Campi vettoriali conservativi e solenoidali

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1 Campi vettoriali coservativi e soleoidali Sia (x,y,z) u campo vettoriale defiito i ua regioe di spazio Ω, e sia u cammio, di estremi A e B, defiito i Ω. Sia r (u) ua parametrizzazioe di, fuzioe della variabile scalare u. r : u a,b R R A r (a) B 3 [ ] [ ] r (u) OP(u) x(u) ˆi + y(u) ˆi + z(u) ˆi x y z B r (b) La seguete gradezza assume grade importaza ella descrizioe delle proprietà fisiche di : L B d Tale gradezza è i geerale dipedeted dalla topologia del cammio che uisce i puti A e B, ed ha u sigificato fisico diverso a secoda della gradezza fisica rappresetata da. Ad esempio, se è u campo di forze,ha le dimesioi di u lavoro. Se èilvettorecampoelettricoe, ha le dimesioi di ua tesioe, ecc A A 1

2 Campi vettoriali coservativi (2) DEFINIZIONE: campo vettoriale si dice coservativo, o esatto, se risulta, i ogi puto P di Ω: d d cioè se la forma differeziale d esatto di u campo scalare (xyz) (x,y,z). è esprimibile come il differeziale TEOREMA 1 Se u campo vettoriale è coservativo, o dipede dalla topologia del cammio, ma solo dagli estremi A e B. Dimostrazioe: L B d B d (B) (A) A A L 2

3 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (3) COROLLARIO Se u campo vettoriale è coservativo, la sua circuitazioe lugo ua qualuque liea chiusa C è ulla. Dimostrazioe: Basta predere u arbitrario puto P di C, e poi si procede come ella dimostrazioe precedete, osservado che A B P. TEOREMA 2 C d d (P) - (P) C Se u campo vettoriale è coservativo, esiste u campo scalare tale che risulti: 3

4 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (4) DIMOSTRAZIONE: DIMOSTRAZIONE: A li d l d fi i i di ti i d d h il dz dy d z y + + x d x Applicado la defiizioe di campo coservativo, e ricordado che il differeziale totale di ua fuzioe scalare (x,y,z) è: si ha: dz z dy y dx x d + + si ha: dz z dy y dx x dz dy dx z y x Perché tale uguagliaza sia verificata deve risultare, evidetemete: z y x z y x z y x 4

5 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (5) e quidi: Il campo scalare detto poteziale del campo vettoriale. Il teorema sopra euciato esprime il fatto che se u campo è coservativo, allora esso ammette poteziale. Per quato detto sopra, risulta sempre verificata la seguete proprietà: B A d ( B) ( A) e i particolare: d C 5

6 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (6) Il poteziale è ua gradezza defiita a meo di ua costate additiva arbitraria. Ifatti, se k è uo scalare che o dipede da x, y, z, per defiizioe di gradiete risulta: ( + k) Tale arbitrarietà si elimia quado si calcola la differeza di poteziale fra 2 puti. Si è visto che se u campo è coservativo coicide co la differeza di poteziale fra i 2 puti A e B: se e soo due diversii poteziali per, co + c, si ha: B d ' (B) - ' (A) (B) + c - ' (A) - c A (B) - (A) Le superfici di livello del poteziale, cioè i puti dello spazio per i quali risulta: (x, y,z) cost. soo dette superfici equipoteziali del campo vettoriale. 6

7 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (7) I ogi puto del campo, il vettore è perpedicolare alla superficie equipoteziale che passa per quel puto. Ifatti: cos t d d perciò o è ullo o è perpedicolare al piao tagete alla superficie equipoteziale el puto P. I altri termii, le liee di flusso soo sempre ortogoali, i ogi puto, alle superfici equipoteziali. Risolvedo l equazioe differeziale scritta sopra si possoo ioltre ricavare le equazioi delle superfici (o delle liee) equipoteziali. Esercizio Determiare sul piao xy l espressioe aalitica delle liee equipoteziali del campo elettrostatico geerato da ua carica putiforme q posta ell origie origie, e verificare che tali liee soo sempre perpedicolari alle liee di flusso del campo E. 7

8 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (8) Le liee equipoteziali soo u metodo alterativo alle liee vettoriali per la rappresetazioe del campo: si disegao u certo umero di superfici equipoteziali scelte i modo tale che il poteziale varii di ua quatità costate Δ passado da ua superficie alla successiva. Δ c c+δ c+2δ Se Δ è la distaza tra 2 superfici successive, si può stimare il valore del vettore come: Δ Δ Ache i questo caso, tato miore è la distaza geometrica Δ tra 2 superfici successive, tato maggiore è l itesità del campo i quella porzioe di spazio. 8

