Attualizzazione. Attualizzazione

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1 Attualzzazoe Il problema erso alla captalzzazoe prede l ome d attualzzazoe Abbamo ua operazoe fazara elemetare e dato l motate M dobbamo determare l corrspodete captale zale C L'attualzzazoe è la operazoe ersa della captalzzazoe; se dchamo co f( l fattore d motate abbamo C M f ( t ) La quattà ( t ) ( f prede l ome d fattore d attualzzazoe corrspodete al fattore d motate f( Fabo Bell 3 Attualzzazoe I fattor d attualzzazoe godoo delle seguet propretà: ) ( è defta per t [ T ) oppure per t [ ) ) () ) ( è ua fuzoe ocrescete del tempo t Il fattore d attualzzazoe ( esprme qud l alore attuale (al tempo coè ogg) d Euro dspoble al tempo t E' qud decrescete t e sempre more o uguale a A cascu regme d captalzzazoe assocamo u corrspodete regme d captalzzazoe: ( (regme dello scoto semplce o razoale) t ( ( ) t e δt (regme dello scoto composto) ( dt (regme dello scoto commercale) Fabo Bell 3

2 Fluss fazar L'oggetto fodametale d studo della matematca fazara tradzoale soo fluss fazar U flusso fazaro è u seme d mport ( geerale d sego posto oppure egato) che egoo rceut (oppure pagat se d sego egato) u seme prefssato d stat d tempo Matematcamete u flusso fazaro è ua coppa d ettor: l ettore degl mport R e l ettore delle scadeze t Scramo S { R ; t } U flusso fazaro cu tutt gl mport soo post prede l ome d redta fazara o semplcemete redta La caratterstca fodametale de fluss che cosderamo questo cotesto è quella d essere cert; l terme R prede l ome d rata - esma e l terme t prede l ome d scadeza -esma Grafcamete: Fabo Bell 3 Alcu tp fodametal d redte: Tp d redte a rata costate / a rata arable; utara se R temporaee (coè co u umero fto d rate) / perpetue (fte rate) perodche (le rate soo equterallate) / o perodche atcpate / postcpate (l pagameto aee all'zo/fe del perodo d competeza) mmedate (le rate zao subto) /dfferte Fabo Bell 3

3 Esemp Ua redta aua mmedata atcpata d 3 rate: ua redta aua mmedata postcpata d 3 rate: ua redta aua dfferta d perod postcpata d 3 rate: Fabo Bell 3 Il alore attuale Itroducamo ora l fodametale cocetto d alore attuale d ua redta Il alore attuale d ua redta è la somma de alor attual de sgol fluss calcolat utlzzado u regme d attualzzazoe prefssato che usualmete è quello dello scoto composto I formule se abbamo ua redta S l suo alore attuale è dato da { R ; t } V ( S) R ( t doe rappreseta l umero d rate e (t ) l fattore d attualzzazoe relato alla scadeza t Osseramo che el caso d ua redta perpetua la sommatora deta ua sere composta da ft added ) Fabo Bell 3 3

4 Propretà del alore attuale Il alore attuale gode d due propretà fodametal: addttà e omogeetà Cosderamo due redte S e S Defamo aztutto la redta "somma" S S come la redta che s ottee sommado cascua scadeza le rate delle redte S e S L'seme delle scadeze della redta S S sarà oamete l'uoe dell'seme delle scadeze delle redte S e S La propretà d addttà dce che l alore attuale della somma d due redte è la somma de alor attual delle due redte; smbol V ( S S ) V ( S) V ( S ) La dmostrazoe d questa propretà è oa: Fabo Bell 3 S ha edetemete Propretà del alore attuale V ( S S ) ( R R ) ( t ) R ( t ) R( t ) V ( S) V ( S) doe R dca la rata -esma della prma redta metre R è la rata - esma della secoda redta Per calcolare l alore attuale d ua redta complcata posso qud decomporla ella somma d redte pù semplc e po sommare l loro alor attual La propretà d omogeetà dce ece che V ( α S) ( αr ) ( t ) α R ( t ) αv ( S) coè se moltplco tutte le rate per ua costate ache l alore attuale s moltplca per la stessa costate Il alore attuale è pertato ua fuzoe leare Fabo Bell 3 4

