INFERENZA o STATISTICA INFERENTE

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1 INFERENZA o STATISTICA INFERENTE Le iformazioi sui parametri della popolazioe si possoo otteere sia mediate ua rilevazioe totale (o rilevazioe cesuaria) sia mediate ua rilevazioe parziale (o rilevazioe campioaria). Rilevazioe totale: STATISTICA DESCRITTIVA Rilevazioe campioaria: STATISTICA INFERENTE L INFERENZA è l isieme dei metodi e delle teciche statistiche co cui si riescoo ad otteere iformazioi sui parametri che caratterizzao la popolazioe d origie, utilizzado i dati di u campioe casuale. STATISTICA DESCRITTIVA CALCOLO DELLE PROBABILITA STATISTICA INFERENTE STIMA TEST TEORIA DEI CAMPIONI I metodo ifereziali cosistoo i procedimeti di tipo iduttivo, che i quato tali portao a commettere degli errori: errore di campioameto ed errore di stima.

2 (Teoria dei campioi) CAMPIONAMENTO Campioi a scelta ragioata o Campioi o probabilistici Campioi probabilistici: - campioi stratificati - campioi a grappoli - campioi puramete casuali o campioi casuali ecc Se ogi uità apparteete alla popolazioe ha la stessa probabilità delle altre di presetarsi el campioe, allora si parla di campioameto casuale semplice e si ottiee u campioe casuale. Tale campioameto rispecchia la situazioe dell estrazioe di pallie da u ura: si suppoga di estrarre pallie da u ura coteete N pallie uguali, ovvero perfettamete calibrate e seza caratteri distitivi, umerate da ad N. Allora ogi pallia ha la stessa probabilità delle altre di essere estratta (Tavole dei umeri casuali). Se l estrazioe delle pallie dall ura viee effettuata CON reiserimeto allora si ha u campioe casuale beroulliao o campioe casuale co ripetizioe. Se l estrazioe delle pallie dall ura viee effettuata SENZA reiserimeto allora si ha u campioe casuale seza ripetizioe o c.c. i blocco o c.c. esaustivo. Data ua popolazioe di N elemeti, si cosideri lo Spazio campioario dato da tutti i possibili campioi casuali di elemeti che si possoo formare estraedoli da quella popolazioe. Allora - se il campioe casuale è beroulliao, lo Spazio campioario è costituito da N campioi di dimesioe, dove r D N N, - se il campioe casuale è seza ripetizioe, lo Spazio campioario è costituito da N(N-)(N-) (N-+) campioi di dimesioe, dove s ( N )( N ) ( N + ) N D N, I particolare, se il campioe casuale è seza ripetizioe e l ordie di estrazioe degli N elemeti o cota, allora lo Spazio campioario è costituito da campioi di dimesioe, dove N s C N,

3 Si suppoga di voler studiare u certo carattere della popolazioe, di dimesioe N. Si può ipotizzare che il carattere si comporti come ua v.c. co ua certa fuzioe di probabilità o fuzioe di desità di probabilità: si idichi co p ( ) x,θ il modello descrittivo della v.c. oggetto di studio, dove θ idica il parametro di defiizioe della v.c.. I particolare siao µe() e Var(). Si suppoga che della v.c. iteressi cooscere uo o più parametri. Allora dalla popolazioe si estrae, secodo u certo criterio, u campioe casuale di elemeti:,...,, L isieme delle v.c.,,..., costituisce u campioe casuale di. Ogi v.c. i del campioe casuale si distribuisce come la v.c., co E( i )µ e Var( i ) (per ogi i, co i,,,). Si defiisce campioe casuale di ampiezza la -upla di v.c.,,..., ideticamete distribuite come la v.c. oggetto di studio. Ua geerica realizzazioe del campioe casuale {,..., } è costituita da umeri: (x, x,,x ). L isieme degli umeri x, x,,x costituisce u campioe casuale osservabile., I procedimeti dell Ifereza statistica richiedoo che i dati del campioe vegao elaborati. Sia t ua fuzioe matematica a variabili. (x, x,,x ) il campioe casuale osservato e sia ( ) Applicado t ( ) al campioe casuale osservato si ottiee u valore: ( ) t( x x ) t,...,, Applicado ( ) ua propria Distribuzioe di probabilità: t ( ) t (,..., ) t ad u campioe casuale di si ottiee ua variabile casuale che, i quato tale, ha, x Si defiisce STATISTICA CAMPIONARIA o V.C. CAMPIONARIA ua qualsiasi fuzioe delle v.c.,...,, che compogoo il campioe casuale. Si defiisce DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA di ua STATISTICA CAMPIONARIA la sua distribuzioe di probabilità. La DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA dipede dal modello descrittivo della popolazioe.

4 STATISTICA CAMPIONARIA MEDIA CAMPIONARIA i i Media aritmetica o Valore atteso della MEDIA CAMPIONARIA: E ( ) µ (dove µe() è la media della popolazioe) Variaza della MEDIA CAMPIONARIA el caso di campioe casuale beroulliao: VAR( ) Deviazioe stadard della MEDIA CAMPIONARIA el caso di campioe casuale beroulliao: Variaza della MEDIA CAMPIONARIA el caso di campioe casuale seza ripetizioe e di dimesioe della popolazioe fiita: VAR( ) N N Deviazioe stadard della MEDIA CAMPIONARIA el caso di campioe casuale seza ripetizioe e di dimesioe della popolazioe fiita: N N N N

5 La DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA di dipede dal modello descrittivo della popolazioe, ovvero dalla distribuzioe di probabilità della v.c. che descrive la popolazioe. I caso: se la v.c. che descrive la popolazioe è distribuita ormalmete, co µe() e Var(), allora si distribuisce NORMALMENTE, qualuque sia la dimesioe del campioe. II caso: se la dimesioe del campioe è grade (: >30), allora la distribuzioe campioaria di si avvicia alla distribuzioe NORMALE, qualuque sia la distribuzioe della popolazioe (: cosegueza del Teorema del limite cetrale). III caso: se la v.c. che descrive la popolazioe è distribuita ormalmete, se la Variaza della popolazioe è icogita e se la dimesioe del campioe è piccola (: <30), allora la distribuzioe campioaria di stadardizzata segue la distribuzioe della v.c. t di Studet.

6 STATISTICA CAMPIONARIA VARIANZA CAMPIONARIA S S i ( ) i Media aritmetica o Valore atteso della VARIANZA CAMPIONARIA: E S ) (dove Var() è la variaza della popolazioe) ( (Variaza della VARIANZA CAMPIONARIA) La DISTRIBUZIONE CAMPIONARIA di S dipede dal modello descrittivo della popolazioe, ovvero dalla distribuzioe di probabilità della v.c. che descrive la popolazioe. Caso particolare: se la v.c. che descrive la popolazioe è distribuita ormalmete, co µe() e Var(), allora la v.c. S si distribuisce come ua v.c. chi-quadrato (co ν-), a meo di u coefficiete di proporzioalità pari a Ovvero: S χ ν ν ν