Parte I (introduzione)

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1 arte I (trodzoe) Espressoe dell ertezza d msra (UNI CEI 9) L ertezza rappreseta geerale dbbo. Il dbbo ra la valdtà del rsltato d a msrazoe vee espresso medate l ertezza d msra. Iertezza d msra arametro, assoato al rsltato d a msrazoe, he e aratterzza la dspersoe de valor ragoevolmete attrbbl al msrado. Il parametro pò essere o sarto tpo o la semampezza d tervallo avete lvello d fda stablto. L ertezza d msra, geerale, dpede da pù ompoet. Tale possoo essere valtate dalla dstrbzoe statsta de rsltat d sere d msrazo, altre soo valtate da dstrbzo d probabltà potzzate.

2 arte I (trodzoe) Espressoe dell ertezza d msra (UNI CEI 9) Il problema dell espressoe dell ertezza vee posto el 977 dal Comtato Iterazoale de es e delle Msre (CIM). L Uffo Iterazoale de es e delle Msre (BIM) prodsse qd el 980 la raomadazoe INC- ttolata Espressoe delle ertezze spermetal. Norma UNI CEI 9 Gda all espressoe dell ertezza d msra (ISO Gde to the epresso of ertaty measremet 995). 00_008_E.pdf La orma stablse le regole geeral per la valtazoe e l espressoe dell ertezza d msra.

3 arte I (trodzoe) Espressoe dell ertezza d msra (UNI CEI 9) Il metodo deale per la valtazoe dell ertezza del rsltato d a msrazoe deve essere:.uversale: l metodo deve essere applable a ttt tp d msrazoe e d dat gresso..iteramete oerete: l ertezza deve essere drettamete dervable dalle ompoet he v otrbsoo, dpedetemete dal modo qeste vegoo raggrppate. 3.Trasferble: l ertezza valtata per rsltato deve essere drettamete tlzzable ome ompoete ella valtazoe dell ertezza d altra msrazoe ella qale tervega l prmo rsltato.

4 arte I (trodzoe) Espressoe dell ertezza d msra (UNI CEI 9) Raomadazoe INC- (980) ) L ertezza del rsltato d a msrazoe osste geere svarate ompoet he possoo essere raggrppate de ategore a seoda del modo se e stma l valore mero: A. qelle valtate per mezzo d metod statst; B. qelle valtate medate altr metod.. ) Le ompoet apparteet alla ategora A soo aratterzzate dalle loro varaze stmate s.. 3) Le ompoet apparteet alla ategora B devoo essere aratterzzate da gradezze, terpretabl ome approssmazo delle varaze orrspodet.. 4) L ertezza omposta deve essere aratterzzata medate l valore mero he s ottee applado l metodo abtale per la omposzoe delle varaze.. 5) Qalora sa eessaro, moltplare l ertezza omposta per fattore, osì da otteere ertezza globale, l fattore moltplatvo deve essere dato.

5 arte I (trodzoe) Iertezze d tpo A e d tpo B U ertezza tpo d ategora A è otteta da a destà d probabltà dervata da a dstrbzoe d freqeza osservata. var() as sqrt(var()) as La varaza stmata sarà qesto aso la varaza stmata statstamete s, lo sarto tpo stmato è dqe s. v0; >> for :0000, vv(()-mea())^; ed >> vv/9999 v

6 arte I (trodzoe) Iertezze d tpo A e d tpo B U ertezza tpo d ategora B è otteta da a destà d probabltà potzzata slla base del grado d redeza del verfars d eveto. La varaza stmata sarà qesto aso alolata base alle formazo dspobl, lo sarto tpo stmato è σ. a -a 0.5/a [ ] a a a a a d a a a a a σ

7 arte I (trodzoe) Valtazoe dell ertezza tpo Modello della msrazoe U msrado Y vee geere determato medate altre N gradezze X,X,,X, tlzzado a relazoe fzoalef: Yf (X,X,,X ) La fzoe f potrebbe ahe rdrs alla fzoe dettà essere talmete omplata da o essere esprmble forma aalta. I valor delle gradezzex,x,,x e le rspettve ertezze possoo provere da msrazo drette (fr. Iertezza d ategora A), o possoo essere trodotte da fot estere (fr. ertezze d ategora B).

8 arte I (trodzoe) Valtazoe dell ertezza tpo Valtazoe d ategora A dell ertezza tpo DateosservazoX,k della gradezza d gressox, la mglore stma del valore atteso è la meda artmeta o valore medo X X, k k La varaza spermetale delle osservazo è: s ( ) ( ) X X X k N.B.: Se s tlzza el modello della msrazoe l valore medo oorre tlzzare la stma della varaza d tale valore: s, k ( ) s ( X ) X Tale qattà e la sa rade qadrata postva vegoo spesso hamat varaza d ategora A- ( ) - e ertezza tpo d ategoraa-( ).

