TEST CHI DI INDIPENDENZA STOCASTICA

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1 Comad cel: Test Ch d dpedeza, pag. Test F a due campo per varaze, pag. Materale ddattco per eserctazo cel pro. R. D Ago, Castellaza, Dcembre, 4 TST CHI DI INDIPNDNZA STOCASTICA Per due pop. stat. e s vuole testare se o sao stocastcamete dpedet, ovvero H : p, y p p y, H : p, y p p y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A tal e s cosdera ua realzzazoe campoara d coppe (, y ) d valor d e y d ( 6 ell esempo umerco qu sotto). La requeza assoluta coguta volte che la coppa (, ) d cascua coppa (, ) y ( umero delle y s e rpetuta elle coppe osservate) s rporta ella solta tabella a doppa etrata (ga prodotta co comad Tabella-pvot d cel ella prma parte d questo Corso) delle requeze cogute assolute e requeze assolute margal, p. es. y y dove,, e soo tre valor possbl d, ed y e y soo due valor possbl d e, p.es., s legge ( ) 5 req. ass. cog. d, y, req. ass. marg. d, 6 (I questo cotesto la tabella d cu sopra e detta ache tabella delle cotgeze ). Per og coppa (, y ) l y da la requeza relatva coguta della coppa (, ) prodotto delle requeze relatve margal d ed y che c s attederebbe se e ossero dpedet, coe se H osse vera. P. es. co la tabella d cu sopra (e la termologa aglosassoe) s ha 5,4 req. rel. cog. observed 6 coppa (, y ) 8,4 req. rel. cog. epected ( se H 6 6 Duque el caso d H vera c dovremmo attedere (varablta d campoameto a parte) che valga la seguete uguaglaza per og coppa (, y ) (, ) y ( se H dove la dereza el rquadro col smbolsmo aglosassoe terazoale s scrve O req. ass. cog. Observed O se H vera req. ass. cog. pected Ioltre per avere dereze og caso postve s cosdera ( ) O ( ) vece d O ( O ) ( ) O, ( se H, e duque s ha Duque, pressata ua bassa probablta α d errore d prmo tpo ( ruto d H vera, errore dovuto alla varablta d campoameto), s ha che: (a), valor pccol d tale somma, coe tra zero ed ua certa sogla o valore crtco (dpedete da α ), dcao H vera, metre, (b), valor grad d tale somma, coe maggor (o ugual) d tale sogla, dcao H o vera. Dvdedo cascu terme d tale somma per (che e > ), ulla camba (vegoo rscalat term della somma stessa) e s ha la somma ormalzzata che e la statstca per l test cosderato

2 ( O ) Comad cel: Test Ch d dpedeza, pag. Test F a due campo per varaze, pag. Materale ddattco per eserctazo cel pro. R. D Ago, Castellaza, Dcembre, 4 ( r )( c ), ( se H dove l smbolo ( r )( c ) dca che l valore d tale somma ormalzzata rsulta essere u valore possble della dstrbuzoe o varable aleatora detta Ch-quadro co ( r ) ( c ) g.d.l. o grad d lberta (r umero delle rghe, c umero delle coloe della tabella a doppa etrata). D tale dstrbuzoe s sao calcolare le probablta (c soo comad cel e la tavola umerca che da le probablta a sstra). I coclusoe, dcado co -α ( r )( c ) l valore crtco che lasca a destra ua probablta par ad α, s ruta H, per valor ( r )( c ) della somma ormalzzata maggor d tale valore crtco, ovvero Regoe d ruto d H al lvello d sgcatvta α : ( )( ) > r c ( r )( c ), α Duque la somma ormalzzata e la statstca test. Come llustrato dagl sercz e sotto, s procede come segue: _ per otteere l valore osservato ( r )( c ) della statstca test, per og O della tabella a doppa etrata s deve: (), calcolare, (), calcolare la dereza al quadrato ( O ), (), dvdere tale dereza per, ed e, (4), sommare tutt rapport cos otteut. _ per esegure l test s guarda se l valore osservato ( r )( c ) cos determato cade o o ella regoe d ruto. SRCIZIO. S rspoda alle seguet domade. (A): S scrvao le potes del test-ch d dpedeza. (B): S determ la regoe d ruto dello stesso test al lvello d sgcatvta α.5. (C): Co dat della tabella alla paga precedete s calcol l valore osservato della statstca test approprata per esegure l test. (D): S esegua l test co dat della tabella alla paga precedete al lvello d sgcatvta α.5. (): S determ l p-value e s esegua l test co esso. Svolgmeto. :,, :, (A): Ipotes: H p ( y) p ( ) p ( y) H p ( y) p ( ) p ( y) (B): Co r, c, ( r ) ( c ) da g.d.l., la tavola Ch-quadro all croco d rga e coloa.95 α,.95 5,99. Duque s ha la regoe d ruto d H : INV.CHI(ala;g.d.l.) s ha l valore crtco (C) La statstca test e tabella qu sotto cotegoo gl ( O ) - gdl, somma da l valore osservato della statstca test: -α esatto: > 5,99. Alteratvamete, co l comado cel,.95 INV.CHI(,5;) 5, Il calcolo del suo valore osservato e l seguete. Le celle della prma. Le celle della secoda tabella cotegoo gl ( O ) y y y y 45,585 47,6485,5744,5747 6, , ,44444,44796,9987 4, ,959 6,974,66, ,5 somma 6,649 (D) I base a (B) e (C) sopra s ha duque 6,649 > 5,99,.95 la cu della statstca test cade ella regoe d ruto al lvello d ovvero s ha che l valore osservato 6,649 sgcatvta α.5. Pertato s ruta H al detto lvello d sgcatvta.