5 Valore d ua redta u state t Fora abbamo calcolato l alore d ua redta S ell'state d tempo zale per coezoe t I modo del tutto aalogo possamo defre l cocetto d alore attuale d ua redta u state t geerco: V ( S R ( t t doe l fattore d attualzzazoe due arabl (tt ) rappreseta l alore al tempo t d Euro dspoble al tempo t Se utlzzamo l regme d attualzzazoe dello scoto composto come cosegueza della propretà d scdbltà che abbamo sto la olta scorsa l alore attuale al tempo t s ottee captalzzado l alore attuale al tempo : Negl altr regm d attualzzazoe questa propretà o è erfcata ) V ( S V ( S) ( ) t Fabo Bell 3 Calcol d alor attual Cosderamo ora ders cas che c coducoo a formule molto mportat Izamo da ua redta aua mmedata postcpata composta da rate d mporto utaro el regme dello scoto composto al tasso auo : Le crocette dcao le rate l pallo l'state d alutazoe Itroducamo aztutto la otazoe per l fattore d attualzzazoe relato ad u perodo Dato che l alore attuale è la somma de alor attual de sgol fluss abbamo Fabo Bell 3 5

6 6 Calcol d alor attual Fabo Bell 3 ha s Dato che ) ( otteamo ha s Rcordado che se 3 3 V V V Calcol d alor attual Fabo Bell 3 La quattà (- )/ è fodametale ella matematca fazara e prede l ome d "a fgurato al tasso " S dca co: Se ece (coè ) la formula precedete o è alda Possamo ragoare due mod; dal puto d sta fazaro ua tasso d teresse par a corrspode a u fattore d attualzzazoe par a per qualsas scadeza; l alore attuale d qualsas rata cocde co l suo ammotare Pertato se l alore attuale è semplcemete la somma delle rate el caso d ua redta mmedata postcpata d rate utare è par semplcemete a Dal puto d sta matematco possamo cofermare l rsultato osserado che a ) ( lm ) ( lm lm a

7 Calcol d alor attual Se la rata fosse par a R ece che a dalla propretà d omogeetà aremmo edetemete V Ra Cosderamo ora ua redta aua mmedata atcpata composta da rate d mporto utaro el regme dello scoto composto al tasso auo : Possamo rpetere l ragoameto d prma: V ( ) a& che s legge "a atcpato fgurato al tasso " Fabo Bell 3 Calcol d alor attual Ache qu se l alore attuale è par a e se la rata è R ece d l alore attuale è par a V Ra& Cofrotado la redta postcpata co quella atcpata possamo osserare mmedatamete che a&& a&& ( ) a a (dalla propretà d scdbl tà) (dalla propretà d addttà ) Fabo Bell 3 7

8 Calcol d alor attual Cosderamo ora ua redta aua mmedata postcpata dfferta d p a composta da rate d mporto utaro el regme dello scoto composto al tasso auo : S ha p p p V ( ) a Fazaramete per questa redta a p rappreseta l alore attuale ell'state tp; dalla propretà d scdbltà l alore attuale t s ottee moltplcado l alore attuale tp per p p p Fabo Bell 3 Calcol d alor attual Cosderamo ora ua redta aua mmedata postcpata composta da p rate La posso edere come somma d ua redta mmedata postcpata composta da p rate e d ua redta postcpata d rate dfferta d p perod: E pertato edete dal puto d sta fazaro che dee alere a a a p p p Fabo Bell 3 8

9 Calcol d alor attual Cosderamo ora ua redta perpetua mmedata postcpata composta da fte rate aue utare el regme dello scoto composto al tasso auo : S ha edetemete 3 V ( ) doe abbamo utlzzato la espressoe della somma d ua sere geometrca Osseramo che < se e solo se >; se la sere derge; l alore attuale derge a pù fto Fabo Bell 3 Calcol d alor attual Lo stesso rsultato s ottee facedo tedere a fto ella espressoe del alore attuale della corrspodete redta fta: lm a lm se < Se ece la redta perpetua fosse atcpata: allora l alore attuale sarebbe dato da V Fabo Bell 3 9

10 Valore attuale fuzoe del tasso I tutt cas fora cotrat la fuzoe V() che esprme l alore attuale d ua redta fuzoe del tasso d teresse gode delle seguet propretà: - V è ua fuzoe decrescete d - V() è par alla somma delle rate (che è pù fto el caso delle redte perpetue - lm V ( ) R coè quado tass detao molto grad l alore attuale tede alla rata percepta al tempo t (che può ache essere ulla) Vedremo pù aat che la derata prma della fuzoe V() è legata alla durato della redta metre la derata secoda alla sua coesstà Fabo Bell 3 Valore fale o motate d ua redta Cosderazo del tutto aaloghe a quelle fora solte s applcao al alore fale o motate d ua redta Izamo dal caso base d ua redta aua utara mmedata postcpata d cu calcolamo l alore ell state fale t: poamo u (fattore d captalzzazoe relato a u perodo) otteedo u u M u u u u s u Equaletemete posso prma calcolare l alore attuale t e po captalzzarlo per perod otteedo l dettà s a u Fabo Bell 3

11 Valore fale o motate d ua redta Se la redta fosse atcpata: aremmo semplcemete M ( ) s us & s Fabo Bell 3