9 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (9) DEFINIZIONE: campo vettoriale si dice irrotazioale se risulta, i ogi puto P di Ω: TEOREMA 3 Se u campo vettoriale è coservativo, esso è irrotazioale coservati vo per ogi puto P Ω Dimostrazioe: Dal teorema precedete, se è esatto esiste u campo scalare tale che. Per le ote proprietà p degli operatori differeziali, si ha sempre: P 9

10 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (1) Si può dimostrare il seguete : TEOREMA 4 Se u campo vettoriale defiito su u domiio Ω a coessioe lieare semplice è irrotazioale, esso è coservativo. Il teorema sopra euciato esprime il fatto che metre u campo coservativo è ecessariamete irrotazioale, l implicazioe cotraria o è vera i geerale, cioè esistoo campi che soo irrotazioali ma o coservativi Esempio. Il campo di Biot e Savart x + y x + y, di cui si è già parlato, è ovviamete u esempio di campo irrotazioale ma o coservativo. Si e visto it ifatti che risulta, ma ache che la circuitazioe di è i geerale ua quatità o ulla, per cui tale campo o è coservativo. - y ˆ ix + x ˆ i y 1

11 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (12) Nelle applicazioi che si vedrao el seguito, le ipotesi di validità del teorema 4 possoo riteersi sempre verificate, pertato d ora i poi i termii irrotazioale e coservativo sarao cosiderati come sioimi. DEFINIZIONE: campo vettoriale si dice soleoidale i u domiio Ω se il suo flusso attraverso ua arbitraria superficie chiusa S coteuta i Ω è ullo. I altri termii: ˆ i ds TEOREMA 5 S campo vettoriale soleoidale i Ω soddisfa la seguete proprietà: ˆi ds S 1 S 2 ˆi per ogi coppia di superfici S 1 es 2 coteute i Ω e co il medesimo cotoro C. ds 11

12 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (13) Dimostrazioe: Si cosiderio i due superfici i S 1 ed S 2 aveti per cotoro la medesima liea. L uioe delle 2 superfici S 1 ed S 2 costituisce ua superficie chiusa, che racchiude il volume Ω. Essedo il campo soleoidale, si ha: ˆdS S i ds 1 + S 2 î î 2 S 2 ˆi La ormale alla superficie chiusa S 1 +S 2 usata per calcolare il flusso è sempre diretta verso l estero, ma i questo modo, lugo S ˆ 2, î è diretta i seso opposto rispetto alla ormale di S 2 (regola della vite). Si ha quidi: Ω ˆi S 1 C 1 12

13 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (13) e ifie: cioè: S ˆi ds ˆ ds - ˆ i 1 i 2 ds 1+S2 S1 S2 S ˆ i 1 ds 1 S 2 ˆ i ΨS1 ΨS 2 Ψ 2 ds dove co Ψ si è idicato il flusso cocateato co la liea C. Il teorema 5 esprime il fatto che il flusso di u campo soleoidale attraverso ua superficie aperta dipede solo dal suo cotoro C, e o dalla topologia della superficie stessa. Il flusso di u campo soleoidale attraverso ua superficie aperta di orlo C viee ache detto flusso cocateato co la liea chiusa C. 13

14 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (14) Si osservi l aalogia fra campi coservativi e campi soleoidali: i u campo coservativo, l itegrale di liea o dipede dalla forma della liea, ma solo dai suoi estremi; i u campo soleoidale, il flusso attraverso ua superficie o dipede dalla forma della superficie, ma solo dal suo cotoro Si può dimostrare il seguete TEOREMA 6 Se u campo vettoriale defiito i u domiio Ω è soleoidale, allora esiste u campo vettoriale G defiito ello stesso domiio tale che: ˆi ds G ˆi d S C dove C è ua qualsiasi liea chiusa coteuta i Ω e S C è ua qualsiasi superficie coteuta i Ω che abbia per cotoro C. Il campo G che compare el teorema 6 viee detto poteziale vettore associato al campo. C 14

15 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (15) COROLLARIO: campo vettoriale è soleoidale l se e solo seessoè esprimibile ibil come il rotazioale di u poteziale vettore G, cioèimodotaleche risulti: Dimostrazioe: G Applicado il teorema di Stokes all equazioe formulata el teorema 2 si ottiee: ˆi d G ˆi d G ˆi ds S S C S C C e quidi, poiché per ipotesi la superficie cocateata S C è arbitraria, il primo ed il terzo itegrale coicidoo id se e solo risulta GG i ogi puto P del domiio Ω. 15

16 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (16) Si osservi che il poteziale vettore G èdefiitoameodelgradiete di u campo scalare ψ qualsiasi, essedo, per le proprietà degli operatori differeziali: ( G + ψ ) G + ψ G Pertato, comuemete si effettua ua opportua scelta (gauge) del campo vettoriale G (e quidi del campo scalare ψ), al fie di elimiare tale arbitrarietà. Tale scelta o ha alcua iflueza, chiaramete, sul campo vettoriale soleoidale. DEFINIZIONE: campo vettoriale si dice idivergete se risulta, i ogi puto P di Ω: 16

