Il test parametrico si costruisce in tre passi:

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1 R. Lombardo I. Cammiatiello Dipartimeto di Ecoomia Secoda Uiversità degli studi Napoli Facoltà di Ecoomia Ifereza Statistica La Verifica delle Ipotesi Obiettivo Verifica (test) di u ipotesi statistica è ua regola per decidere sulla base delle osservazioi campioarie, co u certo grado di probabilità, se rifiutare o accettare l ipotesi formulata. Affermazioe riguardate la popolazioe Ipotesi statistica Test parametrico Ipotesi parametrica: Affermazioe relativa ai parametri della distribuzioe di ua o più v.c. Ipotesi o parametrica: 1.fuzioale: affermazioe riguardate la fuzioe di distribuzioe della v.c..idipedeza: affermazioe riguardate l idipedeza stocastica Il test parametrico si costruisce i tre passi: Defiizioe delle ipotesi statistiche. Scelta della variabile o statistica test. Formalizzazioe i del criterio i o regola di decisioe (test statistico)

2 Defiizioe delle ipotesi statistiche Si formulao due ipotesi H 0 eh 1 circa il valore che θ può assumere. L ipotesi i ulla H 0 rappreseta lo status quo L ipotesi alterativa H 1 rappreseta l iovazioe. La formulazioe delle ipotesi H 0 eh 1 coduce ad ua partizioe dello spazio parametrico ϴ i due sottoisiemi disgiuti: ϴ 0 idotto dalla H 0 e ϴ 1 idotto dalla H 1 Defiizioe delle ipotesi statistiche L ipotesi statistica è detta semplice quado si afferma che il parametro sia pari ad u dato valore umerico: θ = θ* L ipotesi statistica è detta composta quado si afferma che il parametro sia pari ad uo tra più valori umerici. L ipotesi composta è detta bidirezioale quado si afferma che il parametro sia diverso da u particolare valore dello spazio parametrico: θ θ* L ipotesi composta è detta uidirezioale quado si afferma che il parametro sia maggiore (miore) di u dato valore umerico: θ > θ* θ < θ* Statistica test Fuzioe che fa corrispodere ad ogi campioe casuale u valore umerico che può essere classificato come coerete o meo co l ipotesi specificata dalla H 0. Test statistico Regola di decisioe (criterio) che cosete di discrimiare i valori umerici della statistica test compatibili co l ipotesi ulla. Il test statistico coduce ad ua partizioe dell uiverso dei campioi i due sottoisiemi complemetari: la REGIONE DI ACCETTAZIONE (A), ovvero i campioi per i quali la statistica test assume valori compatibili co H 0 ; la REGIONE CRITICA O DI RIFIUTO (C), ovvero i campioi per i quali la statistica test assume valori compatibili co H 1.

