DISPENSE DI MATEMATICA FINANZIARIA

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1 SPENSE MATEMATA FNANZAA 3 Piai di ammortameto. 3. osiderazioi geerali. U piao di ammortameto cosiste ella restituzioe di u importo preso a prestito mediate il versameto d'importi distribuiti el tempo. appreseteremo u piao d'ammortameto sotto forma di ua tabella ce avrà per coloe rispettivamete l'epoca, la quota capitale, la quota iteresse, la rata e il debito residuo. Ai (o periodi) = = diciamo co l'importo prestato e co,, K le quote capitale versate (dove rappreseta la quota capitale versata al geerico periodo, metre rappreseta l'ultimo periodo, ossia la durata del piao d'ammortameto stesso). Vale la relazioe: = = ossia la somma di tutte le quote capitale deve essere uguale all importo prestato. Ovviamete, il debitore o dovrà restituire solamete l'importo prestato ma ace gli iteressi maturati a ogi periodo. U'altra caratteristica dei piai d'ammortameto sarà perciò il tasso di remuerazioe del prestito i (ce ipotizzeremo costate per tutta la durata del piao). Le quote iteressi, ce idiceremo co (co =, K, ), rappresetao u costo per il debitore ma u guadago per il creditore. Sarao calcolate a ogi periodo sulla base della parte di debito o acora rimborsata: = i = i ( ) ( ) = i 3 M = i l debito residuo all'epoca rappreseta l'importo da restituire all'epoca (co =, K, ). Possiamo calcolarlo i due maiere: visioe prospettiva (come somma delle quote capitale acora da pagare): ( ) j= + = visioe retrospettiva (come somma delle quote capitale già pagate, dedotte dal debito iiziale): j

2 = eve valere ioltre l'ovvia relazioe =. Possiamo adesso defiire uovamete le quote iteresse attraverso il debito residuo el modo seguete: = i A ogi periodo il debitore dovrà versare ua quota capitale e ua quota iteresse: la somma algebrica di queste due quote prede il ome di rata. Avremo perciò: j= = + =, K, j iepilogado: Ai (o periodi) = i + = - = i + = = - i = = - - = - i= i + = Le rate dovrao soddisfare la seguete relazioe (ci poiamo sempre el F ): = ( + i) = ossia la somma dei valori attuali delle rate deve uguagliare l'importo prestato (l'importo prestato sarà quidi il valore attuale di ua redita avete per rate le rate del piao d'ammortameto). imostrazioe: cosideriamo dapprima il caso di u mutuo co rimborso uico del capitale alla fie dell ao. Avremo: Ai = i i = i i - - = i i = i + i l valore attuale delle somme pagate sarà uguale a: ( + i) VA = i + ( + i) = ( + i) + i ( + i) = ( + i) + ( + i) = Abbiamo pertato dimostrato ce i questa particolare forma di rimborso l uguagliaza è verificata. obbiamo solo geeralizzare questo risultato a qualsiasi forma di mutuo. Per fare questo cosideriamo i segueti ) mutuo a rimborso uico a u ao, co debito iiziale pari a. Sarà: Ai

3 = i + i ) mutuo a rimborso uico a due ai, co debito iiziale pari a. Sarà: Ai = i i = i + i 3) mutuo a rimborso uico a tre ai, co debito iiziale pari a 3. Sarà: Ora sommiamo ao su ao: Ai Ai 3 = 3 i 3 i 3 = 3 i 3 i = 3 i i = i + i + 3 i +( )i + 3 = i + 3 i +( + 3 )i = 3 i i Ora, cosiderato ce il valore attuale delle somme pagate per il primo mutuo è, per il secodo mutuo è e per il terzo è 3 (soo tutti mutui a rimborso uico fiale), avremo ce il valore attuale della somma delle rate pagate sarà uguale a e ciò idipedetemete dal valore di, di e di 3. Esempio. osideriamo il seguete piao d'ammortameto (rimborso graduale) co =., = 5, i = % ome possiamo osservare, tutte le relazioi elecate prima soo soddisfatte. Ad esempio: = , (,) (,) (,) (,) Osserviamo ce il debito residuo può essere determiato ace attraverso le rate. Visioe prospettiva: 3

