ALCUNI ELEMENTI DI TEORIA DELLA STIMA

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1 ALCUNI ELEMENTI DI TEORIA DELLA STIMA Quado s vuole valutare u parametro θ ad esempo: meda, varaza, proporzoe, oeffete d regressoe leare, oeffete d orrelazoe leare, e) d ua popolazoe medate u ampoe asuale, la stma del parametro può essere espressa medate u uo valore stma putuale) desuto dal ampoe osderato oppure da u tervallo d valor stma tervallare) etro u, o u dato lvello d fdua, s rtee ada l valore vero del parametro θ della popolazoe Per Stmatore T d u parametro ϑ s tede ua statsta alolata sul ampoe meda ampoara X, varaza ampoara S, peretuale ampoara P, e) l u valore s hama stma Il valore della stmatore stma) vara orrspodeza del ampoe estratto Stma Putuale Stma putuale d ua meda La stma putuale d ua meda osste el valutare, per mezzo d u ampoe, l valore µ meda) della popolazoe Come stmatore s prede la meda ampoara X quato esso è uo orretto, osstete ed effete Ad X s assoa la sua devazoe stadard σ ello spazo ampoaro, detta errore medo d ampoameto o Errore Stadard ES): ES =, dove σ è la varaza della popolazoe L ES è versamete proporzoale alla rade quadrata della umerostà ampoara, maggore è e more è l'errore d ampoameto Stma putuale della varaza Uo stmatore orretto della varaza σ della popolazoe è: X X) S =, essedo X 1,X,,X ) l ampoe 1 Stma putuale d ua proporzoe Uo stmatore orretto d ua proporzoe π della X popolazoe è la frequeza relatva P = del ampoe, essedo X =1 oppure =0 a seoda se l eveto d u s vuole stmare la proporzoe s è verfato o meo La devazoe stadard della proporzoe ES) rsulta: p1 p) ES = 1) Stma Itervallare Ua volta ote le dstrbuzo d probabltà degl stmator putual de parametr d ua popolazoe, è possble studare la botà della stma ampoara d u parametro ogto Stma tervallare d ua meda S suppoga, ad esempo, d voler stmare l valor medo µ d ua popolazoe he s dstrbuse ormalmete o devazoe stadard σ = S effettua u ampoameto d = 36 osservazo dpedet È oto he questo aso lo stmatore X è ua varable aleatora dstrbuta ormalmete, 1 S rorda he, el aso d ampoameto da popolazoe fta d umerostà N, la formula dell errore stadard va orretta moltplado per l fattore N N 1 1

2 he ha valor medo µ e devazoe stadard σ = 1 3 Estratto u ampoe asuale, s potzz d aver otteuto u valore x = 13 8 per la meda ampoara Come s usa questa formazoe? Ua varable aleatora X dstrbuta seodo la ormale ha ua probabltà ota 1 α d trovars u tervallo etrato attoro al suo valor medo e d ampezza data par ad a: Rsolvedo rspetto a µ, s può ahe srvere: Prob µ a < X < µ a) = 1 α Prob X a < µ < X a) = 1 α *) he esprme l fatto he l tervallo asuale X a, X a) otee al suo tero la meda µ o probabltà par a 1 α S ottee, tal modo, u tervallo d fdua per la meda µ L approo lasso al problema è duque l seguete: fssato u valore d probabltà, ad esempo 1 α =095, s determa l valore a = a 095 modo he sa soddsfatta la *) Così faedo possamo affermare he l vero medo µ s trova, o probabltà 1 α = 95, ell tervallo X a, X a ) 0 95 Ua volta effettuato l ampoameto e alolato x = 13 8, l tervallo d ofdeza assoato a tale ampoe è 138 a, 138 a ) : ma o è orretto dre he la probabltà he µ ada tale tervallo è I realtà, vsto he la probabltà he la meda appartega a X a, X a ) è 095, s ha fdua 0 95 he l tervallo otteuto della meda ampoara x = 13 8 otega l valore vero e ogto della meda µ I term operatv ò sgfa he estraedo potetamete 100 ampo della stessa umerostà, s aspetta he per 95 d ess la meda µ appartega all tervallo x a 0 95, x a ) della meda x otteuta asu ampoe Il grado d fdua he s attrbuse alla stma è espresso dal lvello d probabltà 1 α, detto lvello d fdua Resta da alolare l valore d a 095 Per fare questo basta rordare l proedmeto d Z = X µ ) σ s dstrbuse seodo la stadardzzazoe d ua varable ormale La varable ) ormale stadard e la dsuguaglaza X a 095 < µ < X a è equvalete alla a 0 95 σ < z < a σ Qud s ha: a 095 = z σ, essedo z l valore della varable ormale stadard per u Prob-z < z < z ) = 095 I realtà l valore z detto valore rto) è tale he le due ode rspettvamete a destra d z e a sstra d z abbamo etrambe probabltà uguale a 1 095) / = 0 05, ossa del 5% Utlzzado la tabella della dstrbuzoe ormale stadard Appede Dspesa Dstrbuzoe Normale) s ottee he z 196 S può allora oludere o dat del ostro esempo he: l vero valore del valor medo µ s trova, o u lvello d ofdeza del 95%, ell tervallo / 9, / 9 ) 1315, 1445) S osserv he per og estrazoe d ampoe s ottee u tervallo d ofìdeza dverso Oguo d ess è u tervallo d ofdeza leto C è u modo u pò dverso d terpretare lo stesso alolo Seodo questo puto d vsta dremo he l valor medo µ appartee all tervallo appea ostruto al lvello d errore del 5% Questo sgfìa he se s assume he l valor medo appartee all tervallo s può ommettere u errore oè µ può ahe o apparteere all tervallo), ma la probabltà d sbaglare è solo del 5% Esempo1 S vuole stmare l vero valore medo µ dell urema ua popolazoe mashle; è oto he tale popolazoe la dspersoe dell urema è σ = 11 mg/dl S assume u lvello d ofdeza del 95%

