L ammortamento dei prestiti. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08

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1 L ammortameto dei prestiti. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

2 Prestiti idivisi Operazioi fiaziarie co due cotraeti mutuate o creditore: presta u capitale mutuatario o debitore: si impega a restituire etro ua data prestabilita il capitale. Durate il prestito, paga l iteresse sulla somma i suo possesso durata del prestito: tempo itercorrete tra la data di cessioe del capitale mutuato e la data del rimborso tasso di remuerazioe del prestito: tasso effettivo auo al quale è calcolato l iteresse. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

3 Prestiti idivisi (cot.) Modalità di pagameto: rimborso uico del capitale e dell iteresse rimborso uico del capitale e corresposioe periodica dell iteresse per la durata del prestito rimborso graduale del prestito regolato da u piao di ammortameto. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

4 Ammortameto Ad ogi scadeza auale =,1,..., di u prestito di ammotare, di durata ai, il debitore corrispode al creditore ua rata o aualità R. Resta così fissato l ammotare del debito residuo D. Ciascua rata R è decomposta ella somma di due termii: R =C +I =,1,..., Quota capitale: restituzioe di ua frazioe del capitale Quota iteresse: corresposioe dell iteresse maturato su D. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

5 Piao di ammortameto Ai 1 Quota capitale Quota iteresse C1 1 C2 I2 Rata I R1 C1 I1 Debito residuo = + D1 = D C1 Debito estito 2 R2 = C2 + I2 D2 = D1 C2 D = C C 1 + C C 1 C I 1 I R = C + I R = C + I D = D C D = C C 1+ K+ C 1 + K+ C 1. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

6 Piao di ammortameto D = D 1 C C = D 1 D, =,..., D C = j= j = = C = D = Rν = Codizioe di chiusura del piao di rimborso Codizioe di equità del piao di rimborso. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

7 Piao di ammortameto = Rν = il creditore percepisce ua redita il cui valore attuale è il capitale prestato. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

8 Piai di ammortameto Ammortameto immediato decorre dall iizio del prestito Ammortameto differito il primo pagameto è dovuto solo dopo t ai dall istate iiziale del prestito L ammotare da ammortizzare sarà il motate accumulato all istate i cui hao iizio i pagameti. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

9 Prestito di u capitale rimborsabile a scadeza Prestiti a rimborso uico del capitale e corresposioe periodica degli iteressi Ai Quota capitale Quota iteresse Ci Ci Rata Debito residuo Ci Ci C Ci C+ Ci Debito estito C Ci Ci C C C C. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

10 Tipi particolari di ammortameto Ammortameto fracese le rate soo costati Ammortameto italiao le quote capitale soo costati Ammortameto tedesco Ammortameto americao le quote iteresse soo aticipate il capitale fiale è costituito i modo progressivo su u fodo collaterale. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

11 Ammortameto fracese R = C + I = D D + id 1 1 iteresse posticipato sul debito residuo D (1 ) = D 1 + i R motate del debito residuo. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

12 Ammortameto fracese redita immediata aua posticipata costate = Ra i ad ogi scadeza, il debito residuo è il valore attuale della redita: R = a i D = Ra, = 1,..., i. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

13 Ammortameto fracese R = C + I = C + id 1 C = + C i= C (1 + i) C = Rν R = C + id 1 = C+ 1+ id = 1,..., 1 ( D = D C ) 1 C + C + D i = C + D i ( ) + 1 C ( 1 ) + i = C + 1 = + 1 C C ν. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

14 Ammortameto fracese C = Rν 2 C Cν Rν 1 = = 3 C 2 = C 1 ν = Rν C = Rν + 1, = 1,..., C = Cν = Rν 1 2. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

15 Ammortameto fracese Ai 1 2 Quota capitale Rν 1 Rν Quota iteresse R(1 ν ) R 1 (1 ν ) Rata Debito residuo Debito estito R R Ra 1 i Ra 2 i Rν R ν 1 ( + ν ) -1 2 Rν Rν R 2 (1 ν ) R(1 ν ) R R Ra 1 i R ν 2 ( ν ) Ra i. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

16 Ammortameto italiao C = C = K = C = C 1 2 Per la codizioe di chiusura del piao di rimborso: = 1 C = C = C =. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

17 Ammortameto italiao D = D = ( ) 1 1 = D2 = D 1 C = 1 = 2 D = ( ) ( ) ( ) D =. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

18 Ammortameto italiao I = id = i + ( ) 1 1 R = C + I R = + i + = + i + ( 1) [ 1 ( 1) ]. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

19 Ammortameto italiao Ai 1 2 Quota capitale Quota iteresse i i ( 1) Rata (1 + i) (1 ( 1) i) + Debito residuo ( 1) ( 2) Debito estito 2-1 i i 2 (1 2 i) + (1 ) +i ( 1). Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

20 Ammortameto tedesco Pagameto aticipato dell iteresse; se, ad esempio, la rata è costate: R = C + I = D D + dd 1 iteresse aticipato sul debito residuo D (1 d) = D R 1 D ( ) = D 1 R (1 + i). Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

21 Ammortameto tedesco Esempio: capitale rimborsabile a scadeza La I rata di iteresse è pagata immediatamete: omma a disposizioe i t= rata ultima rata C C Cd = C(1 d) = 1 + i Cd Cd + C(1 d) = C. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

22 Esempio Ai Quota capitale Quota iteresse rata Debito residuo Debito estito d d 1 d d 2 d d -1 d d. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

23 Ammortameto americao le quote capitale costati versate dal debitore soo ivestite ad u tasso di iteresse i i; il creditore o e dispoe fio alla scadeza del debito. Il motate delle quote capitale è la somma ceduta i prestito. i = tasso di accumulazioe = Cs i' C = s i'. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

24 Ammortameto americao R = C + I = + i s i' i=i si ottiee l ammortameto fracese geeralmete è i <i. Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

25 Esercizio Completare il seguete piao di ammortameto relativo ad u mutuo di importo stipulato al tasso auo i e ammortizzabile co 3 versameti aui immediati posticipati. C I R E D Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

26 R = C + I = = 22 E = C = = E + D = = 4 I = i = 4 i i = 8/ 4 =.2 = 2% C I R E D Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

27 I = D i = 26.2 = C = R I = = E = C + C = = D = E = = C I R E D Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8

28 I = D i = = C = E E = = R = C + I = = D = E = 4 4 = 3 3 C I R E D Corsaro Matematica Fiaziaria a.a. 27/8