4 Visioe retrospettiva: + L j j= + = v+ + v = v j j = ( + ) ( + ) ( + ) L = ( + ) j ( + ) j= i i i i i Nel caso dell'esempio precedete avremo: = = = = + + = i ( + i) ( + i) Utilizzado la valutazioe retrospettiva avremo lo stesso risultato: = =. 3 = 6 = ( + i) ( + i) =. (,) 4, 7 = 6 3. Ammortameto italiao. L'ammortameto italiao è caratterizzato dal fatto ce tutte le quote capitale soo costati, ossia perciò: = = L = = = = Gli altri elemeti del piao d'ammortameto assumoo ua forma semplificata. Ad esempio, per quato riguarda il debito residuo: visioe prospettiva: = ( ) visioe retrospettiva: = Per quato riguarda le quote iteressi: = i = ( + ) i oppure equivaletemete: = ( ) i fie le rate si esprimoo el modo seguete: = + = + ( + ) i Esercizi. ) Stedere il piao di u ammortameto italiao co =., = 5 e i = %. 4

5 Avremo =. =, metre il piao completo è: ) Stedere il piao di u ammortameto italiao co = 4., = 8 e i = 6,5%. etermiare quidi il debito residuo all'epoca 5. Avremo = 4. = 5. metre, il piao completo è: l debito residuo 5 = 5. può essere otteuto come: 4. 5 = = + + = = = (8 5) ( ) oppure tolgo le quote capitale già pagate: 5 = S = S = = 5.. Aalogamete utilizzado la somma attualizzata delle rate rimaeti: = + + = + + = i ( + i) ( + i), 65, 65, Ammortameto a rimborso uico. L'ammortameto a rimborso uico prevede ce o si rimborsa ulla fio all'epoca. Le quote capitale valgoo perciò: = = L = = = 5

6 l valore del debito residuo sarà quidi sempre uguale al debito iiziale, esclusa l ultima rata: e delle quote iteressi: fie le rate valgoo: = = L = = = = = L = = i = = L = = i = + i Esercizi. ) Stedere il piao di u ammortameto a rimborso uico co =., = 5 e i = %. Utilizzado le relazioi precedeti si a: ) Stedere il piao di u ammortameto a rimborso uico co =, = 4 e i = 5,65% e co rate semestrali. Le quote capitale valgoo (idiciamo i tempi i semestri): dove Abbiamo perciò: = i = /,5 i/ = + i =, Ammortameto fracese. L'ammortameto fracese prevede delle rate uguali: /,5,5,5,5 3/,5,5,5,5 5/,5,5 3,5,5 7/,5,5 4,5,5 = = L = =

7 Teedo coto della proprietà geerale riguardate le rate di u piao d'ammortameto (ossia la somma dei valori attuali delle rate uguaglia l'importo del debito), avremo: = ( + i) = ( + i) = ( + i) = a = = = i dalla quale potremo ricavare il valore della rata costate: Per quato riguarda il debito residuo, avremo: = a i ( ) ( ) ( ) ( ) = + i + + i + L + + i = a i Possiamo perciò dedurre il valore delle quote iteressi: = i= a i + i etermiiamo ora il valore delle quote capitale: ( ) ( ) = = a i i v = = + = + i + + ossia: 3 = v = v = v M = v Le quote capitale variao quidi i progressioe geometrica co primo termie pari a Esercizio. ) Stedere il piao di u ammortameto fracese co =., = 5 e i = %. etermiiamo la rata costate: = =. = 63,8 a a Per quato riguarda le quote capitale: i 5, = = i= 63, 8 = 63, 8 = 63,8, = 8,8 3 = 8,8, = 98, 4 = 98,, = 8, 5 = 8,, = 39,8 v e ragioe + i= v. 7