3 Comad cel: Test Ch d dpedeza, pag. Test F a due campo per varaze, pag. Materale ddattco per eserctazo cel pro. R. D Ago, Castellaza, Dcembre, 4 (pur o essedoc ella tavola) s () Co la tavola Ch-quadro, per gdl ed l valore osservato 6,649 ha che la probablta a sstra d detto valore e certamete maggore d.995, ovvero s ha che la probablta a destra (che e l p-value) e certamete more d.5 che a sua volta e more d α.5. Stetzzado s ha p. v. P( Ch > 6,649) <.5 < α.5 Duque, come ga atto (D) sopra, s ruta H al lvello d sgcatvta α.5. Co l comado cel seguete s ha l valore esatto del p-value.: p. v. DISTRIB.CHI(6,649;),888 < α.5 NOTA BN: l comado cel TST.CHI(Tabella l valore osservato d Ch. O ;Tabella ) da drettamete l p-value seza dare pero SRCIZIO. U rvedtore d materal per la alegamera ha rlevato area geograca d apparteeza (est, ord, ovest) e tpo d acqusto eettuato (attrezz, legame) relatv ad u campoe d 5 suo clet al e d testare se o v sa dpedeza ra area geograca e tpo d acqusto. La realzzazoe campoara e rportata ella seguete tabella Attrezz Legame st Nord ovest S esegua l test al lvello d sgcatvta.5 sa co la regoe d ruto sa co l p-value. Svolgmeto. dove Attrezz Legame Attrezz Legame st,588 96,49 st,66 5,45 7,488 Nord 58,799 4,69 8 Nord 5,59,954 8,7 ovest 7,76 9,977 ovest,4,774966, somma 6,85 6,85 e l valore osservato della statstca test. La lettura della tavola Ch-quadro all croco della rga gdl e della coloa.995 α da l valore crtco cel INV.CHI(ala;g.d.l.) s ha l valore crtco Duque s ha la regoe d ruto d H : - gdl,,.995,6. Alteratvamete, co l comado -α esatto: >, I coclusoe s ha 6,85 >,596647,.995,.995 INV.CHI(,5;), della statstca test cade ella regoe d ruto al lvello d da cu rsulta che l valore osservato 6,85 sgcatvta α.5. Pertato s ruta H al detto lvello d sgcatvta. Alla stessa coclusoe s arrva calcolado l p-value e corotadolo co l lvello d sgcatvta α.5. Iatt, l valore esatto del p-value s ottee co l comado cel seguete: p. v. DISTRIB.CHI( 6,85; ), < α.5 5, -. Alteratvamete, co la tavola Ch-quadro, per gdl ed l valore osservato 6,85 (pur o essedoc ella tavola) s ha che la probablta a sstra d detto valore e certamete maggore d.995, ovvero s ha che la probablta a destra (che e l p-value) e certamete more d.5 che a sua volta e uguale ad.5. Stetzzado s ha α Vedamo quato segue: p. v. P( Ch > 6,85) <.5 α TST F A DU CAMPIONI PR VARIANZ () Ipotes da testare, () Valore osservato della statstca test, () Statstca test, (4) Regoe d ruto e valore crtco, (5) Comad cel per produrre l tabulato Test F a due campo per varaze, e lettura del tabulato, (6) secuzoe del test sulla base del tabulato ed altre domade cu s puo rspodere sulla base del tabulato. serczo. () Ipotes da testare. Per due popolazo statstche e (cogut.te) ormal le potes da testare soo

