Risposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere

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1 Eserciio 1 7 puti. Dato il campo vettoriale v, + 1,, i si determii ua fuioe f > i modo tale che il campo vettoriale f v sia irrotaioale, cioè abbia le derivate icrociate uguali; ii si spieghi se i risultati teorici garatiscoo che f v sia coservativo; iii se possibile, si determii u poteiale di f v. f e / f v φ dove φ, e +cost. Soluioe. i Scriviamo v u,w. Se f è la fuioe richiesta, si deve avere da cui fu fw fu f w fw fu w f w lf f f u w w + perciò lf +c, e possiamo scegliere c. Duque f e / soddisfa la proprietà richiesta. ii Siccome il campo fu,fw, è defiito su R, che è u isieme semplicemete coesso, l esistea di u poteiale φ segue dalla teoria, perché rotfu,fw,. iii Sia φ u campo scalare per cui f v φ. Siccome φ fw, risulta * φ, φ,ηdη +F e w,ηdη +F e +F per ua qualche fuioe F da determiare. D altra parte, dato che φ fu, dobbiamo avere e +e +F φ fu e + da cui, eguagliado gli estremi, segue che F. Perciò, usado la * co F cost, ricaviamo che φ, e +cost. 1

2 Eserciio 8 puti. Sia data la fuioe f,. i Si determiio i suoi puti staioari e si dica di che tipo soo; ii si determiiio il suo massimo assoluto e il suo miimo assoluto ell isieme { } B, R :, 1.,,,,,1 di sella, e 4/,1/ di mi. loc. ma B f 4, mi B f 4/7 Soluioe. i Il gradiete f f,f +1, 4 si aulla ei puti,,,,,1, 4/,1/. Per vederlo bisoga risolvere il sistema { +1 4 La prima equaioe è soddisfatta se o. Nel primo caso, la secoda equaioe implica che oppure, e così si ottegoo i primi due puti critici. Nel secodo caso, sostituedo ella secoda equaioe si ricava 4. Duque oppure 4/. Sostituedo questi due valori i si determiao gli ultimi due puti critici. Nei puti critici di f idividuati, la matrice hessiaa 4 vale, rispettivamete, / /,,,. 8 / 4/ Osserviamo che le prime quattro matrici hao determiate strettamete egativo, sicché le corrispodeti forme quadratiche soo idefiite e i puti critici associati soo di sella. Solo el caso dell ultima matrice il determiate, ivece, è strettamete positivo. Siccome il primo miore diagoale è / >, la corrispodete forma quadratica è defiita positiva 1, e il puto critico 4/, 1/ è pertato di miimo locale. ii Dallo studio del sego di f su B,1 l +,1 l + 1 f 4, 1 f,, f si vede che 4 mi f f B, Per quato riguarda il massimo di f su B, esso sarà ecessariamete raggiuto sul triagolo superiore, e o all itero di quest ultimo, siccome f o ha alcu puto critico i questa regioe. Dato che emmeo la restriioe di f ai lati l + 1,l+ d d f, 8 >,,1[, d ha puti critici. Pertato f,1 <,,[, maf f,1 4. B 1 I alterativa, si può otare che il prodotto degli autovalori di questa matrice simmetrica cioè il determiate, 8 4/9 4/9 è positivo, e la loro somma cioè la traccia della matrice, /+4/ è ach essa positiva. Quidi la matrice ha due autovalori strettamete positivi e la corrispodete forma quadratica è defiita positiva.

