ ] [ ] E = E = µ = µ = = ( ) ( ) Var = Var = σ = σ = =