Elementi di matematica finanziaria

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1 Elemeti di matematica fiaziaria 18.X.2005 La matematica fiaziaria e l estimo Nell ambito di umerosi procedimeti di stima si rede ecessario operare co valori che presetao scadeze temporali differeziate Ciò rede impossibile ua loro trattazioe co le tradizioali regole algebriche e impoe l impiego di strumeti che cosetao di operare co valori diversamete posizioati temporalmete La ricchezza degli strumeti della matematica fiaziaria o può certamete essere riassuta i ua lezioe: i questa sede l obiettivo è di cocetrare l attezioe su alcui strumeti che cosetoo alcue importati operazioi di stima

2 Iteresse, motate, motate uitario L iteresse è il prezzo d uso del capitale il tasso può essere espresso i termii uitari (ad es. 0,01) oppure i termii percetuali (1%) La somma del capitale e dei relativi iteressi è defiita motate Il motate uitario (q) è la somma del capitale uitario (riferito ad ua euro) e degli iteressi maturati i u ao se il tasso di iteresse è 0,01, q è1,01 Iteresse semplice, iteresse composto L iteresse può essere semplice, quado gli iteressi maturati o maturao a loro volta altri iteressi composto, el caso cotrario L iteresse semplice è impiegato per periodi iferiori o uguali all ao

3 Iteresse semplice I regime di iteresse semplice, l iteresse e il motate soo rispettivamete dati da: I = Cr M = C + Cr = C 1 + ( r ) dove è la frazioe dell ao cosiderata E quidi la stima di C, oto M, sarà eguale a: C M = 1 + ( r) Iteresse composto Dopo u ao, ua somma ivestita geera Dopo due ai: Dopo ai ( r ) M = C 1 + Il valore aticipato di C è uguale a Formula eguale al caso dell iteresse semplice! [ C ( 1 + r )]( 1 + r ) = C ( 1 r ) 2 M = + ( r ) M = C 1 + C = 1 M ( + r )

4 Capitali el tempo Se le prestazioi fiaziarie hao, a parità di ammotare, u valore diverso i fuzioe della loro scadeza, o potrò sommare valori differiti el tempo Per effettuare delle operazioi algebriche dovrà quidi riportare tutti i valori allo stesso mometo Gli strumeti soo rappresetati dai coefficieti di aticipazioe e posticipazioe, che variao i fuzioe della durata del periodo cosiderato I coefficieti di aticipazioe e di posticipazioe Periodi iferiori all ao Coefficiete di posticipazioe 1 + r Coefficiete di aticipazioe r Periodi superiori all ao Coefficiete di posticipazioe q Coefficiete di aticipazioe 1 q

5 U milioe al variare del tempo e del tasso di iteresse All aumetare del tempo, dimiuisce il valore Tasso di iteresse 1 ao 2 ai 3 ai 10 ai 20 ai 1% % % % % % % % % % Al crescere del saggio, il valore dimiuisce Valore e tasso di iteresse Valore attuale di 1 milioe tra vet'ai ai

6 Aualità Co il simbolo a vegoo idicate le aualità, ovvero quelle prestazioi fiaziarie che si verifica ad itervalli auali Nel caso delle aualità, oltre all ammotare e alla scadeza, bisoga cooscere ache il dato relativo alla loro durata Esse possoo essere: posticipate o aticipate, i base alla scadeza rispettivamete all iizio o alla fie dell ao costati o variabili, i fuzioe del loro ammotare limitate o illimitate, i base alla durata delle prestazioi Aualità costati, posticipate, limitate Il caso delle aualità posticipate limitate si preseta el caso i cui, ad esempio, si poga i locazioe u immobile destiato ad u impiego temporalmete defiito E possibile procedere al calcolo del valore delle aualità sia cosiderado il mometo della stima, sia cosiderado il mometo i cui si ipotizza la fie dello sfruttameto ecoomico del bee Nel primo caso parleremo di accumulazioe iiziale delle aualità, el secodo di accumulazioe fiale

7 Accumulazioe iiziale e fiale Le formule per il calcolo dell accumulazioe iziale Ai e fiale Af soo riportate di seguito Ai a( q 1) = a( q 1) rq Af = r La rappresetazioe grafica dell accumulazioe fiale Nell accumulazioe fiale le aualità posticipate soo portate alla scadeza. Si oti che siamo i regime di iteresse composto.

8 La rappresetazioe grafica dell accumulazioe iiziale Nell accumulazioe iiziale le aualità posticipate soo attualizzate al mometo della stima Aualità costati, posticipate, illimitate Il caso delle aualità posticipate illimitate si preseta el caso i cui si cosideri u immobile di durata illimitata: è l ipotesi della stima per capitalizzazioe L accumulazioe iiziale è calcolata come segue: lim Ai = Ai = a ( q 1) a r rq

9 La quota di reitegrazioe La quota di reitegrazioe è quell aualità costate e posticipata che viee accumulata per u certo umero di ai allo scopo di costituire u capitale di etità predetermiata Q = Cr q 1 Il calcolo della quota deriva dal calcolo di Af: C è l accumulazioe fiale Af Qre è l aualità a Iteresse e valore di C Si oti che il valore della quota di reitegrazioe Q èfuzioe della durata delle aualità, del valore di C, e del saggio di iteresse I particolare, mateedo costati le altre variabili, la quota aumeta all aumetare del valore dell accumulazioe fiale, dimiuisce all aumetare della durata e del saggio di iteresse

10 U esempio Dobbiamo stimare la quota da accatoare aualmete per disporre tra 5 ai di euro al saggio del 3% Il calcolo è il seguete: * Q = Se aumeta la somma fiale a , la quota aumeta a euro circa Se aumeto la durata delle aualità a 10 ai, mateedo l obiettivo di ua accumulazioe fiale a , la quota scede a euro Se aumeta il tasso di iteresse (dal 3 al 5%), sempre ell ipotesi di raggiugere euro i 5 ai, la quota scede a euro