Campionamento stratificato. Esempio

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1 ez. 3 8/0/05 Metodi Statiici per il Marketig - F. Bartolucci Uiversità di Urbio Campioameto ratificato Ua tecica molto diffusa per sfruttare l iformazioe coteuta i ua variabile ausiliaria (o evetualmete più variabili ausiliarie) cosie ell utilizzare u piao di campioameto ratificato. Si suddivide la popolazioe i u certo umero di rati (o sottopopolazioi) secodo la variabile ausiliaria. Da ogi rato viee poi eratto u certo umero di uità i modo ce, ad esempio, il campioe preseti la essa proporzioe di soggetti co u certo valore della variabile ausiliaria ce c è ella popolazioe. Ciò cotribuisce a migliorare la precisioe delle ime. Esempio a propesioe all acquio di u certo prodotto è maggiore per le persoe di sesso mascile ce per quelle di sesso femmiile. Quidi, se i u campioe casuale di dimesioe. 000 viee eratta ua percetuale di masci (ad esempio il 60%) superiore a quella ce esie ella popolazioe (circa 50%), si può sovraimare la propesioe all acquio. Co u piao di campioameto ratificato, ivece, si possoo erarre esattamete 500 masci e 500 femmie i modo ce la percetuale dei masci el campioe sia pari a quella della popolazioe. Così si può otteere ua riduzioe della variaza dello imatore. Si oti ce i queo caso lo imatore per quoziete o poteva essere utilizzato.

2 ez. 3 8/0/05 Metodi Statiici per il Marketig - F. Bartolucci Uiversità di Urbio Defiizioi prelimiari Il umero di rati viee idicato co e corrispode al umero di modalità della variabile ausiliaria (es: per la variabile sesso) o al prodotto tra il umero di modalità delle variabili ausiliarie quado ce o soo più di ua (es: 4 per le variabili sesso e livello di iruzioe). Per lo rato, K,,, idiciamo co la sua dimesioe e co il valore della variabile di iteresse per l uità i, Si ao ioltre i parametri di rato: i i K,,, dello rato. totale: τ i i media: µ i i variaza: ( i µ ) i Per la popolazioe complessiva idiciamo co la dimesioe e si ao i parametri: H totale: τ τ media: µ i i i i µ variaza: i ( i µ ) + dove è il peso dello rato. Si oti ce. ( µ µ )

3 ez. 3 8/0/05 Metodi Statiici per il Marketig - F. Bartolucci Uiversità di Urbio Erazioe del campioe Da ogi rato, idicato co: K,,, viee eratto u campioe di uità c ( i, i, K, i ) e quidi i dati raccolti detro lo rato sarao idicati co c (,, K, ). i i i a dimesioe complessiva del campioe è ormalmete le uità vegoo eratte da ogi rato i modo casuale semplice (seza ripetizioe). Il campioameto ratificato è quidi, i soaza, u campioameto tradizioale i cui il campioe è diviso i sottocampioi eratti i modo idipedete da altrettate sottopopolazioi. Rappresetazioe del campioameto: ( ) uità della popolazioe, ( ) uità campioate. 3

4 ez. 3 8/0/05 Metodi Statiici per il Marketig - F. Bartolucci Uiversità di Urbio Spazio campioario e probabilità di iclusioe o spazio campioario Ω è formato da tutti i campioi ce possoo essere formati eraedo (seza ripetizioe) uità dal primo rato ce dimesioe, uità dal secodo rato ce dimesioe e così via. Quidi queo spazio a dimesioe (umero dei possibili campioi): Ω el caso di campioameto casuale semplice dagli rati, le probabilità di iclusioe del I ordie per l uità i (uità i dello rato ) è: i Per le probabilità di iclusioe del II ordie per le uità i (uità i dello rato ) e k (uità dello rato k ) bisoga diiguere due casi: le due uità soo ello esso rato (cioè k ): i, ( ( ) ) le due uità appartegoo a due rati diversi (cioè k ): i, k k k Sulla base di quee probabilità di iclusioe possiamo ricavare gli imatori fodametali della media e del totale. 4

5 ez. 3 8/0/05 Metodi Statiici per il Marketig - F. Bartolucci Uiversità di Urbio Stima della media e del totale o imatore fodametale della media si ottiee come ˆ µ i i i / i dove i è la media campioaria dello rato. o imatore µˆ può quidi essere vio come ua media poderata degli imatori delle medie dei sigoli rati corrispodeti dimesioi. co pesi proporzioali alle Dato ce è uo imatore o diorto di µ per ogi allora ace µˆ è uo imatore o diorto di µ. o imatore fodametale del totale si ottiee dal precedete come: ˆ τ ˆ µ ˆ τ dove ˆ τ i è la ima del totale per lo rato. o imatore τˆ è quidi semplicemete la somma delle ime del totale dei sigoli rati. Di cosegueza è uo imatore o diorto di τ. 5

6 ez. 3 8/0/05 Metodi Statiici per il Marketig - F. Bartolucci Uiversità di Urbio Dato ce le uità etro ogi rato soo eratte i modo idipedete da quelle degli altri rati, la variaza dello imatore essere trovata come Var( ˆ µ ) Var( ˆ µ ) metre quella dello imatore τˆ è data da µˆ della media può Var( ˆ τ ) Var( ˆ µ ) a variaza di µˆ può essere imata i modo o diorto come S var( ˆ µ ), dove S ( i ) è la variaza campioaria per lo rato. Aalogamete la variaza di τˆ può essere imata come S var( ˆ τ ). Possoo essere quidi coruiti gli itervalli di cofideza per il totale e la media; per la media, ad esempio, l itervallo di cofideza a eremi: ˆ µ α z / var( ˆ µ ), ˆ µ + z α / var( ˆ µ ). 6