8 Si verifica ovviamete ce l piao completo è: 5 =.. = 8. 63,8 63,8 836, 8,8 83, 6 63,8 656, 3 98, 65,6 63,8 457,8 4 8, 45, 78 63,8 39,8 5 39,8 3,98 63,8 Esercizio (riepilogo). U idividuo prede a prestito u importo di. e s'impega a restituire i ai al tasso effettivo auo del % versado rate di u ammortameto italiao. opo cique ai l'idividuo, a seguito di ua crisi fiaziaria, o può più oorare i suoi impegi e paga solo la quota iteresse per il sesto e settimo ao e ulla l'ao successivo. A questo puto si accorda co il fiaziatore per estiguere il debito rimaete etro la scadeza prefissata, sempre i ammortameto italiao al uovo tasso del 5%. alcolare il tasso di costo dell'operazioe per il debitore e determiare la successioe delle rate effettivamete pagate. dati del problema soo =., = e i = %. Le quote capitale costati valgoo: = =. Le prime cique rate effettivamete pagate valgoo: = + =. +. =. = + = = 9. 3 = = = 8. 4 = = = 7. 5 = = = 6. l debito residuo all'epoca cique vale: = ( ) =. ( 5) = 5. Al sesto e settimo ao, il debitore paga soltato gli iteressi, perciò il debito residuo rimae immutato e le rate (pari alla sola quota iteresse) valgoo: 6 = 6 = 5 i= 5. 7 = 7 = 6 i= 5. essedo 5 = 6 = 7 = 5. urate l'ottavo ao il creditore o paga ulla, perciò il debito residuo si capitalizza per u ao. Avremo all'epoca 8 : 8 = 8 = 7 ( + i) = 5., = 55..

9 Avremo perciò u uovo piao d'ammortameto calcolato sul uovo valore del debito 8 : Abbiamo quidi determiato le ultime due rate del piao d'ammortameto. fie, il tasso itero di costo ("T ") è defiito come quel tasso costate rispetto al quale la somma dei valori attuali delle rate forisce il valore del debito. l T dovrà perciò soddisfare la seguete equazioe di equilibrio fiaziario. = i ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) ( + i) Otteiamo u equazioe algebrica di decimo grado ce risolveremo co il metodo dell'iterpolazioe lieare. osiderado i dati del problema, prediamo come soglie il % e l %. Si ottiee quidi: i =, A =.696 i =, A = Appliciamo ifie la formula dell'iterpolazioe co questi dati:,, ı% =, + (..696) =, l preammortameto. l preammortameto è ua situazioe i cui o succede ulla per t ai i cui si pagao solo gli iteressi e o le quote capitale. Si tratta quidi di ua variate per qualsiasi piao d'ammortameto. Abbiamo sotto forma di tabella: i i 3 M t t + i i i i i i i i + + t + M M M M M t+ + Esempio. osideriamo i dati segueti: = 5.., = 5, i = 8% e t = 3 (periodo di preammortameto). Le quote capitale valgoo, dal periodo t + al periodo t+ : 9

10 = = all'epoca zero all'epoca t le quote iteresse valgoo:.. = i= 5..,8 = 9.. l piao completo sarà perciò (importi i milioi): , 7, 3 6 5, 4 5, 4 7 3,6 3,6 8,8,8 Nel caso di u ammortameto di tipo fracese, il piao completo è: ,99 9 5,99 43, 5 8,5 7,74 5,99 34,76 6 9,73 6,6 5,99 5,3 7,48 4,5 5,99 3,55 8 3,55,44 5,99 Attualizziamo le rate del preammortameto italiao: 9, L + = 5 8,8,8,8 3.6 Ammortameto a tassi variabili. L'ammortameto a tassi variabili è ua variate dei piai d'ammortameti geerali ce prevede il calcolo delle quote iteresse co tassi diversi per ciascu periodo. tassi o soo fissati a priori ma ormalmete calcolati sulla base di quelli rilevati sul mercato iterbacario. Per quato riguarda l ammortameto italiao si tratta semplicemete di calcolare per ciascu periodo le quoate iteressi sulla base del debito residuo all ao precedete e del tasso vigete el periodo. Se ad esempio partiamo da u piao d'ammortameto italiao co = 3, = 3 il cui scadezario per le quote capitale è: 3