17 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (17) TEOREMA 7 Se u campo vettoriale è soleoidale, l esso è idivergete. I formule: soleoidale per ogi puto P Ω Dimostrazioe: Applicado il teorema precedete e ricordado le proprietà degli operatori differeziali si ha: G Si può dimostrare il seguete : TEOREMA 8 Se u campo vettoriale defiito su u domiio Ω a coessioe superficiale semplice è idivergete, esso è soleoidale. 17

18 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (18) Il teorema 8 esprime il fatto che metre u campo soleoidale è ecessariamete idivergete, l implicazioe cotraria o è vera i geerale, cioè esistoo campi che soo idivergeti ma o soleoidali. Nelle applicazioi che si vedrao el seguito, le ipotesi di validità di questo teorema possoo riteersi sempre verificate, pertato d ora i poi i termii idivergete e soleoidale sarao cosiderati come sioimi. I campi soleoidali godoo di alcue importati proprietà. Proprietà 1 Il flusso di u campo soleoidale attraverso ua geerica sezioe di u tubo di flusso è costate, al variare della sezioe stessa. 18

19 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (19) Dimostrazioe: Si cosideri i ua porzioe di tubo di flusso delimitata it t da due liee chiuse C 1 e C 2. Siao S 1 ed S 2 le superfici piae aveti per cotoro rispettivamete C 1 e C 2. S 1 S î ˆ i ˆi i 2 î 1 S 2 î Si cosideri ora la superficie chiusa formata da S 1,S 2 laterale della porzioe di tubo di flusso. Risulta: S î e dalla superficie S ˆ i ds ˆ i ds + ˆ i ds + ˆi ds i + S2 + S S S2 S

20 Campi vettoriali coservativi e siusoidali (2) Il flusso attraverso S è evidetemete ullo, poiché il campo o può avere compoeti i direzioe ormale alle liee di flusso. La ormale alla superficie chiusa si trova ad essere discorde, lugo S 1,coilverso positivo della ormale ad S 1 stabilito dall orietazioe i delle liee vettoriali. Si ha duque: ˆ i ds + ˆi ds e quidi: Proprietà 2 i S 1 2 S 1 2 ΨS1 ΨS 2 Ψ I tubi di flusso di u campo soleoidale o possoo avere u iizio e ua fie, ella porzioe di spazio i cui è defiito il campo: o si estedoo idefiitamete, oppure soo chiusi. 2

21 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (21) Spesso si dice solamete che i tubi di flusso del campo soleoidale soo chiusi, classificado il caso di tubi estesi idefiitamete come caso degeere (tubi che si chiudoo all ifiito ). Dimostrazioe (per assurdo): Se i tubi di flusso avessero u iizio e ua fie, essi dovrebbero chiudersi i u puto (cioè ua sorgete o u pozzo), elle sezioi di iizio e di fie. Attraverso le sezioi di iizio e fie, il flusso di risulterebbe perciò ullo. 21

22 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (22) Ma per la proprietà 1 dimostrata prima, dovrebbe essere ache: Ψ i Ψe Ψ e quidi il flusso del campo vettoriale sarebbe ullo su ogi sezioe, il che è assurdo, per come è defiito it il tubo di flusso. Seza ricorrere al cocetto di tubo di flusso, a volte si dice semplicemete che le liee di flusso del campo soleoidale soo chiuse (o vi soo, cioè, é sorgeti é pozzi). Proprietà 3 Poiché il campo soleoidale ha ecessariamete u poteziale vettore, se S i è ua geerica sezioe del tubo di flusso si ottiee, applicado il teorema di Stokes: ˆi ds G ˆi ds G d S i S i cioè il flusso di attraverso u tubo di flusso è uguale alla circuitazioe del relativo poteziale vettore lugo ua liea che avvolge il tubo di flusso. i 22

23 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (23) 23

24 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (24) DEFINIZIONE: campo vettoriale che sia cotemporaeamete coservativo e soleoidale si dirà armoico. Il poteziale Φ di u campo armoico deve soddisfare l equazioe di Laplace scalare: 2 Ifatti, essedo il campo coservativo, deve essere ; ma è ache soleoidale, perciò risulta: 2 24

25 Campi vettoriali coservativi e soleoidali (25) Ioltre, essedo il campo ache soleoidale, esso può essere espresso come rotazioale di u poteziale vettore G; ; ma è ache coservativo e quidi irrotazioale, perciò risulta: ( G ) 2 G + ( G ) avedo sfruttato la be ota relazioe differeziale: 2 [ ] ) [ ] + ( [ ]) ( Poiché G è determiato a meo di u gradiete, è possibile scegliere u poteziale vettore che soddisfi la codizioe (scelta di Coulomb): G Operado tale scelta, si ha che il poteziale vettore di u campo armoico soddisfa l equazioe di Laplace vettoriale: 2 G 25