Design of experiments (DOE) e Analisi statistica

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1 Desg of epermets (DOE) e Aals statstca

2 L utlzzo fodametale della metodologa Desg of Epermets è approfodre la coosceza del sstema esame Determare le varabl pù sgfcatve; Determare l campo d varazoe delle varabl; Determare le relazo tra varabl-obettv e obettv-obettv F() F() m m ma

3 Pro: Rdurre umero d cofgurazo calcolate; Elmare le cofgurazoe rdodat; trovare le maggor formazo possbl sulle relazo tra varabl ed obettv. Cotro: Normalmete s presuppoe ua relazoe tra varabl ed obettv (leare, quadratca, ecc.) Il DOE o vee sempre utlzzato ua fase d ottmzzazoe. Quado l DOE vee utlzzato durate ua fase d ottmzzazoe, ormalmete la precede (dmuzoe d varabl, uov camp d varazoe). Il DOE può servre a creare database per la successva superfce d rsposta.

4 Le metodologe DOE Radom e Sobol soo basate sulla teora umerca della geerazoe casuale d umer radom (ormalmete compres tra 0 e ) Soo metodologe semplce che coproo modo adeguato l domo d defzoe delle fuzo obettvo Sequeza Radom (mglore per fuzo defte a molte varabl) Sequeza Sobol (mglore per basso umero d varabl) Essedo metodologe basate su geerazoe casuale d umer s evta l problema d creare cofgurazo correlate tra loro.

5 Radom sequece Sobol sequece S ota come l algortmo SOBOL copre modo mglore uo spazo a 2 varabl

6 Esempo d tegrazoe co tecca MoteCarlo: S ota come l accuratezza è mglore per ua geerazoe d umer casulae co algortmo Sobol: cò sgfca ua mglore copertura dello spazo d defzoe della fuzoe da tegrare

7 Metodologe fattoral: Full Factoral Reduced Factoral = umero varabl m = umero d dvso tere della varable (base) m m = ma

8 Co l algortmo DOE Full Factoral s creao tutte le combazo possbl delle varabl (date la base) Numero d cofgurazo = m Poché l umero d cofgurazo da calcolare è molto elevato, Full Factoral s applca ormalmete quado l umero d varabl e/o base è lmtato, oppure quado l calcolo delle fuzo obettvo è rapdo. Cocetto d trusoe el domo (parametro α) α - α MIN MAX

9 ESEMPIO N = 3 (varabl) M = 2 (base e -) 2 3 Full Factoral 2 3 =8 cofgurazo total da calcolare Come s può osservare dall esempo u vataggo della metodologa Full Factoral è la preseza dello stesso umero d cofgurazo co le varabl el campo o Svataggo: per o aumetare troppo le cofgurazo base = 2 allora solo terazo lear

10 Full Factoral 3 lvell Co base 3 è possble calcolare le terazo d secodo orde 3 varabl 27 espermet

11 Reduced Factoral Metodologa fattorale svluppata per dmure le cofgurazo ecessare = umero d varabl m = base Numero cofgurazo m p p<. desg (=*2)

12 Da u puto d vsta operatvo s effettua u Full Factoral su p varabl (ormalmete vegoo scelte che abbao u peso maggore); le rmaet sarao combazoe delle precedet. Pro: Il umero d cofgurazo da calcolare è more rspetto al Full Factoral Cotro: Impossbltà d studare tutte le terazo tra le varabl; Lmte al umero delle varabl (satured factoral co m=3, ma 6 varables (4=*2, 5=*3,6=2*3)

13 Lat square Quado la base aumeta troppo (m > 2,3) co le metodologe Factoral l umero d cofgurazo rcheste può dvetare sosteble; per questo motvo è stata svluppata la metodologa Lat Square. Il umero d cofgurazo rcheste è m 2 varabl Eample: dove m è la base delle a c b b a c c b a A B C B C A C A B Lat Square for 3 varables (X,X2,X3) wth 3 levels : aa b2b c3c X(,2,3), X2(A,B,C), X3(a,b,c) c3b b2c ac c3a b2a ab

14 Vatagg Lat Square: Il umero d desg calcolat o dpede dal umero d varabl; Possbltà d avere ua base elevata seza aumetare l umero d cofgurazo rcheste; Svatagg Lat Square: Il DOE o rappreseta l tero spazo delle varabl (perdta d formazo).

