Metodi statistici per l analisi dei dati

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1 Metodi statistici per l aalisi dei dati due ttameti Motivazioi ttameti Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ttameti) per cui soo stati codotti gli esperimeti. due ttameti

2 Esempio itroduttivo L impasto dell esempio itroduttivo è modificato aggiugedo u additivo che dovrebbe ridure la viscosità. A tal proposito si predoo i cosiderazioe 0 misure sperimetali di viscosità del ttameto origiale (cotrollo) 0 misure sperimetali di viscosità del prodotto alimetare modificato. j ttameti Crema modificata (cp) Cotrollo (cp) Itroduzioe Esempio ttameti Il valore medio delle misure del prodotto modificato è miore del valore medio del prodotto origiale Due possibili spiegazioi: Le due formulazioi soo realmete differeti La differeza osservata ei ttameti è dovuta alle fluttuazioi ievitabilmete preseti elle misure sperimetali, e le due formulazioi soo di fatto equivaleti Obiettivo: Cocludere che i due campioi soo realmete differeti co strumeti statistici rigorosi due ttameti

3 Cocetti di statistica di base Descrizioi grafiche della variabilità ttameti Diagramma per puti Utile per campioi di piccole dimesioi (sio a 0 osservazioi) i i Viscosità [cp] i i 7.69 Il diagramma permette di ricooscere il tred cele e la dispersioe dei dati. U ispezioe visiva (qualitativa) del diagramma rivela che i due ttameti soo verosimilmete differeti. Cocetti di statistica di base Descrizioi grafiche della variabilità ttameti Rappresetazioe dei campioi mite diagrammi a scatola ( box-plots ) Valore massimo osservato el campioe mo percetile Viscosità [cp] Mediaa 5-mo percetile 64 Modificato No modificato Valore miimo osservato el campioe due ttameti 3

4 campioi ttameti I due diversi ttameti possoo essere visti come due livelli del fattore formulazioi Modello statistico per i dati: ij m i e ij i, j,,..., i ij j-esima osservazioe dal livello i-esimo m i Media della risposta al livello i-esimo e ij Variabile aleatoria ormale associata co la j-esima osservazioe campioi ttameti Assuzioe: Gli errori e soo ormali, idipedeti e ideticamete distribuiti (i.i.d.): e N 0, s 4-8 settembre 05 due ttameti 4

5 campioi Test statistici Defiizioe del problema ttameti Dal puto di vista formale, si possoo defiire le segueti ipotesi ulla H 0 e l ipotesi alterativa H : H 0 : m m H : m m campioi Test statistici Defiizioe del problema ttameti Tipologia di errori che possoo essere commessi durate u test statistico: Errore di tipo I: rigettare l ipotesi H 0 di parteza oostate essa fosse vera di tipo I rigetto H H è vera P errore P 0 0 Errore di tipo II: o rigettare H 0 oostate essa fosse falsa di tipo II o rigetto H H è falsa P errore P 0 0 i deve ridurre al miimo il rischio (le probabilità e ) di icorrere i questi due tipi di errore 4-8 settembre 05 due ttameti 5

6 Test statistici Esempio: t-test per il cofroto di due campioi Ricetta /4 ttameti cegliere u livello di sigificatività del test (i geere 0.05). Rappreseta la probabilità di sbagliare, el caso i cui arrivassimo alla coclusioe di rigetto dell ipotesi ulla. Calcolare il valore critico t / tale che: P t T - - / t / dove T è la distribuzioe t di tudet a ( + -) gradi di libertà Test statistici Esempio: t-test per il cofroto di due campioi Ricetta /4 ttameti Distribuzioe T di studet a 8 gdl co l evidezia delle regioi critiche area/ area/ Regioe di rigetto Regioe di o rigetto Regioe di rigetto due ttameti 6

7 Test statistici Esempio: t-test per il cofroto di due campioi Ricetta 3/4 ttameti Calcolare dove P è la stima della variaza campioaria comue s s s : P Nota: el caso di, l espressioe si riduce a t t P Test statistici Esempio: t-test per il cofroto di due campioi Ricetta 4/4 ttameti i cofrota il t 0 osservato co il valore critico t / t0 t / o rigettiamo l ipotesi ulla H 0. No si hao evideze sperimetali tali da affermare che i due ttameti siao sigificativamete diversi t0 t / i rigetta l ipotesi ulla: i due ttameti soo sigificativamete diversi i corre u «rischio» di affermare la coclusioe sbagliata pari al livello di sigificatività del test due ttameti 7

8 Test statistici Esempio: t-test per il cofroto di due campioi Teoria ttameti La differeza delle medie dei due ttameti può essere vista come ua VA di tipo ormale: - N m - m, s ~ e i due ttameti proveissero dalla stessa popolazioe (ovvero m m, s s ), e la variaza s fosse ota, la statistica: - z0 s sarebbe u valore osservato di ua Gaussiaa di tipo stadard (Z~N(0,)) t 0 è u osservazioe di ua T di studet a ( + -) gdl: Test statistici Esempio: t-test per il cofroto di due campioi Teoria ttameti Dato che la variaza è igota, si ricorre alla sua stima P, per cui la statistica t 0 : t 0 P - è relativa ad ua T di studet a ( + -) g.d.l. e H 0 fosse vera, ci si aspetta quidi che la probabilità per t 0 di cadere ell itervallo [-t /, t / ] sia pari a 00(-). U campioe che produce dei risultati al di fuori di questo itervallo o sarebbe usuale è quidi più plausibile che l ipotesi ulla di parteza sia sbagliata due ttameti 8