3 Passaggio dallo spazio campioario a quello parametrico La formulazioe delle ipotesi H 0 e H 1 coduce ad ua partizioe dello spazio parametrico ϴ i due sottoisiemi disgiuti Il test statistico coduce ad ua partizioe dell uiverso dei campioi i due regioi disgiute. Il valore che divide le due regioi si chiama valore critico La decisioe è presa i base al valore assuto dalla statistica test Tipi di errore Nel passaggio dallo spazio campioario a quello parametrico si presetao 4 possibilità H 0 Ipotesi vera H 1 Decisioe H 0 Decisioe corretta 1- Errore di II specie Accetto Spazio Parametrico Rifiuto Passaggio dallo spazio campioario a quello parametrico Regioe accettazioe Spazio campioario Regioe critica H 1 P Errore di I specie Decisioe corretta 1- ( 0 0 ) 1 H 0 rifiutare H / H é vera ) P ( H / ) P( accettare H 0 / H 1 é vera ) P( H 0 / H 1 ) Le Ipotesi e le decisioi Gli errori e soo delle probabilità codizioate Gli errori e soo cotrastati o è possibili miimizzarli cotemporaeamete Si potrebbe aumetare la umerosità campioaria Nella pratica si decide di fissare piccolo a piacere e si miimizza (Lemma di Neyma e Pearso) Il valore piccolo di cosete di defiire u valore alto della poteza di u test 1-: attitudie della regola di decisioe ad idividuare correttamete la falsità di H 0 Test uidirezioale: E opportuo fissare sulle code della distribuzioe: 1- maggiore!! Test bidirezioale: la regioe di rifiuto è ripartita sulle due code Test uiformemete più potete Se la regioe critica rimae sempre la stessa qualuque sia il valore dell ipotesi alterativa e assicura per ciascu valore dell ipotesi alterativa la massima poteza si parla di test uiformemete più potete t (UMP). Si costruisce u test uiformemete più potete qualora si fissi u ipotesi alterativa composta uidirezioale. I tal caso, i corrispodeza di u valore prefissato di sigificatività α o si avrà u solo valore che esprime la poteza del test ma si avrao tati valori quati soo i valori alterativi del parametro θ, defiedo così la fuzioe poteza del test: [1-β(θ)]

4 Test sulla media co ota Sia X ua v.c. ormale co media icogita e variaza ota. Sia X 1,,X u campioe casuale di dimesioe. Si vuole verificare l ipotesi ulla H 0 : = 0 Si cosiderao le tre ipotesi i alterative: ti H 1 : > 0 ) H 1 : < 0 3) H 1 : 0 Si costruisce la variabile Test: X Z 0 / N ( 0, Test sulla media co ota Si fissa il valore di e si rifiuta l ipotesi ulla, rispettivamete ei diversi tre casi: z z x x 0 z ) z z x x 0 z 3) z z ; z z x x' / / / 0 z / ; x x' ' z / 0 / Test sulla media : errore II tipo Fissato il valore di, se si accetta l ipotesi ulla e si calcola Il valore dell errore di II specie ei diversi tre casi: P(Z z ); P(Z z ) x z dove x 0 z / ) P(Z - z ); P(Z z ) 1 x z 1 dove x 0 z / 3) P(Z z ) P(Z -z ); P( z' / / x ' / 0 z / ; x '' / 0 z / x ' / 1 x '' / 1 z' / ; e z' ' / / / / Z z' ' / ) Esercizio U azieda produce u materiale la cui resisteza si distribuisce come ua ormale co media 000 e variaza 500. Viee realizzata ua lega che potrebbe essere più resistete, ma più costosa, quidi si vuole eseguire u test per verificare se è opportuo utilizzare la uova lega. Vegoo sperimetate tt 5 prove del dluovo materiale, il otteedo i segueti dati: 1950, 140, 080, 100, Possiamo affermare co u α = % che la uova lega è migliore?. Calcolare la poteza del test per 1 = Tracciare la curva di poteza del test

5 1. Possiamo affermare co u α = % che la uova lega è migliore?. Calcolare la poteza del test per 1=010 Le ipotesi soo: H 0 : = 000; H 1 : > 000 X N(000;500) (test a ua coda) x 1 P(Z z ); P(Z z ); z / x 080 z 0, 05 0,00 z x / ,36 / 5 8 Rifiuto Ho se z >,05 p-value=p(z >8)0 L ipotesi ulla è rifiutata. 3. Tracciare la curva di poteza del test 3. Tracciare la curva di poteza del test