11 3 Ed i tassi applicati soo per il periodo il %, per il periodo il 5% e per il periodo 3 il % avremo: % 3 3 5% 3 % i Per quato riguarda l ammortameto fracese esistoo almeo due variati ampiamete diffuse sul mercato. La prima è basata sulla sequeza delle quote capitali calcolata al tasso iiziale, co il ricalcalo delle quote iteresse periodo per periodo. Evidetemete le rate o sarao più costati, se o el caso di tassi stabili el tempo. Esempio. osideriamo u piao d'ammortameto fracese a iteressi aticipati co = 5.., i = 8% e = 5. Le quote capitale valgoo: ,8 = v = = 6.99.,8,8 = ( + i) = = ( + i) = etc. l piao di rimborso delle sole quote capitali è (importi i milioi): 5 6,99 43, 8,5 34,76 3 9,73 5,3 4,48 3,55 5 3,55 Le quote iteressi possoo essere calcolate solo dopo l idicazioe del tasso applicato per ciascu periodo: se i =8% i =% i 3 =7% i 4 =8% i 5 =5% le quote iteressi sarao date da: = i =.8 5 = 9 = i =. 43. = 8.6 etc. Le rate si ottegoo dalla somma della quota capitale più la quota iteressi. l piao completo sarà quidi:

12 5 8% 6,99 9 5,99 43, 8% 8,5 8,6 6,85 34,76 % 3 9,73 5,93 5,66 5,3 7% 4,48 4,5 5,99 3,55 8% 5 3,55, % ome si può otare le rate relative a periodi co uguali tassi di iteresse vigeti ( e 4) soo uguali. Soo ivece diverse le rate relative a periodi co tassi di iteresse diversi, maggiore è il tasso, maggiore la rata. La secoda variate (rate costati a tassi variabili) utilizza come base di riferimeto la rata iiziale, e dopo aver calcolato la quota iteressi al tasso vigete per quel periodo, rettifica la quota capitale i modo da mateere costate la rata. iprededo l esempio precedete: = 5.. ; ,8,8 Per il primo ao la quota iteressi sarà data da: = i =.8 5 = 9 La quota capitale da: = = 5,99 9 = 6,99 E il debito residuo sarà: = = 5 6,99 = 43, Per il secodo ao: = i =. 43, = 8, 6 La quota capitale sarà: = = 5,99 8,6= 7,37 E il debito residuo sarà: = = 43, 7,37 = 35, 73 i l piao completo: 5, 6,99 9, 5,99 43, 8% 7,37 8,6 5,99 35,73 % 3 9,9 6,7 5,99 5,8 7% 4,34 4,65 5,99 4,47 8% 5 3,8,7 5,99,65 5% 6,65,,75-6% i questo caso le variazioi ei tassi ao reso ecessaria ua ulteriore rata, di importo pari al residuo capitalizzato, per completare il rimborso. Evidetemete rialzi dei tassi geerao u allugameto ei tempi di rimborso, abbassameti dei tassi cosetoo maggiori rimborsi i liea capitale (la rata è costate) e, quidi, u rimborso più rapido. 3.7 Valutazioe di u prestito. l valore di u prestito all'epoca geerica al tasso di valutazioe j (scelto arbitrariamete, da o cofodere co il tasso di remuerazioe i del piao d'ammortameto) è defiito come la somma dei valori attuali calcolati all'epoca di tutte le rate successive all'epoca. simboli avremo:

13 V = ( + j) t= + dove rappreseta l'epoca fiale. l valore di u prestito può essere scisso ella somma di due compoeti: la uda proprietà (otteuta attualizzado le quote capitale) e l'usufrutto (otteuto attualizzado le quote iteresse): perciò vale a ogi epoca : N = ( + j) t= + U = ( + j) t t t t= + V = N + U. Esempio. osideriamo il seguete piao d'ammortameto co S =. ; = 5 e i = %. t t t Vogliamo calcolare uda proprietà e usufrutto all'epoca tre al tasso di valutazioe j = 5%. Utilizzado le defiizioi viste si ottiee: V = + = 463,,5,5 N 4 3 = + = 389, 4,5,5 U = + = 73,7.,5,5 Esercizio. U prestito è restituito i cique ai mediate il versameto di cique quote capitale i progressioe aritmetica di ragioe e primo termie e pagameto degli iteressi al % effettivo auo. opo due ai il creditore cede i flussi residui a u terzo soggetto. ostui paga u prezzo d'acquisto ce gli cosete di realizzare u redimeto dall'operazioe pari al % pur i preseza di tassazioe sulle quote iteresse i base ad u'aliquota del 4%. Stedere il piao di ammortameto completo e calcolare il prezzo pagato dal terzo soggetto per acquistare il debito residuo. Utilizzado le ote relazioi possiamo scrivere il piao d'ammortameto:

