Capitolo 6 Gli indici di variabilità
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- Emanuele Danieli
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1 Captolo 6 Gl dc d varabltà ommaro. Itroduzoe. -. Il campo d varazoe La dffereza terquartle Gl scostamet med. -. La varaza, lo scarto quadratco medo e la devaza Le dffereze mede Il coeffcete d varazoe La cocetrazoe I momet Ce sugl dc d mutabltà. - Questoaro.. Itroduzoe La stes d ua dstrbuzoe operata attraverso gl dc d poszoe fa perdere formazo rlevat sulla stessa; gl dc d varabltà tedoo a colmare questa perdta. La varabltà è l atttude d u feomeo quattatvo ad assumere dverse modaltà. Nella metodologa statstca s dstguoo due aspett della varabltà: la dspersoe che caratterzza l maggore o more addesameto delle osservazo toro ad ua meda prestablta; la dsuguaglaza (o varabltà recproca) che evdeza la dverstà delle vare osservazo tra loro. Gl dc d varabltà msurao, qud, la varabltà d ua dstrbuzoe d frequeza: rspetto ad u cetro rappresetatvo (dspersoe) e soo dett scostamet med e s ottegoo determado gl scart x x M tra le modaltà del carattere e ua sua meda x M, e stetzzadol co la stessa o co altra meda; tra le utà statstche a due a due (dsuguaglaza) e soo dett dffereze mede e s ottegoo determado le dffereze valore assoluto x x j delle modaltà del carattere prese a due a due, e stetzzadole co opportua meda. dstguoo : dc assolut d varabltà, che soo espress ua utà d msura che dpede dall utà d msura del feomeo esame, come la varaza, lo scarto quadratco medo etc.; dc relatv d varabltà, che prescdoo dall utà d msura, per cu soo partcolarmete adatt per effettuare cofrot tra feome dvers. Ess s possoo otteere rapportado u dce assoluto ad ua meda o al suo massmo. Ife, s cosderao gl dc ormalzzat come l rapporto d cocetrazoe. Copyrght Esselbr.p.A.
2 . Il campo d varazoe Gl dc d varabltà 89 Il campo d varazoe (o rage) è l dce assoluto d varabltà pù semplce da calcolars, è dato dalla dffereza tra l valore massmo e l valore mmo delle modaltà d u carattere; smbol: ω x x (.) max m L dce questoe è poco utlzzato quato prede cosderazoe solo la dspersoe esstete tra valor estrem della dstrbuzoe, o teedo coto della sua struttura. Esso rsete d evetual valor aomal o d error d regstrazoe preset e dat. EEMPIO Determare l campo d varazoe del seguete seme d umer: 3, 4, 8, 76,,, 7 Per otteere l campo d varazoe bsoga comporre sere l seme; ossa: 4,, 7,, 8, 3, 76 qud, fare la dffereza tra l umero pù grade e l umero pù pccolo: 3. La dffereza terquartle ω U dce d varabltà meo sesble del campo d varazoe a valor estrem eccezoal è la dffereza terquartle data dalla dffereza tra l terzo e l prmo quartle; smbol: δ Q Q 3 Q (3.) tratta d ua msura d varabltà della parte cetrale d ua dstrbuzoe, quato, ell tervallo espresso dall dce, è compreso l 0% delle osservazo. EEMPIO Determare la dffereza terquartle della dstrbuzoe rportata ella tabella 6 del quto captolo. Dall esempo del paragrafo 0 del quto captolo s evce che l prmo e l terzo quartle soo, rspettvamete: Q 80, 9 e Q 90, 7 Copyrght Esselbr.p.A. 3
3 90 per cu la dffereza terquartle è: 4. Gl scostamet med Captolo 6 δ Q Q Q 90, 7 80, 9 0, 49 3 Il campo d varazoe e la dffereza terquartle presetao l comue coveete d o teere coto d tutte le formazo su ua varable statstca. Gl dc d varabltà d cu c occuperemo questo paragrafo, ache se poco usat ella pratca, covolgoo el loro calcolo, tutte le determazo della varable cosderata e soo: lo scostameto medo dalla meda artmetca e lo scostameto medo dalla medaa. prefersce l uo all altro a secoda che sa stata scelta la meda artmetca o la medaa per msurare la dspersoe de dat. Gl dc questoe soo calcolat cosderado valor assolut degl scart, quato, per la meda artmetca, la meda degl scart, pres co l loro sego, è ulla. 4. costameto medo dalla meda artmetca Lo scostameto medo dalla meda artmetca è u dce d varabltà dato dalla meda artmetca de valor assolut degl scart dalla meda artmetca: µ x µ e s dspoe della dstrbuzoe d frequeza delle modaltà è: EEMPIO µ (4.) x µ (4.) Determare lo scostameto medo dalla meda artmetca del seguete seme d umer: 3,,, 3, 8 Per determare l dce d varabltà rchesto occorre calcolare la meda artmetca: 3 µ , 8 Copyrght Esselbr.p.A.