9 arte I (trodzoe) Valtazoe dell ertezza tpo Valtazoe d ategora B dell ertezza tpo er gradezza d gresso X he o è stata stmata medate osservazo rpette, la varaza stmata ( ) e l ertezza tpo ( ) devoo essere valtate per mezzo delle formazo dspobl e rtete attedbl: dat d msrazo preedet; espereza o ooseza geerale del omportameto e delle propretà de materal e strmet d teresse; spefhe tehe del ostrttore; dat fort ertfat d taratra o altr; ertezze assegate a valor d rfermeto pres da maal ( ) e ( ), valtate qesto modo vegoo spesso hamate varaza d ategora B e ertezza tpo d ategora B.

10 arte I (trodzoe) Valtazoe dell ertezza tpo U pao d osservazo (e qalhe esempo) Ua stma d ategora B dell ertezza tpo pò rsltare pù attedble d a stma d ategora A della stessa ertezza. Cò pò aadere qado la stma d ategora A è basata s mero troppo lmtato d osservazo dpedet del msrado. E possble mbatters dharazo d ertezza he fao rfermeto a fssato lvello d fda. I tale aso l ertezza tpo pò essere stmata soltato se s sppoe ota ahe la fzoe d dstrbzoe assoata. ESEMIO : U resstore ampoe ha valore d essteza par a 0,00074 Ω ± 9 µω, dove l ertezza dharata dvda tervallo d fda del 99 %. Sppoedo he la dstrbzoe sa ormale s pò assmere le l ertezza tpo del resstore sa (R s )(9 µω)/,5850µω. ESEMIO : Abbamo gà vsto he, el aso d a dstrbzoe rettagolare smmetra d sem-ampezza a, la varaza vale ( )a /3.

11 arte I (trodzoe) Determazoe dell ertezza tpo omposta L ertezza tpo omposta rappreseta lo sarto tpo stmato assoato o la stma del rsltato della msrazoe y ed è dato o (y). La relazoe he lega l ertezza tpo degl gress ( ) o l ertezza tpo dell sta (y) è data dalla legge d propagazoe dell ertezza (da o ofodere o la legge d propagazoe degl error!).

12 arte I (trodzoe) Determazoe dell ertezza tpo omposta Gradezze d gresso o orrelate De varabl asal soo statstamete dpedet o o orrelate se la dstrbzoe d probabltà ogta è gale al prodotto delle de dstrbzo margal L ertezza tpo omposta è la rade qadrata postva della varaza omposta: f ( y) ( ) L ertezza tpo omposta aratterzza la dspersoe de valor ragoevolmete attrbbl al msrado Y. Casa ( ) è ertezza tpo valtata ome ertezza d ategora A o ome ertezza d ategora B.

13 arte I (trodzoe) Determazoe dell ertezza tpo omposta Gradezze d gresso o orrelate Ifatt. Svlppado sere d Taylor la fzoe f(.) attoro a valor attes E( )µ delle, e trasrado term d orde sperore, s ha: (y) ( ) f y µ y µ f ( ) ( ) y µ ( ) y µ f f f ( µ ) ( µ )( µ ) Il valore atteso de qadrat degl sostamet rspetto a valor med dat soo propro le varaze σ y e σ ; ( µ )( µ ) Il valore atteso E[ ]del prodotto msto è llo per le potes fatte.

14 arte I (trodzoe) Determazoe dell ertezza tpo omposta Gradezze d gresso o orrelate La legge d propagazoe dell ertezza pò essere espressa ome: ( y) [ ( )] ( y ) f I term (par alle dervate parzal della fzoef(.) rspetto alle varabl ) vegoo dett oeffet d sesbltà. Ess desrvoo ome la stma dell sta y vara al varare delle stme degl gress. I oeffet possoo essere alolat ahe spermetalmete - seza rorrere alla ooseza della fzoe f(.). S vara a varable d a qattà opporta e s msra la varazoe prodotta sll stay. ( y) ( )

15 arte I (trodzoe) Determazoe dell ertezza tpo omposta Gradezze d gresso o orrelate Se l modello della msrazoe è del tpo: p p Y k X X... dove gl espoet p soo mer ot o ertezza trasrable, allora l ertezza omposta assme la forma: N X p N N [ ( y) / y] [ p ( )/ ] Ovvero qesto aso è la varaza relatva omposta ad essere gale alla ombazoe leare delle varaze relatve stmate de sgol gress.