15 Cubc Face Cetered Bo-Behker 2 2* cofgurazo permette lo studo delle terazo del secodo orde Meo costoso del 3 lvell Full Factoral Smle alla metodologa Cubc Face Cetered ma o vegoo utlzzat put estrem degl edge 3 varabl 5 cofgurazo

16 Dopo che le tabella DOE delle cofgurazo è stata valutata, è ecessaro processare dat modo da otteere le formazo del sstema esame: qual soo le varabl pù fluet? s può rdurre lo spazo delle varabl? qual è la zoe dello spazo d defzoe delle varabl pù effcete per gl obettv? l umero d obettv e vcol è adeguato per l problema esame? Aals statstca de dat

17 Aals statstca semplfcata f:r 4 R = 4 m = 2 Reduced Factoral p = 3 A B C D Tot Tot Dff 34 0, Effect 8,5 0,2 6-2 A B C D OBJ , , , , , , ,2 8 87,9 AB ,4 48,6 2,5 AC 23,2 282,9-5,7-2,925 AD 282,9 282,5 0,4 0, Aals statstca semplfcata quato s osserva solamete la dffereza meda del valore della fuzoe all tero del rage o -. Dff=Tot - Tot- Effect=Dff / 4

18 Per mglorare l accuratezza de rsultat s utlzza la metodologa t-studet y y t σ = = = = =,, y y y y ( ) ( ) ( )( ) ( ) = = =,,,,,,,, 2, 2, 2 y y y y σ

19 P(Y) y y Y Il parametro d t-studet dà l dcazoe dell area d rcoprmeto tra le due gaussae; se t-studet tede ad uo l area è pccola è la varable è sgfcatva

20 P(Y) y y Y Se t-studet tede ad zero l area è grade è la varable o è sgfcatva

21 P(Y) y y Y A dffereza dell aals statstca semplfcata o è mportate solo la dffereza tra le mede, ma ache la dstrbuzoe attoro al valore medo

22 Nel caso d t-studet elevato sarà possble: affermare che el domo d defzoe d ua varable, la dffereza tra tervallo e - è elevata; restrgere le rcerche successve ell tervallo (,-) d teresse maggore. Nel caso d t-studet basso sarà possble: affermare che la fuzoe obettvo o vara quado s passa dal domo - a quello ; possbltà d elmare la varable elle aals successve.

23 Uo degl aspett pù mportat dell aalst statstca è trovare le terazo tra le varabl d progetto e le fuzo obettvo e, el caso mult obettvo, tra gl obettv stess Per calcolare queste terazo s può utlzzare l crtero d Chauveet

24 Il crtero d Chauveet auta a trovare la fuzoe d regressoe y=a0aa22 che mmzza la fuzoe: y f = _ dat [ ( )] 2 y a0 a a2 = 2

25 Il problema umerco (trovare parametr a0,a,a2) può essere rsolto co l metodo d Kramer (rsoluzoe sstem lear ) usado le relazo: = = = a f a f a f

26 Dopo avere effettuato la correlazoe, sarà possble determare l seme de put (,y) troppo dstat dalla curva d correlazoe stessa. L utltà d elmare quest put sta el fatto che ess possoo essere NON rappresetatv per ua curva d correlazoe (error umerc, zoe del domo d o teressat, ecc.)

27 Crtero d Chauveet: ( ) _ ) ( _ = = = dat a a a y dat σ Verrao elmat put -esm che: > σ ε ma ma ε È fuzoe del umero d put _dat (la tolleraza cresce co l umero d dat)

28 Il crtero d Chauveet è molto utle per determare le relazo esstet tra vare ettà (varabl-obettv). Molto teressate è l applcazoe del Lat Square asseme al crtero d Chauveet (mult lvello). Co la possbltà d elmare alcu desg s resce ad otteere ua fuzoe d correlazoe pù precsa e meo fluezata da put troppo dvers.