3 S suppoga d estrarre u ampoe asuale d 40 soggett dalla popolazoe mashle, d determare l valore d urema per oguo de 40 soggett e d otteere u valore della meda par a 555 mg/dl L tervallo d ofdeza della meda al 95% è par a: *11/ 40, *11/ 40 ) 51, 589) Pertato l parametro ogto µ è ompero tra 51 e 589 e s ha quas la ertezza ofdeza del 95%) he ò è vero Naturalmete l affermazoe potrebbe ahe essere falsa fatt è ua probabltà del 5% he l tervallo o luda l parametro), ma s rtee he tale depreable evetualtà sa osì poo probable da o aptare Esempo S vuole stmare la pressoe arterosa PAS) d mash d età S è msurata la PAS a 36 uom ella fasa d età d teresse selezoat a aso a partre dalla lsta de pazet d u medo d base S è trovato he la PAS meda sul ampoe è par a 144 mmhg S potzz d oosere he σ = 40 mmhg S tede alolare l tervallo d ofdeza al 95% della PAS e stablre se la PAS meda de mash d età possa essere par a 150 mmhg L tervallo d ofdeza della meda al 95% è par a: *4/ 36, *4/ 36 ) 13616, 15184) Pertato la PAS meda è ompresa o u lvello d fdua del 95%) tra e 15164; pohé l valore 150 è ompreso ell tervallo esso è uo de valor plausble per la pressoe sstola Esempo3 I u ampoe d 11 uom estratt a aso da ua data popolazoe soo stat rlevat seguet valor d olesterolo mg/100ml): 65, 08, 361, 143, 310, 5, 39, 5, 184, 0, 33 Assumedo he l lvello d olesterolo abba dstrbuzoe ormale o σ = 65 mg/100ml, s vuole determare l tervallo d ofdeza al 99% per l valor medo del olesterolo ella popolazoe d rfermeto Utlzzado la tabella della dstrbuzoe ormale stadard Appede) s ottee he l valore z della varable ormale stadard per u Prob-z < z < z ) = 099 è par a 58 Osservato he l valore medo ampoaro è par a 49, u tervallo d ofdeza per la meda è: 49 ± 58 65/ ,9956 ) Se s effettua u ampoameto a partre da ua popolazoe dstrbuta ormalmete, ma d u s gora sa l valor medo he la devazoe stadard, s può proedere ome sopra semplemete sosttuedo la devazoe stadard ampoara s a quella della popolazoe σ e la dstrbuzoe t d Studet o opportu grad d lbertà) alla dstrbuzoe ormale stadard D osegueza, al posto de valor rt z, s avrao valor rt t, 1, dpedet questa volta o solo dalla probabltà he l tervallo deve avere d oteere l valor medo della popolazoe, ma ahe dalla dmesoe del ampoe S suppoga, ad esempo, d dsporre d u ampoe d 16 valor e d aver otteuto ua meda ampoara x = 3 e ua varaza ampoara s = 4 Per ostrure l tervallo d ofdeza al 95% per µ s deve sfruttare l fatto he la varable aleatora X µ ) s ) è dstrbuta seodo ua t d Studet o 1 = 15 grad d lbertà e he, qud, al 95% orrspode l valore rto t, 1 è par a t 0 95, 15 = 13 vedere tavola della dstrbuzoe t d Studet Appede alla Dspesa sul Campoameto per α =005) , , ovvero 1935, 4065) L tervallo d ofdeza è qud dato da ) Stma tervallare d ua frequeza o proporzoe Il problema della stma tervallare d ua frequeza relatva d ua modaltà d u arattere osste ell dvduazoe, sulla base d u ampoe, d u tervallo reale etro u l valore della frequeza ella popolazoe d rfermeto o oto) ada o u dato lvello d fdua Come stma putuale della frequeza relatva π della popolazoe s prede la frequeza relatva p del ampoe, quato stma orretta d π Per ostrure l tervallo d ofdeza per π oorre oosere la dstrbuzoe della frequeza relatva F ampoara P = Per ua umerostà ampoara abbastaza grade, P s dstrbuse seodo ua 3