4 Pertato, lo scostameto medo dalla meda artmetca è: Gl dc d varabltà 9 3 4, 8 + 4, 8 + 4, , , 8 µ 8, + 9, 8+ 0, + 8, + 3, 43, 864, 4. costameto medo dalla medaa Lo scostameto medo dalla medaa è u dce d varabltà dato dalla meda artmetca de valor assolut degl scart dalla medaa: e s dspoe della dstrbuzoe d frequeza delle modaltà è: EEMPIO Me Me x Me (4.3) x Me Determare lo scostameto medo dalla medaa del seguete seme d umer: 3,,, 3, 8 Copyrght Esselbr.p.A. (4.4) Per calcolare l dce rchesto è ecessaro dapprma calcolare la medaa. ccome dat soo dspost orde crescete e soo umero dspar (), la medaa è quel umero che occupa l 3 posto, ossa: Me Lo scostameto medo della medaa è duque: Me 86, Dalla propretà della medaa, per cu la somma de valor assolut degl scart dalla medaa è u mmo, s evce che per l medesmo seme d umer s ha: Me < µ
5 9 Captolo 6. La varaza, lo scarto quadratco medo e la devaza. Varaza La varaza d u seme d dat o d ua dstrbuzoe d frequeza è ua msura d dspersoe che s ottee come meda de quadrat degl scart dalla meda artmetca; smbol: ( ) x µ σ e s dspoe, vece, della dstrbuzoe d frequeza: σ ( x µ ) Copyrght Esselbr.p.A. (.) (.) Per evtare calcol laboros della varaza è possble usare la formula semplfcata: σ x x (.3) Il prmo terme a secodo membro è l quadrato della meda quadratca, metre l secodo terme è l quadrato della meda artmetca, per cu: σ Q µ La varaza preseta, tuttava, u otevole coveete: è espressa el quadrato dell utà d msura delle osservazo, ad esempo, se le osservazo soo espresse metr, la varaza è espressa metr al quadrato. Pertato, o è ma possble rappresetare su uo stesso dagramma la varaza e la dstrbuzoe delle osservazo.. carto quadratco medo Per ovvare all coveete vsto, tatstca s prefersce usare la radce quadrata della varaza, espressa ella stessa utà d msura delle determazo d ua varable e deomata scarto quadratco medo o devazoe stadard. Per u seme d dat la sua espressoe aaltca è la seguete: σ ( ) x µ (.4)
6 Gl dc d varabltà 93 e s dspoe, vece, della dstrbuzoe d frequeza, lo scarto quadratco medo è: σ ( x µ ) Come vedremo meglo seguto, elle dstrbuzo d frequeza umodal e o asmmetrche, crca due terz delle osservazo soo compres tra: µ σ e µ + σ. Ioltre, quas tutte le osservazo soo comprese ell tervallo: µ ± 3 σ. VALORE MAIMO DELLO CARTO QUADRATICO MEDIO Quado ua sola modaltà racchude l tero carattere vestgato, metre le rmaet o e posseggoo affatto, lo scarto quadratco medo assume valore massmo:.3 Devaza Copyrght Esselbr.p.A. σ µ (.) max Prma d llustrare esemp d applcazoe delle formule appea date, cosderamo l umeratore della varaza: trattas d u altra msura d dspersoe deomata devaza. Per u carattere X la sua espressoe aaltca è la seguete: D( X) x µ ( ) (.6) I pratca, la devaza è par alla somma de quadrat delle devazo de dat dalla relatva meda. e s dspoe della dstrbuzoe d frequeza, la devaza è: D( X) x µ ( ) (.7) La formula della devaza può essere semplfcata, ode evtare l calcolo laboroso degl scart, e la sua espressoe è: D( X) x µ (.8) Per dat sere la formula semplfcata della devaza è: D( X) x µ (.9)
7 94 EEMPIO a dato l seguete seme d umer: Determare: Captolo 6 4,; 6,; 7,8; 0,4;,9 a) la devaza, utlzzado ache la formula semplfcata; b) la varaza; c) lo scarto quadratco medo. a) La meda artmetca della dstrbuzoe è µ 8,96, per cu la devaza s ottee cosderado l seguete schema: La devaza è par a: ( ) x x - µ x - Copyrght Esselbr.p.A. µ 4, 4,46 9,896 6,,76 7,676 7,8,6,346 0,4,44,0736,9 6,94 48,636 Totale 79,09 D( X) 79, 09 chema Per applcare la formula semplfcata della devaza è ecessaro fare rfermeto al seguete schema che cotee quadrat de umer dat: x x 4, 0, 6, 38,44 7,8 60,84 0,4 08,6,9,8 Totale 480, Essedo µ ( 8, 96) 40, 408, la devaza è: D( X) 480, 40, , 09 chema