9 Test statistici Esempio: t-test per il cofroto di due campioi Applicazioe ttameti Per le emulsioi alimetari dell esempio Calcolo valore critico t / : (da tabelle dispoibili i letteratura o, equivaletemete, co l ausilio di software) t /.0 Calcolo statistica t 0 : P t P 9.09 Test statistici Esempio: t-test per il cofroto di due campioi Applicazioe ttameti Coclusioi: t0 t / Il valore osservato t 0 è maggiore (i valore assoluto) del valore critico t / I due ttameti soo sigificativamete differeti co u rischio (errore di tipo I) del 5% che tale coclusioe sia sbagliata due ttameti 9

10 Test statistici Defiizioe ipotesi alterative ttameti L ipotesi alterativa presa i cosiderazioe H : m m cotempla l evetualità che i due ttameti presi i cosiderazioe siao solo differeti H : m <m oppure m <m Tale ipotesi prede il ome di ipotesi alterativa twosided (valori sia maggiori che miori portao al rigetto di H 0 ). I altri casi, la atura del problema può suggerire altre espressioi per le ipotesi alterative. Test statistici Defiizioe ipotesi alterative «oe sided» ttameti H : m <m i arriva al rigetto dell ipotesi ulla solo se m è sigificativamete miore di m area Regioe di rigetto Regioe di o rigetto due ttameti 0

11 Test statistici Defiizioe ipotesi alterative «oe sided» ttameti H : m >m i arriva al rigetto dell ipotesi ulla solo se m è sigificativamete maggiore di m area Regioe di o rigetto Regioe di rigetto Itervalli di fiducia Differeza di medie ttameti uppoiamo di essere iteressati a determiare u itervallo di fiducia al 95% per la differeza d m -m delle medie. A tale scopo, si cosideri la statistica: t P d - d - - m - m P essa è distribuita secodo ua t +-. due ttameti

12 Itervalli di fiducia Differeza di medie ttameti Da cui: - - m - m P - t / t P ovvero: P Per cui CONF / g - t m - m - t g - / P / P - / P t - t m - m - L q / P U Itervalli di fiducia differeza di due medie - Applicazioe ttameti Per l esempio itroduttivo CONF m - m t / P - t / P ovvero: CONF m - m Da otare che il valore m -m 0 o è icluso ell itervallo, cofermado ulteriormete che l ipotesi m m o è plausibile per il livello di sigificatività -g5%. due ttameti

13 Test statistici Esempio: t-test per il cofroto di due campioi Estesioi ttameti s s - Parte / I preseza di u test delle ipotesi: H 0 : m m H : m m i cui o è possibile assumere che le variaze dei campioi siao uguali, si può ricorrere alla statistica test t 0 - Test statistici Esempio: t-test per il cofroto di due campioi Estesioi ttameti Caso i cui s s - Parte / essedo la statistica t be approssimata da ua t di studet a u gradi di libertà: u due ttameti 3

14 Test statistici Esempio: Test per il cofroto di due campioi Estesioi ttameti s e s ote - / I preseza di u test delle ipotesi: H 0 : m m H : m m i cui le variaze soo a priori ote, si può usare la statistica: - z0 s s e embi le popolazioi soo ormali (o le dimesioi del campioi soo gradi) la statistica z 0 ~ N(0,) Test statistici Esempio: Test per il cofroto di due campioi Estesioi ttameti s e s ote - / La regioe critica per i test delle ipotesi può essere calcolata usado la distribuzioe ormale di tipo stadard aziché la t di studet. arà ecessario calcolare il valore critico z tale che, per esempio (caso test ipotesi two-sided): P z Z - - / z / due ttameti 4

15 Esempio itroduttivo medie co blocco ttameti i cosideri di uovo il caso dell esempio itroduttivo. La radomizzazioe dei campioi ha portato alla selezioe casuale di: 0 campioi da modificare 0 campioi o ttati che sarao usati come cotrollo Tale politica implica ua ievitabile sorgete di variazioe: la casualità ella scelta dei campioi da destiare ai due ttameti si aggiuge alla evetuale variazioe idotta dalla differeza dei ttameti Esempio itroduttivo medie co blocco ttameti tegia possibile per elimiare tale sorgete di icertezza:. i selezioao 0 campioi (aziché 0) o modificati. e e misura la viscosità 3. I seguito, gli stessi campioi soo modificati co l aggiuta dell additivo. 4. i ripete la misura della viscosità sui campioi modificati due ttameti 5

16 Esempio itroduttivo medie co blocco ttameti Il modello statistico per descrivere la procedura è il seguete: ij m i j e ij i, j,,..., i ij j-esima osservazioe dal livello i- esimo m i Media al livello i-esimo j Effetto del campioe specifico e ij Variabile aleatoria ormale associata co la j-esima osservazioe Esempio itroduttivo medie co blocco ttameti I questo modo è possibile valutare la differeza per la coppia j-ma: d j j - j j,..., Il valore atteso di questa differeza è m d E d E E m m j j - j j - E j - m - m j j È possibile fare ifereza sulla differeza di medie lavorado semplicemete co le differeze delle coppie due ttameti 6

17 Esempio itroduttivo medie co blocco ttameti Testare H 0 : m m è equivalete a testare H 0 : m d 0 H : m d 0 La statistica test per questa ipotesi è acora ua t a (-) gdl: d t0 d dove d d j j e d d - d j j - Esempio itroduttivo medie co blocco ttameti La possibilità di ua campaga sperimetale co dati accoppiati, risulta da preferire alla campaga sperimetale completamete radomizzata. i elimia ua sorgete di icertezza dovuta alle differeze evetualmete preseti i campioi (e o dovute ai ttameti). La filosofia del blocco permette di elimiare sorgeti di icertezza preseti el campioe di dati. due ttameti 7