4 π 1 π ) urva ormale o meda π e devazoe stadard DS P) = Pertato, attraverso l utlzzo della dstrbuzoe ormale stadard, può essere determata la probabltà he la frequeza relatva P π stadardzzata: Z = appartega ad u dato tervallo reale: -a, a) Se allora, s rleva ua DSP) frequeza relatva sul ampoe par a p, s può ostrure l tervallo d fdua per la frequeza relatva della popolazoe: s è fduos al 1 α)% he tale frequeza ada ell tervallo: p1 p) p1 p) p z < π < p z essedo z l valore della varable ormale stadard per u Prob-z < z < z ) = 1 α) Esempo I u ampoe asuale semple d 400 dvdu estratto da ua popolazoe d fumator, rsulta he 80 soo fort fumator fumao pù d u pahetto d sgarette al goro) S vuole stmare la proporzoe π d fort fumator ella popolazoe d rfermeto medate u tervallo d ofdeza al 95% Osservato he p = 80/400 = 0, α = 0 05 e z = 1 96, l tervallo d ofdeza è dato da: < π < ovvero: 016; 04) = 16%; 4%) QUESITI 1) I ua popolazoe d uom fartuat al moardo, l lvello d olesterolo medo è par a 40 mg/dl o ua devazoe stadard d 40 mg/dl Estraedo asualmete u ampoe d 100 soggett s è trovata ua meda d 35 mg/dl Qual è la probabltà he l lvello medo d olesterolo sa maggore o uguale a 60 mg/dl? Qual è l tervallo d ofdeza per la meda µ della popolazoe al lvello del 95%? Rsposte: Pr obx > 60) = Pr ob z > = P z > = Pz > 5) = 0 ; 40 / ± / ,484) ) L de d massa orporea BMI kg/m ) msura l grado d soprappeso d u soggetto Per la popolazoe d uom d mezza età he svlupperao dabete mellto, la dstrbuzoe d BMI ha forma approssmatvamete ormale o meda µ o ota è devazoe stadard σ =7 kg/m U ampoe asuale d 58 soggett selezoat da questo gruppo ha fatto regstrare ua meda d 5 kg/m Determare l tervallo d ofdeza al 99% per la meda della popolazoe d dabet Rsposta: 5 ± 58 7 / 58 41,59) 4

5 3) S suppoga d aver alolato l'tervallo d ofdeza al 95% della meda d ua popolazoe L'tervallo al 99% sarà pù grade o pù polo? 4) Il peso medo d u ampoe d 81 adult è rsultato par a 80 kg Sapedo he la devazoe stadard della popolazoe è par a 5, ostrure l'tervallo d ofdeza al 90% e 95% per la meda della popolazoe 5) L età meda d u gruppo d 10 studet he hao appea oseguto u dploma d laurea treale è a Costrure u tervallo d ofdeza al 95% per la meda della popolazoe degl studet srtt al orso d laurea sapedo he tale popolazoe s dstrbuse ormalmete o varaza par a 45 6) I u ampoe d 50 dvdu a u era stato sommstrato u vao at-fluezale, 35 dvdu otraggoo la malatta Calolare l'tervallo d ofdeza della proporzoe d dvdu ammalat 7) U omtato vuole stmare la proporzoe d persoe he utlzzao u persoal omputer Vegoo tervstate 370 persoe e s stablse he 14 d queste utlzzao u PC S determ la stma per tervall o ofdeza al 95% per la frequeza relatva d utlzzator d PC 8) Da ua popolazoe grade d studet è stato estratto u ampoe asuale o rsultat d tabella: Class d peso kg) Frequeza assoluta a) stmare la devazoe stadard de pes degl alu della suola; b) stmare, medate tervall d ofdeza ad u lvello d fdua del 95%, l peso medo degl alu della suola 5