14 Metre le quote capitale 3, 4 e 5 soo acquistate dal terzo soggetto, sulle quote iteressi ci sarà da togliere il 4%. Siccome il redimeto è del %, il prezzo pagato sarà il valore attuale di ciò ce deve essere icassato, ossia: V = (, 4).7,3 3 3, + +,,, =.,, Osservazioe. l tasso itero di costo ("T ") di u prestito è quel tasso i base al quale le rate pagate per la restituzioe di u debito attualizzate all'epoca zero soo uguali al valore iiziale del debito stesso. l T cosete quidi di valutare la coveieza tra due alterative di fiaziameto, accogliedo quella ce preseta il T più basso. ome verifica, possiamo calcolare il tasso itero di costo risolvedo l'equazioe di equilibrio fiaziario: V( j) = (, 4) =.7, j ( j) ( j) j ( + j) ( + j) Si trova proprio j = %. Esercizio. U idividuo si accorda per restituire u importo di 8. euro mediate il versameto di rate costati semestrali per dieci ai al tasso effettivo auo d'iteresse del 5%. opo le prime otto rate semestrali versate regolarmete il debitore icotra u periodo di difficoltà fiaziarie el quale paga solo gli iteressi per due semestri e sospede completamete il versameto delle rate per altri quattro semestri; a questo puto si accorda per restituire il prestito ei tempi previsti versado rate semestrali di u uovo ammortameto fracese codotto sul uovo valore del debito al tasso auo del 8%. alcolare: - l'importo del debito residuo i corrispodeza dell'ultima epoca i cui i pagameti avvegoo regolarmete; - il tasso di costo su base aua dell'operazioe complessiva. etermiiamo dapprima il tasso semestrale equivalete: i / =, 5 =, La rata del piao d'ammortameto si deduce dalla formula vista per l'ammortameto fracese (abbiamo u totale di veti rate semestrali): = = 8. = 5.67, 5494 a 5, 6349 i / l debito residuo, teedo coto delle rate acora da versare, sarà: = a i / ossia:, = a = 5.67,5494 = 55.85, 3,469, 4695 Alle epoce 9 e il debitore paga solo gli iteressi: metre il debito residuo o cambia: = 9 = = 8 i/ 8 = 9 =. 4

15 Per i successivi quattro semestri, il debitore o paga ulla perciò il debito residuo si capitalizza per quattro semestri (o equivaletemete per due ai). Si avrà quidi: = + i = = 4 8 ( ) , 46 Le ultime sei rate del uovo ammortameto si trovao co la solita formula: dopo aver determiato il tasso semestrale equivalete: ,46 = = =.35,98 a 5, / j j / =, 8 =, 393. Per la ricerca del T scriviamo l'equazioe di equilibrio fiaziario: 8. = a + a ( + i ) + + a ( + i ) i / / / i/ 6 i/ isolviamo per iterpolazioe prededo come soglie i tassi semestrali equivaleti al 5% e al 8% aui. Si a: i =, 4695 A = 8.4, 47 i =, 393 A = 7.886, 46 Appliciamo ifie la formula dell'iterpolazioe co questi dati:, 393, 4695 ı% =, (8. 8.4, 47) ;, , , 47 fie il T su base aua sarà: i = ( +,775) =,559. Esercizi di riepilogo. ) U idividuo di 4 ai di età sottoscrive u cotratto ce gli assicura ua redita perpetua differita posticipata aua dall'età di 65 ai. potizzado ce la rata della redita sia di. e ce il tasso di riferimeto sia del 4%, calcolare quale sarà l'importo complessivo ce l'idividuo dovrà versare oggi a frote della prestazioe idicata. L'operatore dispoe, ioltre, di ua secoda alterativa: versare dieci rate aue posticipate ivece dell'uico importo calcolato al puto precedete. etermiare l'importo delle rate i questioe. l valore attuale della prima redita perpetua sarà: A = =. = 5.. i,4 l valore attuale di tale somma all'epoca zero (cioè passado da 65 a 4 ai) è: A 5 = 5. ( +,4) = 8.755,84. fie, l'importo della rata della secoda redita si ottiee uguagliado i valori attuali delle due redite equivaleti: 5