6 Test sulla media co icogita Sia X ua v.c. ormale co media icogita e variaza o ota. Sia X 1,,X u campioe casuale di dimesioe. Si vuole verificare l ipotesi ulla H 0 : = 0 Si cosiderao le tre ipotesi i alterative: ti H 1 : > 0 ) H 1 : < 0 3) H 1 : 0 Si costruisce la variabile Test: T X 0 Sˆ / t ( g. l. Test sulla media co icogita Si fissa il valore di e si rifiuta l ipotesi ulla, rispettivamete ei diversi tre casi: t t x x 0 t ) t t x x 0 t ) t t ; t t 3 / / x x' / 0 t / ; x x'' / 0 t / Esempio test della media di ua popolazioe p ( ( igoto) U acquirete è iteressato all acquisto acquisto di grosse partite di formaggio, ma richiede che le forme siao di peso mediamete superiore ai,5 kg. Viee scelto casualmete u campioe di 1 forme, il cui peso medio è,758 e la deviazioe stadard corretta è pari a 0,394 Al livello di = 0,1, le forme possoo essere cosiderate di peso mediamete superiore ai,5 kg.? Soluzioe x,758 Le ipotesi soo: 1 H 0 : =,5 0,394 (test a ua coda) H 1 : > 5,5 t x Rifiuto Ho se t > p-value=p(t >,67)=0,0,758,5,67 0,1138 t 0 1,363,1;11 L ipotesi ulla è rifiutata.

7 Test sulla proporzioe Sia P ua popolazioe i cui elemeti posseggoo o meo ua determiata caratteristica co ua certa proporzioe p. Sia X 1,,X u campioe casuale di dimesioe ed f la proporzioe dei soggetti che posseggoo quella caratteristica. Si vuole verificare l ipotesi ulla H 0 : p= p 0 Si Scosde cosiderao oe le tre epoes ipotesi alterative: e H 1 : p> p 0 ) H 1 : p< p 0 3) H 1 : p p 0 Si costruisce la variabile Test: f p 0 Z N ( 0, ) p q / 0 0 Test sulla proporzioe Si fissa il valore di e si rifiuta l ipotesi ulla, rispettivamete ei diversi tre casi: p0q0 ) z z fˆ p p0 z 1 ) z z ˆ f p p 0 z 3) z z / ; z z / p0q p q p q fˆ p' p z fˆ / 0 / ; p' ' / p0 z / 0 Ho:p=0,8 e H 1 :p0,8 Esempio test di ua proporzioe I u campioe di 100 osservazioi i successi risultao 75. Posso rifiutare l ipotesi ulla a livello =0,05? z fˆ p o p0( 1 p0) 0,75 0,8 1,5 0,8(1 0,8) 100 Test sull Idipedeza Data ua Popolazioe le cui uità soo classificate secodo due Variabili X e Y, sia p ij la probabilità che le uità presetio cogiutamete le stesse modalità X i e Y j, sia ij il umero di uità osservate i u campioe di ampiezza che presetao cogiutamete le stesse modalità X i e Y j, L ipotesi ulla da verificare è: H 0 : p ij = p i. p.j Cotro l ipotesi alterativa: H 1 : p ij p i. p.j Di solito o si cooscoo le p i. e le p.j ed è ecessario stimarle co i dati dispoibili. - Rifiuto l ipotesi ulla se z > P(Z > z )=P(Z>1,5) = 0,058 L ipotesi ulla o è rifiutata pˆ ; pˆ i. i.. j. j

8 Test sull Idipedeza Test sull idipedeza Si costruisce la statistica-test: x k ˆ ˆ ij pi. p. j 1 pp ˆ pˆ i i.. j Che è ua determiazioe di ua variabile co g.l. (r-(c- Si fissa il valore di e si rifiuta l ipotesi ulla el caso:,( r ( c si accetta l ipotesi ulla, vi è idipedeza tra le variabili, se:,( r ( c Gradi di libertà =(r-(c- Test sull Idipedeza Dato u campioe di 314 alui delle scuole elemetari si vuole verificare l idipedeza tra il redimeto scolastico e il umero dei figli della famiglia di apparteeza (=0,05). Test sull Idipedeza x =6,908 G.l.=(6-(3-=10 Valore critico=18,307 Scarso Sufficiete Buoo Totale Più di Totale