4 Comad cel: Test Ch d dpedeza, pag. Test F a due campo per varaze, pag. Materale ddattco per eserctazo cel pro. R. D Ago, Castellaza, Dcembre, 4 σ σ σ σ H : σ σ, H : σ σ, da cu H :, H :, H :, H : σ σ σ σ ( due campo, uo dalla popolazoe ed uo dalla popolazoe, s assumoo dpedet). () Valore osservato della statstca test. Sulla base d u campoe ampezza per la popolazoe ed uo d ampezza per la popolazoe, l valore osservato della statstca test e l rapporto ra le stme putual (corrette) delle due varaze, s ˆ σ (se tale rapporto rsulta >, vece se rsulta < s cosdera l suo recproco > ) s ˆ σ () Statstca test. Tale valore osservato, e uo de valor possbl della varable aleatora o dstrbuzoe F co g.d.l. ed la quale e data dal rapporto ra la varaza campoara varaza campoara S della popolazoe S, S S della popolazoe e la, ( ) ( ) ; ( ) ( F S S ) D tale dstrbuzoe s sao calcolare le probablta, e per l cu calcolo c soo comad cel ed ua tavola umerca (N.B.: el caso sopra detto cu s cosdera l recproco del valore osservato,, la statstca test ha grad d lberta scambat, coe essa e F, quato essa stessa e l recproco d F, ). (4) Regoe d ruto e valore crtco. Come s vede dall potes H s tratta d u test blaterale. Tuttava, l accorgmeto d cosderare sempre u valore osservato > (coe, come detto sopra,, s stesso se e >, o, caso cotraro, l suo recproco, che sara allora > ), permette d are l test blaterale (o ad ua coda ) al lvello α co ua regoe d ruto ulaterale al lvello α / valore d, F che lasca a destra probablta / > ) che superao l valore crtco / α,, ovvero. Iatt, dcado co / α, s l valore crtco (coe l α ) s ha che s ruta H per tutt valor osservat, ( Regoe d ruto d H al lvello d sgcatvta α :,, > α/ (5) Comad cel per produrre l tabulato Test F a due campo per varaze e lettura del tabulato. Il comado e ella barra strumet Dat ed, all tero d essa, Aals de dat el cu meu s scegle l comado Test F a due campo per varaze α/ Per u test al lvello α, alla rchesta d tale comado d dgtare ala bsoga dgtare vece, co quato, come llustrato al puto (4) sopra, s procede co u test ulaterale al lvello α /, ache se l test e blaterale al lvello α (ovvamete l comado rchede la selezoe delle due realzzazo campoare). Il tabulato che α rsulta. output al detto comado e tpcamete l seguete, per date realzzazo campoare, e, el ostro caso, : Test F a due campo per varaze Varable Varable Varable Varable Meda 6, ˆ µ y ˆ µ Varaza,7,5 s ˆ σ s ˆ σ Osservazo 5 5 gdl 4 4 F 8,68 osservato P(F<) ua coda,9879 p-value F crttco ua coda 6,8899 crtco Nelle due ultme coloe a destra (che o soo prodotte da cel) soo rportate le ormazo esplcatve del sgcato d quato rportato el tabulato. 4

5 Comad cel: Test Ch d dpedeza, pag. Test F a due campo per varaze, pag. Materale ddattco per eserctazo cel pro. R. D Ago, Castellaza, Dcembre, 4 (6) secuzoe del test sulla base del tabulato ed altre domade cu s puo rspodere sulla base del tabulato stesso. serczo. Sulla base del tabulato cel d cu sopra, e sapedo che alla rchesta del comado cel d dgtare ala e stato dgtato ala.5, s rspoda alle seguet domade: (A): s speccho le potes H ed H cu l tabulato s rersce, (B): s esplct l calcolo del valore osservato della statstca test corotadolo co quello rportato el tabulato, (C): s esplct l valore crtco dato dal tabulato, (D): dopo aver speccato la regoe d ruto, s esegua l test d tal potes sa co la regoe d ruto sa co l p- value esplctado l lvello d sgcatvta del test, (): s speccho le stme putual delle mede e delle varaze delle due popolazo e, (F): s specch come debboo essere tal popolazo ache valga l test d cu (D). Svolgmeto. (A): le potes soo: H : σ σ, H : σ σ, (B): l valore osservato e dato da terz ultma rga del tabulato,, 4,4 s ˆ σ,7 8,68 > che e l valore rportato ella s ˆ σ,5 (C): dall ultma rga del tabulato rsulta che l valore crtco e :, 4,4 6,8899,5 (D): la regoe d ruto e : 4,4 > 4,4 6,8899 8, 68 > 6,8899 4,4 4,4,5 α/,5, e qud s ruta H al lvello la quale co l valore osservato 4,4 d cu (B), da α,. Alteratvamete, la peultma rga del tabulato da : p-value ulaterale (o p-value a ua coda ),9879 < ala/,5, e duque s ha la stessa coclusoe d ruto d H ga otteuta co la regoe d ruto. (): tal stme s leggoo el tabulato come dcato el puto (5) sopra precedete questo eserczo. (F): le due popolazo debboo essere (cogut.te) gaussae (ed due campo dpedet). 5