3 Eserciio 8 puti. Dato il campo vettoriale v,, +, i si calcoli l itegrale della divergea di v i { },, R :, 1 ; ii si euci siteticamete il teorema della divergea; iii si verifichi la sua validità calcolado direttamete il flusso uscete di v attraverso il bordo di. div vdd v dσ 64 5 Soluioe. i Notiamo che è la porioe di spaio coteuta ella striscia 1 e compresa fra il piao e il grafico G f della fuioe f,. Per determiare l iterseioe fra G f ed il piao impoiamo f, il che dà la parabola di equaioe disegata i Figura 1. 1 Figure 1. La proieioe di su. Si ha {,,:,, } Dato che div v abbiamo duque che div vdd div vd d 1+ d. Calcoliamo questo itegrale doppio. Si ha 1+ d 1 1 [ 15 e questo coclude la prima parte dell eserciio. ii Il teorema afferma, i sitesi, che d 1 [ [ [ div vdd v dσ dove idica il versore ormale uscete sul bordo di. L itegrale superficiale viee detto flusso uscete di v attraverso il bordo di. iii Facciamo vedere che ache il flusso uscete di v attraverso Σ vale 64/5, come previsto dalla teoria. A tal fie, coviee completare il disego della Figura??. Si vede che la seioe di co il piao verticale è la parabola verticale il cui vertice si trova alla quota. Il bordo Σ di costa di tre pei, precisamete Σ Σ Σ 1 Σ dove Σ, Σ 1 {,1,: 1 }, Σ G f

4 4 1 Corrispodetemete, sui primi due pei si hao i versori ormali usceti,,, 1,1,, metre su Σ, che è il grafico G f di f, il versore ormale è a meo della scelta del sego pari a f,,1,,1, ± ±. 1+ f, 1+4 Il sego giusto è + dato che così si ottiee il versore ormale uscete. Per completare l eserciio, basta osservare che v v + v 1 + v Σ Σ Σ 1 Σ e calcolare questi tre itegrali, dei quali solo l ultimo è u vero e proprio itegrale superficiale dato che i primi due soo fatti su pei piatti. Il secodo addedo o dà alcu cotributo, cioè Σ 1 v 1. Questo discede dal fatto che v 1 su Σ 1, dove 1. Riguardo al primo addedo, esso risulta pari a 1 1 v + d d Σ Ifie, siccome la superficie Σ è il grafico della fuioe f,, per l elemeto d area si ha e su Σ si ha che Quidi v dσ 1+ f d 1+4 d f,,,f,+,,1 1+4 v dσ +,,,,1d Σ,,1 +,, d Nell ultimo itegrale doppio possiamo scartare gli addedi e, che come fuioi di soo dispari, perché il domiio di itegraioe è simmetrico rispetto all asse cfr. Figura 1. Resta duque da calcolare d Ricapitolado i accordo col puto i. Σ v dσ ,

5 5 Eserciio 4 7 puti. Si effettuao estraioi sea reimmissioe da u salvadaaio coteete moete da 1 euro e moete da euro. Si idichi co X j il guadago ricavato graie alla j esima estraioe. Determiare la probabilità che la tera moeta estratta sia da u euro, ovvero PX 1. Dire se tale probabilità coicide co PX 1. Calcolare il valor medio di X +X. sì, le probabilità coicidoo Soluioe. La probabilità degli eveti {X 1}, {X 1} è la stessa che si ottiee calcolado PX 1 1, quest ultima uguagliaa risulta ovvia, cioè la stessa che si avrebbe el caso co reimmissioe. Ifatti quado si suppoe X j 1 o si impoe ulla riguardo alle estraioi precedeti, purché j. Si può calcolare la probabilità dell eveto {X 1} ache el seguete modo. Tale eveto si verifica quado alla secoda estraioe si ottiee ua delle moete da u euro. Fissiamo ua di queste moete: la prima estraioe può dare ua qualuque delle altre 1. Siccome il coteggio o deve dipedere dalla scelta della particolare moeta da u euro, si moltiplica per. I questo mometo abbiamo cotato i casi favorevoli, cioè gli eveti elemetari di cui costa {X 1}. Risulta duque PX 1 dove, al deomiatore, si soo cotati tutti i casi possibili. Aalogamete, i particolare si ha PX 1 PX 1 /. PX 1. Per calcolare il valor medio di X +X coviee ricordare che la media della somma è sempre la somma delle medie. Siccome per ogi j {1,,}, si ha duque che E[X j 1 +. E[X +X E[X +E[X E[X. Esistevao ache altri modi di completare quest ultima parte dell eserciio. e.g., qualcuo si è avvalso della desità cogiuta del vettore aleatorio X,X. Nodimeo, questo procedimeto, beché corretto, complicava leggermete il calcolo altrimeti molto semplice