8 Gl dc d varabltà 9 b) La varaza è uguale al rapporto tra la devaza e la umerostà dell seme: D( X) 79, 09 σ, 884 c) Lo scarto quadratco medo è uguale alla radce quadrata della varaza: EEMPIO σ, 884 3, 977 a data la dstrbuzoe rportata ella tabella 6 del quto captolo. Determare: a) la devaza, utlzzado ache la formula semplfcata; b) la varaza; c) lo scarto quadratco medo. a) Per determare la devaza della dstrbuzoe esame è ecessaro, dapprma, calcolare la meda artmetca cosderado valor cetral delle class ( x ). A tal fe s cosder l seguete schema: Pertato, la meda artmetca è: x x Totale µ 8, 64 Per calcolare la devaza s cosder lo schema a paga seguete. Copyrght Esselbr.p.A. chema 3
9 96 La devaza è: Captolo 6 x x - µ x - ( ) ( x - µ ) Copyrght Esselbr.p.A. µ 73 4,64 9,77.36, ,64 8, ,6 83 8,64 6,9696 9, 88 33,36,696 83, ,36 4,696 90,88 98,36,77.9,4 Totale 6.878,80 D( X) , 80 chema 4 Per applcare la formula semplfcata della devaza è ecessaro calcolare quadrat de valor cetral delle class e fare rfermeto al seguete schema: Pertato, la devaza è: b) La varaza è: x x x Totale ( ) ( ) D X c) Lo scarto quadratco medo è: , , 80 D( X) , 80 σ, 0304 σ σ, , 48 chema
10 6. Le dffereze mede Gl dc d varabltà 97 Le dffereze mede soo dc d mutua varabltà che esamao le dffereze, valore assoluto, tra le modaltà a due a due x x co (, j),,, j, e e operao ua stes tramte ua opportua meda. I sostaza, l problema è calcolare la somma delle dstaze tra cascu terme e tutt gl altr, ossa: j Le dstaze soo calcolate valore assoluto, quato cosderadoe valor algebrc la sommatora s aullerebbe. x x Copyrght Esselbr.p.A. j (6.) ccome l umero de cofrot tra le modaltà soo ( ), o avedo cosderato cofrot tra cascua modaltà e se stessa, la stes è effettuata facedo la meda artmetca delle dffereze otteedo la dffereza semplce meda: x x j ( ) j (6.) Tale dce è ua msura della varabltà meda tera alla dstrbuzoe, coè fra sgol valor tra d loro. Quado l cofroto tra tutte le modaltà è fatto teedo coto ache della dffereza d ua modaltà co se stessa allora s parla d dffereza semplce meda co rpetzoe defta da: R I due dc soo legat dalla relazoe: j x x j (6.3) R (6.4) per cu og volta che s calcolerà l uo l rsultato potrà esteders ache all altro. La dffereza semplce meda assume: valore mmo quado tutt dat soo ugual tra loro per cu: m 0
11 98 Captolo 6 valore massmo quado utà statstche o possedoo alcua modaltà del carattere metre l -esma possede l tero ammotare del carattere che è uguale a µ, per cu è: max µ (6.) Per dstrbuzo d frequeza la dffereza semplce meda co rpetzoe può essere calcolata applcado la formula d De Fett-Pacello: EEMPIO a dato l seguete seme d umer: Determare: ( )( ) R x( x + ) 4,6;,8; 3,; 7,9;,3 a) la dffereza semplce meda; b) la dffereza semplce meda co rpetzoe. (6.6) Al fe della determazoe degl dc d varabltà rchest predspoamo ua matrce delle dffereze, dopo aver dsposto orde crescete umer dat:,8 3, 4,6,3 7,9,8 0 0,7,8,, 3, 0,7 0,,8 4,4 4,6,8, 0 0,7 3,3,3,,8 0,7 0,6 7,9, 4,4 3,3,6 0 Dalla matrce s evce che le dffereze smmetrche, rspetto alla dagoale prcpale, soo opposte. Il umeratore delle dffereze mede è, qud, par al doppo della somma de valor assolut delle dffereze al d sopra (o al d sotto) della dagoale prcpale. a) La dffereza semplce meda è: ( ) 0, 7 + 8, +, +, +, + 8, + 4, 4 + 0, 7 + 3, 3 +, 6 4 4, 4 0 b) La dffereza semplce meda co rpetzoe è: 4 R 9, Copyrght Esselbr.p.A.
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