16 arte I (trodzoe) Determazoe dell ertezza tpo omposta Gradezze d gresso o orrelate ESEMIO: s vole alolare la poteza a radofreqeza dete s resstore ampoe (metodo bolometro). Esstoo ressteze grado d permettere msre fo a freqeze dell orde d 70 GHz. Ifatt, asseza e preseza dell rraggameto la ressteza s porterà a de temperatre dverse e qd la poteza assorbta varerà modo orrspodete. V ; R R 0 α R V ' R' ' ( t) R ( ( t t )) 0

17 7 arte I (trodzoe) Determazoe dell ertezza tpo omposta Gradezze d gresso o orrelate La determazoe dell ertezza omposta rhede la determazoe de oeffet : ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] t t t t t t t R R V t t R V V o α α α α α

18 arte I (trodzoe) Determazoe dell ertezza tpo omposta Gradezze d gresso o orrelate L ertezza omposta del valore attrbto alla poteza sarà: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t t R R V V o o α α ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] 4 3 t R V o α ( ) ( ) ( ) ( ). 4 3 ( ) ( ) ( ). '

19 arte I (trodzoe) Determazoe dell ertezza tpo omposta Gradezze d gresso orrelate L ertezza tpo omposta el aso d gradezze orrelate (o dpedet) è aora la rade qadrata postva della varaza omposta, qesta tttava assme la forma: ( ) ( ) ( ) f f f y, ( )., f f ( )( ) µ µ Ifatt, qesto aso o è pù leto spporre he sa llo l valore della ovaraza tra le varabl e, ovvero l valore E[ ].

20 arte I (trodzoe) Determazoe dell ertezza tpo omposta Gradezze d gresso orrelate Laovaraza assoata alle varabl e è espressoe qattatva della loro dpedeza mta ed è defta ome: ( X ) ( )( ) ( ), X X µ X X X p X, X dx dx ov µ La ovaraza stmata (X,X )(X,X ) s ottee da oppe dpedet d osservazo smltaee delle de varabl ome: (, ) ( )( ) k k k

21 arte I (trodzoe) Determazoe dell ertezza tpo omposta Gradezze d gresso orrelate S tlzza spesso l oeffete d orrelazoe ( ) ( ) ( ) ( ) r,, Esso è ompreso ell tervallo [-,] ed è llo se le varabl soo dpedet. La legge d propagazoe dell ertezza dveta allora: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) r y, Nel aso spealssmo ttt gl gress soo orrelat o oeffete d orrelazoe r(, )± la legge d propagazoe dell ertezza assme la forma: ( ) ( ) [ ] ( ) f y

22 arte I (trodzoe) Determazoe dell ertezza tpo omposta Gradezze d gresso orrelate Ahe per la ovaraza è possble avere a valtazoe d ategora A o d ategora B. A) Se de varabl d gresso X e X vegoo stmate alolado le mede, allora a stma d ategora A della ovaraza delle mede è: (, ) ( ) ( X )( ) k X X k X k B) Se s tlzzao le formazo dspobl slla varabltà orrelata delle gradezze d gresso X e X s ottee sa stma d ategora B delle della ovaraza delle de varabl.

23 arte I (trodzoe) Determazoe dell ertezza estesa L ertezza tpo omposta pò essere tlzzata versalmete per esprmere l ertezza d msra; tale applazo ommeral, dstral e ormatve, e là dove soo ovolte la srezza e la salte pbbla, è sovete eessaro dare a valtazoe qattatva dell ertezza he defsa tervallo toro al rsltato della msrazoe he s aspett ompredere a gra parte della dstrbzoe d valor he possoo essere ragoevolmete attrbt al msrado.

24 arte I (trodzoe) Determazoe dell ertezza estesa Se osderamo a dstrbzoe gassaa otteamo he gl tervall selt soo legat a lvell d ofdeza seodo la fgra rportata: Se, tttava osderamo a dstrbzoe rettagolare l lvello d ofdeza assoato all tervallo [(µ σ),( µσ)] è par a / 3 0, 577

25 arte I (trodzoe) Determazoe dell ertezza estesa La valtazoe qattatva spplemetare dell ertezza he forse tale tervallo è deomata ertezza estesa U. L ertezza estesa U vee otteta moltplado l ertezza tpo ampoe per fattore d opertra k U k ( y) Il valore del fattore d opertra dpede dalla porzoe p della dstrbzoe d probabltà he s vole ldere (ovvero dalla probabltà p he l valore del msrado ada tale tervallo). Il parametro p vee detto probabltà d opertra o lvello d fda. I geerale k è el ampo tra e 3.

26 arte I (trodzoe) Determazoe dell ertezza estesa Come determare la relazoe tra l lvello d fda desderato p e l fattore d opertrak? La orma desrve metodo semplfato per la determazoe del fattore d opertra basato slle seget osservazo: la stma d y è ravata da stme delle gradezze d gresso aratterzzate da dstrbzo be dvdate; le ertezze delle stme de parametr d gresso otrbsoo eqamete all ertezza omposta dell sta; L approssmazoe, mplta ella legge d propagazoe dell ertezza, è adegata; L ertezza omposta è pola.

27 arte I (trodzoe) Determazoe dell ertezza estesa I qeste rostaze, graze al Teorema del lmte etrale, s pò rteere ormale la dstrbzoe d probabltà he aratterzza l rsltato della msrazoe! I qesto aso, freqete ella prata, s pò rteere he k forsa tervallo d fda approssmatvamete del 95 per eto, k3 forsa tervallo d fda approssmatvamete del 99 per eto; L Appede G della Norma UNI CEI 9 forse a gda ompleta al trattameto de asrbell.