16 8.755, , ,84 = a = = =.3, 45,4 a 8,9,4 ) ato u ammortameto fracese per u importo iiziale pari a. euro, di durata dieci ai, realizzato al tasso del % auo d'iteresse mediate il versameto di rate trimestrali, calcolare la rata e il debito residuo dopo tre ai e mezzo. alcoliamo dapprima il tasso trimestrale equivalete: /4 i /4 = ( +,) =, 4. l ostro piao d'ammortameto prevede 4 rate trimestrali d importo pari a: =. = 3.94,39. a 4,4 l debito residuo dopo 4 rate si ottiee dalla formula: 3,5 = a 3.94,39 9, ,3 4 = =. 4,4 3) U idividuo prede a prestito 5. euro ce s'impega a restituire i dieci ai mediate il versameto di rate costati quadrimestrali al 9% auo d'iteresse. opo sei ai iizia u periodo di difficoltà fiaziaria ce lo coduce a pagare i soli iteressi per il settimo ao e ulla per l'ottavo. A questo puto si accorda per estiguere il prestito ei tempi iizialmete previsti mediate il versameto di rate acora costati e quadrimestrali calcolate all % auo. alcolare: - la rata del primo ammortameto; - il debito su cui viee ricalcolata la uova rata all'epoca otto; - il tasso di costo dell'operazioe complessiva (ce è ecessariamete compreso tra i tassi d'ammortameto). etermiiamo dapprima il tasso quadrimestrale equivalete: /3 i /3 =,9 =,94 La rata del piao d'ammortameto si deduce dalla formula vista per l'ammortameto fracese (abbiamo u totale di treta rate quadrimestrali): = = 5. = 7.568, 7 a a 3 i /3 3 i /3 l debito residuo, teedo coto delle rate acora da versare, sarà: ossia: = a i /3 6 = a = 7.568, 7, 53 = 75.7,8,94 All'epoca 7 il debitore paga solo gli iteressi: = 6 i/3 =.6,5 metre il debito residuo o cambia: =. 7 6 All'epoca 8, il debitore o paga ulla perciò il debito residuo si capitalizza per u ao. Si avrà quidi: 6

17 8 = 6 ( + i) = 75.7,8, 9 = 8.535, 7. Le ultime sei rate del uovo ammortameto si trovao co la solita formula: = = a dopo aver determiato il tasso quadrimestrale equivalete: ,7 6 j /3 /3 j /3 =, =,354. Per la ricerca del T scriviamo l'equazioe di equilibrio fiaziario: 5. = a + a ( + i ) + + a ( + i ) i /3 /3 /3 3 i/3 6 i/3 isolviamo per iterpolazioe prededo come soglie i tassi quadrimestrali equivaleti al 9% e all % aui. Si trova ı%;, 956. fie il T su base aua sarà i ; 9,3%. 6) U idividuo si accorda per restituire u prestito mediate il versameto di cique quote capitale di cui la prima pari a 5. euro e le altre ciascua pari alla precedete moltiplicata per due; il tasso è pari al 7,5%. alcolare: - il debito residuo all'epoca tre; - la uda proprietà e l'usufrutto all'epoca due utilizzado il tasso del 9%. La successioe delle quote capitale è: = 5. ; =. ; 3 =. ; 4 = 4. ; 5 = 8.. l debito residuo è: 3 = =... Per quato riguarda uda proprietà e usufrutto, appliciamo la defiizioe: 3 P.,9 4.,9 8., , = + + =. l debito residuo alle altre epoce è: = =.4. 4 = 3 4 = 8.. Le quote iteresse ecessarie per determiare l'usufrutto soo: perciò: 3 = 3 i=.4., 75 = 5. 4 = 4 i= 9. 5 = 5 i= 4. 3 U 5.,9 9.,9 4.,9.969 = + + =. 7) U'azieda si fiazia emettedo u prestito obbligazioario dell'importo di 5.. euro ce s impega a 7

18 rimborsare mediate u ammortameto a rimborso uico co rata auale al 4,5% i ai. alcolare uda proprietà e usufrutto del prestito all epoca tre al tasso di valutazioe del 7%. L'uica quota capitale o ulla è l'ultima: = 5.. avremo perciò 9 V 3 = 5..,7 = Le quote iteresse soo tutte uguali e valgoo: e deduciamo quidi l'usufrutto: = 5.., 45 = 7.5 U3 = a =.35.9, 69. 9,7 8